概括
机是普通物理与力学部分中常见的模型，涉及到轴固定的刚体转动过程中角速度、角加速度等物理量的相关计算。本文利用PASCO旋转传感器搭建了简易机装置，考虑滑轮转动惯量对实验的影响，测得重力加速度为g=9.618±0.051m/s2。之后本文进一步考虑旋转轴承摩擦力矩的影响，通过改变装置的释放条件对摩擦力矩进行修正，测得重力加速度为g=9.791±0.028m/s2。所搭建的装置及实验方法具有普适性，可作为大学物理实验的内容，提高学生的动手能力和理论联系实际的能力。
关键词：阿特伍德机；重力加速度；转动惯量；摩擦扭矩；空气阻力
是模型，其中的和在刚体定轴上。本文利用Pasco建立。在上的的，为g=9.618±0.051m/s2。然后，本文将的，和的结合起来，可得的为g=9.791±0.028m/s2。和为，可分别作为的和的。
空气之钥
阿特伍德机（ ，简称机）是由英国牧师、数学家、物理学家乔治·阿特伍德（ ）于1784年在其《论物体的直线运动和转动运动》一文中提出的，是一种用来测量加速度、验证运动规律的机器。阿特伍德机的简单结构通常是一根细绳绕在定滑轮上，细绳两端各挂一个重物。该装置的理论分析涉及力矩、加速度、角加速度、转动惯量等物理量。由于重力力矩与重力加速度有关，如果能精确测量加速度或角加速度，也可以用阿特伍德机来测量重力加速度。但在国内普通物理实验室中，与阿特伍德机有关的力学实验还很少。 在少数利用机测量重力加速度的文献中，通常忽略滑轮及其连杆的转动惯量、空气阻力或滑轮摩擦力矩(例如文献[1]忽略摩擦力矩而考虑了空气阻力的影响)对实验结果的影响，测量精度不高。
我们利用PASCO旋转传感器和配套的滑轮搭建了机，配套PASCO传感器的软件可以测量滑轮转角随时间的变化θ(t)，借助软件可以自动计算出角速度ω(t)，非常方便在一次实验中测量大量的数据，并对测量的数据进行分析。为了准确测量重力加速度，需要考虑滑轮轴的摩擦力矩和空气阻力的影响。在实验中我们首先忽略这两个因素，只考虑转动惯量，重点研究数据的处理方法以及忽略它所造成的系统误差的数量级；然后再考虑对这两个因素的修正。从数量级分析可以看出，对于我们采用的装置，摩擦力矩的影响是主要的，空气阻力的影响是次要的。 通过本次实验的探索，希望能够完善机测量重力加速度或其他力学参数的数据处理方法和实验步骤，为将机实验引入普通物理实验教学提供参考。
1 实验原理
我们先忽略轮轴的摩擦力矩和空气阻力的影响。设滑轮的转动惯量为I，半径为R，绳索右边的拉力为T1，左边的拉力为T2，重力加速度为g。设左端重物的质量大于右端重物的质量m1>m2，则加速度a的方向如图所示。
对于 m1 和 m2，根据牛顿第二定律
对于滑轮，忽略轴上的摩擦力矩，根据刚体转动定理
假设轮绳不打滑，轻绳不伸长，角加速度α与加速度a的关系为
考虑到传感器配套软件可以根据实验中大量的数据自动计算出角速度随时间的变化ω(t)，我们将上述方程组合起来，整理后得到
从上式可以看出，当m1和m2均确定时，角加速度α为常数，可以通过ω(t)曲线线性拟合得到。
从公式（4）还可以看出，当m1+m2（重物质量之和）为常数时，角加速度α与m1-m2（重物质量差）成正比。实验中通过固定重物质量及m1+m2，改变重物质量差m1-m2，测得多组角加速度α，经线性拟合得到的斜率k为：
公式（5）中还隐藏着另一个线性关系：
此时，改变砝码质量与m1+m2，用前面的方法求出相应的斜率k，斜率1/k的倒数与砝码质量与m1+m2也满足线性关系，通过线性拟合得到斜率R/g，进而得到重力加速度g，由截距也可以得到转动惯量I。
