今年的诺贝尔物理学奖授予了三位进行量子纠缠实验的物理学家，“因为他们对纠缠光子进行了时间延迟，证明了贝尔不等式的无效性，并开创了量子信息科学”。
这让量子纠缠这个热门术语重新回到了大众的视野，同时也让一个新术语被大家引入：贝尔不等式。
量子纠缠是量子力学中最让人困惑的概念，关于它的科普文章很多，有些文章可能越看越糊涂，贝尔不等式很专业，我还没看到有科普文章试图解释清楚。
本文将使用简化版的贝尔不等式来帮助你理解它的证明和意义，并阐明它与量子纠缠的关系。这不可避免地会涉及一些数学推导，但任何在高中或更高年级学过概率论的人都能理解。不过，你需要慢慢地、仔细地阅读。
什么是量子纠缠
量子纠缠并不是一个复杂的现象。例如，一个粒子的角动量（自旋）在某个方向上只有两种可能，我们可以用两个指向上下的箭头来表示。有时一个双粒子系统会处于以下状态（中间的加号也可以是减号）：
【1】
我们先把上面的系数和符号先放一边，看两个尖括号里面的内容。意思是这个系统有两种可能：第一个粒子在上，第二个粒子在下（第一个尖括号），或者第一个粒子在下，第二个粒子在上（第二个尖括号）。这时候两个粒子就处于纠缠态。纠缠意味着两个粒子是相关的，也就是当我们完成对一个粒子状态的测量时，就可以对第二个粒子的测量结果做出一定的预测。如果两个粒子没有纠缠，它们的测量结果就是相互独立的，完全不相关的。
要解释量子纠缠，我们不需要像自旋这样非常特殊的量子现象。如果一个静止的粒子分裂并爆炸成两个粒子，其中一个粒子飞向东方，我们在东方的探测器捕捉到了它。由于动量守恒，我们知道另一个粒子飞向了西方。这两个粒子物理学家 贝尔，一个在东方，一个在西方，处于量子纠缠态。
即使两个纠缠粒子相距很远，它们也无法摆脱这种纠缠，除非测量其中一个粒子的状态。
这看起来是不是非常神秘？有人说，一副手套被装在两个盒子里，其中一个送给宇航员带到月球上。宇航员打开盒子，发现是一只左手手套。他立刻知道，留在地面上的那只手套是一只右手手套。这和量子纠缠有什么区别？
如果引入量子力学状态叠加与测量的概率解释，情况就不同了。对于公式[1]，量子力学解释是系统处于第一个尖括号和第二个尖括号的叠加态，因此两个状态乘以一个系数1/2。经过测量后，状态坍缩为其中一种，每种可能性的概率都是这个系数的平方物理学家 贝尔，也就是50%。
拿手套来举例，量子纠缠和经典关联的不同之处在于，经典力学认为，在打开盒子之前，手套是给左手戴的还是给右手戴的已经确定了，打开它只是发现了一个已经确定的东西；而量子力学认为，在打开盒子之前，手套是处于左手和右手的叠加态，宇航员打开盒子才确定了手套的状态；因此，在打开盒子的瞬间，远在地球上的手套状态就崩溃了，也同时确定了！这个盒子所起的作用，和装着薛定谔猫的盒子是一样的。这两个薛定谔盒子的长距离量子纠缠，就变成了更难理解的东西。
爱因斯坦是第一个用量子纠缠质疑量子力学测量理论的人。众所周知，爱因斯坦不相信上帝会掷骰子，也不相信基础物理理论只能给出一个概率。1935年，他和另一位物理学家发表了一篇质疑量子纠缠的论文。他们举的第一个例子并不是自旋，而是上面提到的简单的粒子分裂场景。
很多科普文章都说量子纠缠比光速还快，我再说一遍，量子纠缠不违背相对论，相对论说物质、能量、信息的传播速度不可能超过光速，这两个薛定谔盒子之间，根本就没有物质、能量、信息的传输（显然，根本就没有物质和能量的传输，多想想就明白了）。如果什么都没有传输，还谈什么超光速？
爱因斯坦当然知道量子纠缠并不违背相对论，但他还是觉得这多少有些不合理。爱因斯坦提出了局域实体（Local）的概念，把量子纠缠称为“鬼魅般的超距作用”（at a）。局域实体是指：
1、粒子/系统/物体的测量结果是其内在属性（实体）的反映，与测量过程无关。
2.粒子/系统/物体的本征性质不能被外界在远距离（局域性）改变，而只能通过以有限速度传播的相互作用来改变。
这两个假设看似合理，但量子纠缠显然违背了这两个假设。爱因斯坦坚持认为，两个粒子分开时，它们各自的动量、自旋等物理量已经确定，就像一只手套放进一个普通的盒子里一样。只不过粒子中存在着几个变量，是现有理论所不能理解、我们无法控制的，所以我们只能对它们的概率做出预测。我们的测量只是为了发现那些已经确定的东西，就像打开一个普通的盒子看手套一样。这就是所谓的隐变量理论。
贝尔定理
量子力学不断取得辉煌的成果，虽然至今无人能为隐变量假设构建出具体的理论，但它从未被证伪，对局域实体的讨论只能停留在哲学层面。
直到近三十年后的1964年，英国物理学家约翰·贝尔才提出一个定理。贝尔证明，如果存在隐变量，那么对两个相关粒子进行不同测量所得到的相关系数必须满足一定的约束，而不管这些隐变量的具体形式如何。然而，量子力学中的纠缠态却不必满足这样的约束。例如，[1]中的纠缠态就违反了这个条件。
贝尔定理使得局域实体不再仅仅是一个哲学命题，而是一个可以通过实验检验的科学问题。