综上所述，忽略摩擦力矩和空气阻力，结合新型光电测量装置PASCO旋转传感器的特点，在机基本理论公式的基础上，得到了一种通过三次直线拟合计算重力加速度和转动惯量的数据处理方法。
2 实验设置和程序
实验装置包括：由底座、支架、重物和重物板组成的机主体、细绳、旋转传感器（图2）；PASCO 850接口和计算机组成数据采集处理系统。同时，我们对实验装置进行了进一步的改进：由于在实际运动过程中，两端绳索的长度会发生变化，导致装置两端的质量差不恒定，因此采用同样细的绳索连接重物板的底部[4]。简单分析可知，运动过程中两端的质量差是恒定的，不受绳索重量的影响。
实验时，将整个装置置于水平面上，用水平仪调整底座水平，垂直固定支架。旋转传感器固定在支架上，通过PASCO通用接口与计算机连接。细绳两端的重物板上放置不同质量的重物，待重物稳定静止后松开重物。由于重物质量不同，在重力作用下，重物加速下落，轻物加速上升，滑轮加速旋转。PASCO终端会记录角度随时间的变化，并输出系统中角速度随时间变化的图像。具体实验步骤如下：
（1）正确组装实验装置，调整水平、垂直位置关系；
（2）使用PASCO软件，调整旋转传感器的连接，选择采样率为50Hz，开始记录数据；
（3）固定重物质量m1+m2为510g，设定重物质量差m1-m2为10g，将重物从静止状态松开，重物加速，测量角速度ω(t)，用软件拟合出角加速度α1，然后增加质量差10g，测量αi 6-7次，将数据记录在表格中；
（4）将质量和m1+m2减少40g，重复步骤3。
3 数据处理与结果分析
该部分实验数据如表1所示，表1中标题行是质量和，标题列是质量差。表中数据分别为软件在不同重量质量m1+m2、不同重量质量差m1-m2下拟合出的滑轮角加速度值。
表1中除标题栏外，各列数据均为质量和m1+m2固定，不同质量差m1-m2下的角加速度。对各列按照公式（4）进行直线拟合，得到相应的斜率k。我们将质量和及对应的斜率列于表2中。
表2中斜率k的倒数1/k与公式（6）中的质量及m1+m2满足线性关系，通过直线拟合得到的斜率（见图3）为R/g，其中，R为滑轮半径，g为重力加速度。
表3为通过修改后的游标卡尺对带轮直径进行测量的结果，可计算出直径的平均值47.84 mm，不确定度为0.024 mm，考虑到修改带来的误差，粗略估计直径的最终不确定度为0.05 mm。
利用Excel软件中函数与公式（6）相结合进行直线拟合，该函数还可以给出斜率和截距的标准差，重力加速度g的相对不确定度可以估算为
最终计算出的重力加速度为
可以看出，上述结果相对于当地重力加速度g=9.7936m/s2来说，是比较小的。
结合公式（6），还可计算出带轮（包括轴和轴承）的等效转动惯量：
滑轮质量约为7.0g，假设质量全部集中在边缘，估算的I值为4.05×10-6kg·m2，可见虽然转动惯量测量结果的相对不确定度比重力加速度的相对不确定度要大，但数量级与估算值是一致的。
4 修正轴承摩擦扭矩的影响
以上讨论中，我们未考虑轴承摩擦力矩和空气阻力的影响，主要探索适合该装置的实验测量和数据处理方法。接下来，我们将进一步考虑摩擦力矩和空气阻力的影响。对于质量为m1和m2的重物在运动过程中所受的空气阻力，可根据空气阻力公式[4]估算其数量级。
其中，C为空气阻力系数，与物体迎风面积S、物体光滑程度、整体形状等特征面积有关，通常可通过实验确定，对一般平面体取1；ρ为空气密度，对正常干空气可取1.293g/L；v为质量块与空气的相对运动速度，最大角速度约为70rad/s重力加速度g，半径R=23.9mm，迎风面积约为4cm2，质量取200g。由此可估算出空气阻力引起的重力加速度偏差gf为
可以看出，其对测量结果的影响在小数点后第三位，在目前的实验精度下我们暂时不考虑这一点。
接下来，我们考虑轴承摩擦扭矩的影响。摩擦扭矩通常与轴载荷和旋转角速度有关[2,3]，可写为
其中，M为总摩擦扭矩，MT和Mω分别为受载荷影响的摩擦扭矩和受角速度影响的摩擦扭矩。通常的研究策略是寻找适用于特定结构轴承的摩擦扭矩经验公式，通过实验确定经验公式中的未知系数，然后代入理论公式进行分析。我们在前文实验中观察到PASCO软件输出的角速度-时间曲线ω(t)为一条直线（见图4），说明在我们的实验中可以忽略角速度引起的摩擦扭矩。即便如此，确定载荷与摩擦扭矩之间的关系依然比较困难。我们能不能不从这个方向入手，而是直接从实验原理入手，探索摩擦扭矩的修正方法？
考虑到摩擦扭矩的影响（图5），之前的公式（1）至（3）将变为
其中，M为轴承旋转过程中产生的摩擦力矩，这里取绝对值，考虑到摩擦力矩对旋转的阻碍作用，在其前面加一个负号（选取上一实验中忽略摩擦力矩时滑轮逆时针旋转对应的垂直于纸张的角速度方向为正方向）。
如果我们可以写出另一个方程，其中摩擦力矩前面的符号为正，那么可能会出现可以抵消的情况。摩擦力矩的方向总是与角速度的方向相反。如果我们保持 m1 和 m2 不变，滑轮顺时针旋转，导致角速度方向相反，在这种情况下，我们有
其中，T'1、T'2、M'分别为滑轮顺时针旋转时绳索张力和摩擦力矩，均为绝对值。由于角速度方向相反，摩擦力矩前的符号变为正号，导致角加速度和加速度不同，绳索张力和摩擦力矩会有细微的变化，我们用带撇号的符号表示。
在不考虑摩擦力矩的情况下，滑轮顺时针和逆时针旋转时，角加速度应该相等。在实验中我们发现，当质量和m1+m2一定时，不同方向旋转的角加速度相差不大，说明摩擦力矩M的变化比较小，可以认为
结合方程（13）至（15），消去 M 和 M′，可得
当不考虑摩擦力矩时，公式（4）可变形为类似的形式：
可以看出，将忽略摩擦扭矩公式中的α替换为顺时针和顺时针角加速度的平均值（α+α′）/2后，可以采用先前的数据处理方法，在测量中消除轴承摩擦扭矩的影响。
在上述过程中，空气阻力的影响也被削弱了。由于速度不同，两种情况下（顺时针和逆时针旋转）的空气阻力f的大小并不完全相同，因此f和f'的大小可能不完全相同，但至少是在同一数量级。写出考虑空气阻力的牛顿第二定律
当两个方程相加时，f 和 f′ 也可以由于它们的符号相反而抵消大部分影响。
上述消除摩擦力矩影响的思路在实验操作中可以很方便地实现：在忽略摩擦力矩的实验中，通常将两侧质量不同的重物从静止状态释放，此时重物m1下降，轻物m2上升；如果我们改变初始释放条件，先将轻物m2快速拉下，再快速释放，则m2会先减速后加速上升。也就是说，通过上述方式改变初始释放条件，在一次实验中，滑轮便可以朝两个不同的方向转动。综上所述，我们从理论和实验方法上提出了一种修正摩擦力矩的思路，与前面的数据处理完全兼容重力加速度g，同时也能有效降低空气阻力的影响。
图6是该部分实验某一步的软件截图，图中所示的数据包括9次重复测量。如图所示，向下的曲线为测量过程，我们实验中的装置高度为1.2m，一次测量过程耗时约1s，重量块移动约50cm。向上的曲线为拉动过程，人工拉动过程中可能会出现数据波动和轮绳相对滑动，但拉动过程的数据不用于计算。
5 最终结果