在量子力学的所有特性中，自旋及其量子化是最难用经典世界观去理解的。如果一个电子的角动量分量在某个方向上是纯1/2状态，你换个角度测量，它就不是三角函数计算出来的投影，而是1/2和-1/2两个状态的叠加。如果你相信实体假设，认为角动量和它的测量相互独立，这样的特性就很难理解。贝尔定理就是从自旋开始的。
如下图2所示，对于两个纠缠的自旋粒子，它们的自旋分量分别由探测器A和B探测到。探测器A探测a轴上的自旋分量，探测器B探测b轴上的自旋分量。
图2 两个纠缠粒子自旋的测量
对于状态[1]中的两个粒子，如果探测器A、B的方向相同（均为b）留学之路，那么两个探测器得到的结果必定是相反的。当A、B的方向不同（一个为a，一个为b）时，测量到的自旋不会全部相反，有的可能都是正的，有的可能都是负的，用p(a,b)来表示两个粒子同向相交的概率。注意p(b,b)=0，因为两个测量轴一致，两个粒子的方向不可能相同。
贝尔定理中讨论的场景比图 2 稍微复杂一些。假设有三个不同的测量方向 a、b 和 c。探测器 A 可以在方向 a 或 b 之间进行选择，探测器 B 可以在方向 b 或 c 之间进行选择。那么，除了 A 和 B 都选择方向 b 之外，还有另外三种可能性。原始贝尔定理（也称为贝尔不等式）使用相关系数描述了三种不同情况。在这个简化的情况下，我们使用交叉概率来更简洁地表达它：
贝尔不等式[5]
也就是说，如果 a 和 b 方向上 1% 的测量值具有相同的符号，并且 b 和 c 也有 1% 的测量值相同，那么 a 和 c 最多只能有 2% 的测量值相同。这似乎是正确的，所以我们给出一个更容易理解的证明，如下图 3 所示。
图3 贝尔定理的证明
如果探测器A和B都选择测量b轴上的角动量分量，那么有一半的事件会是A得到向上的结果，B得到向下的结果，另一半则相反。我们选择前一半事件进行分析，后一半事件的分析也是一样的。
假设这些事件重复发生，探测器A的方向改变为a方向，探测器B仍为b方向。此时，探测器B仍会全部落下，A起身和落下的概率分别为1-p(a,b)和p(a,b)。如果A仍为b方向，B改变为c方向，那么B起身和落下的概率分别为p(b,c)和1-p(b,c)。我们在图3中标出了每个方向得到两个结果的概率。
当然，如果 A 选择在 a 或 b 方向上测量，则无论 B 选择哪个方向，都不会影响 B 的测量。因此，A 选择 a 且 B 选择 c 并且获得相同方向的概率为：
由于所有概率都是正的，所以最后一个不等式是显而易见的。
在证明贝尔不等式 [5] 时，我们没有涉及任何隐式变量及其具体形式，只采用了两个隐式假设：
1. 对于一个事件，我们可以重新开始，测量不同方向的角动量。测量过程和粒子的固有属性是两个独立的东西（实体）。
2. 如果一个探测器选择不同的方向进行测量，它不会影响另一个探测器（局部性）的结果。
对于大多数人来说，这两个假设是如此自然，以至于他们甚至可能没有意识到自己做出了这样的假设。
量子纠缠违反了贝尔不等式
那么，量子力学是否满足贝尔不等式的限制呢？答案是否定的。状态 [1] 就是一个简单的例子。
设a轴为b轴旋转一个角度，c轴为b轴以相反方向旋转相同角度，a与c之间的夹角为这个角度的两倍，则量子力学计算的结果为：
如果你用计算器计算任意角度，就会发现上述两个公式给出的结果与贝尔不等式 [5] 的预测相反。数学好的读者可以很容易地证明这一点，适用于一般角度。在 45 度角，量子力学对贝尔定理的违背最为强烈。
在局域实质性假设下，贝尔不等式是一个可以证明的定理。从量子力学的角度看，上述贝尔定理的推导有什么问题？第一个实质性假设就是错的！量子力学中测量和粒子性质并不是相互独立的，你不能说这两个方向使用的探测器得到一个事件，然后换个方向再测一次，换个方向就会得到不同的事件。
量子纠缠的实验测试
关于今年的诺贝尔奖，很多报道都以“证明爱因斯坦错了”作为标题，虽然是标题党，但这么说也没错。
贝尔定理的发现引发了一系列物理实验，以检验量子力学和局域实体究竟孰对孰错。其中大部分实验都是用光子进行的。
和自旋 1/2 电子一样，光子也有两种基本自旋状态；所有光子的自旋状态都可以用这两种基本状态组合起来。这两种基本状态可以是左圆偏振和右圆偏振，也可以是垂直线性偏振和水平线性偏振。贝尔定理也完全适用于纠缠/关联光子。
线性偏振的测量相对方便。你的太阳镜可能会选择性地反射线性偏振光。有一种称为偏振分束器的装置，它反射沿一个方向偏振的光，并允许垂直于该方向偏振的光通过。通过在偏振分束器的两侧放置计数器，可以计算出具有两种不同偏振的光子数量。
20世纪70至90年代，阿兰·阿斯派克特（Alain ）、约翰·克劳瑟（John ）、安东·泽林格（Anton ）等量子光学先驱发展了单光子探测和纠缠光子制备技术，高精度验证了量子纠缠现象，否定了贝尔不等式，创立了量子信息学科。
三位物理学家分享了今年的诺贝尔物理学奖。
泽林格有个学生叫潘建伟，量子信息在中国得到了进一步发展。
更详细的解释，请阅读《从头理解量子力学》