考虑摩擦力矩的影响，加速和减速阶段得到的角加速度（α+α′）/2的平均值及质量和质量差值表如表4所示。考虑到砝码块的公称质量与实际质量差别很小，每次利用砝码个数计算实际质量和与质量差值，拟合得到的实际质量和、公称质量和与斜率倒数的对应关系如表5所示。
表5中的数据用直线拟合，重力加速度计算为
由于数据集的数量增加（表2中的11组增加到表5中的13组），并且使用实际质量和代替名义质量和，不确定度有所下降。对于数据处理中使用的质量差，我们在表4中也用实际值代替名义值。但由于每次使用的权重并不完全相同，导致某个名义质量差对应的每次实验的实际质量差并不严格一致，因此表中未列出这部分数据。表5中的反斜率1/k是通过拟合实际质量差得到的。
本节在考虑摩擦力矩影响的实验中，我们改变了实验的初始释放条件，以降低摩擦力矩的影响，避免了寻找或推导具体的摩擦力矩公式，也避免了摩擦力矩相关参数的确定。空气阻力的影响也被削弱，得到了更准确的重力加速度值。武汉当地重力加速度为g=9.7936m/s2，我们最终的实验结果为g=9.791±0.028m/s2，与当地标准值相一致。
六，结论
在利用阿特伍德机精确测量重力加速度的实验中，我们完成了以下工作：
首先搭建了基于PASCO旋转传感器的实验装置，忽略摩擦力矩，优化测量和数据处理方法（三次直线拟合），测得重力加速度g=9.618±0.051m/s2，粗略测得滑轮和轴的转动惯量I，提出并改进了数据处理方法，为利用机精确测量重力加速度奠定了基础。
其次，在考虑摩擦力矩时，利用摩擦力矩方向与角速度方向相反的特点，不需要摩擦力矩的具体表达式或数值，通过改变实验的初始释放条件对摩擦力矩进行修正，同时改进装置，精确测量质量，得到了较为准确的结果，即重力加速度g=9.791±0.028m/s2。简单有效地对摩擦力矩和空气阻力进行了修正，在有限的实验条件下，显著提高了用机测量重力加速度的精度。
总体来说，本实验巧妙地将经典的机实验与现代光电测量仪器相结合，通过优化测量和数据处理方法、改变实验的初始释放条件，精确测量了重力加速度g，测量精度几乎达到了PASCO装置的极限。本实验可以作为高校的普通物理实验开展，提高学生理论联系实际的能力。希望本文的探讨对相关物理实验教学和理论教学有一定的参考意义。
参考
[1]赵丽杰,傅博阳,梁子明,等.基于改进机的重力加速度测量[J].大学物理实验,2021,34(3):76-79.
赵玲玲, 傅伯杰, 梁志梅, 等. 基于[J]. , 2021, 34(3): 76-79. (in )
[2] 张奎, 李建华, 等. 球轴承摩擦扭矩的分析与计算[J]. 轴承, 2001(1):8-11.
张凯, 李建华. 球的疲劳强度分析[J]. , 2001(1): 8-11. (in )
[3] 王玲, 黄克伟, 杨坤元. 轴承摩擦扭矩的研究[J]. 摩擦学学报, 1993, 13(1): 68-72.
王玲, 黄国伟, 杨建英. 论著[J]. , 1993, 13(1): 68-72. (in )
[4] G O.的“作品”[J]. , 2001, 39(3): 154-158.
资助项目：武汉大学教育教学改革与建设指导专项项目武汉大学通识教育3.0（2020-ybts-08）。
通讯作者：王晓峰，男，武汉大学副教授，主要从事普通物理及物理实验教学工作。
引用格式：陈学鹏, 姜伯浩, 侯天池, 等. 利用机精确测量重力加速度[J]. 物理与工程, 2023, 33(1): 95-100,106.
引用本文：陈小平，姜秉华，侯天琪，等。使用[J]。，2023，33（1）：95-100，106。
结尾
