概率与赌博
1651年夏天，法国数学家、物理学家帕斯卡在前往波多黎各的途中偶然遇见了梅勒。梅勒是一位经常出入赌场的贵族，为了打发旅途的孤独，他谈起了“赌博”，并提出了一个关于“分注”的非常有趣的问题来向帕斯卡请教。
问题是这样的：
有一次，梅利和他的赌徒掷骰子，每人下注32枚金币。如果梅利先掷出三个6，或者他的赌徒先掷出三个4，他就赢。
赌了一阵子，美蕾已经两次掷出6点，他的赌徒也掷出一次4点。
这时，梅蕾接到通知，要求他立刻陪同国王接待外宾，赌博不得不中断。
请问一下，两个人该如何合理分配这64枚金币呢？
赌徒说，只要他能再抽出两个4，或者梅利能再抽出一个6，他就赢了，因此他将获得梅利一半的份额，也就是说，梅利将获得64枚金币的2/3，而他将获得64枚金币的1/3。
梅莱认为这种做法是错误的，即使朋友下次掷出 4，他也能得到 1/2，也就是 32 枚金币，而且他下次还有 50% 的几率得到 16 枚金币，所以他应该能得到 64 枚金币中的 3/4，而朋友只能得到 64 枚金币中的 1/3。
他们中谁是对的？
众所周知，帕斯卡是17世纪著名的“神童”数学家，据说他在孩童时期就独立证明了“三角形内角和等于180度”这一定理，16岁时又发现了“帕斯卡六边形定理”，并撰写了论文，笛卡尔竟然怀疑这是帕斯卡父亲的杰作。
图 1
然而，梅里爱提出的“分注”问题却让这位“神童”数学家百思不得其解。他苦苦思索却不得要领。他反复思考了两三年，终于在1654年得到了些许线索。于是他写信给好友费马，两人进行了激烈的讨论。讨论的结果，他们达成了共识：梅里爱的分注方法是正确的，他应该分得64枚金币中的3/4，赌徒应该分得64枚金币中的1/4（为什么？请用概率知识来计算）。
这时，一位名叫惠更斯的荷兰数学家在巴黎听到了这个消息，并加入了他们的讨论。讨论的成果是惠更斯写了一本名为《论赌博中的计算》（1657年）的书，这是最早的概率论著作。
概率论如今已经成为数学的一个重要分支，被广泛应用于各个科技领域。但是，如果追溯它的起源，它其实是源于“赌博”，即所谓的“赌徒科学”，所以有人说它是“非法衍生”，有点“不光彩”！
概率与性别
大多数人可能认为生男孩和生女孩的概率是相等的，各占50%。这是不对的。法国著名数学家拉普拉斯（1749-1827）在研究概率论时，在这方面得到了一些有趣的结果。
拉普拉斯是一位尊重科学事实的科学家，他写完天文学巨著《天体力学》后，曾把这本书送给拿破仑阅读。拿破仑问他：“你那本关于宇宙体系的巨著物理学家帕斯卡，为什么不提宇宙的创造者上帝呢？”拉普拉斯干脆利落地回答：“陛下，我不需要这样的假设！”
图 2 拉普拉斯
拉普拉斯在1814年出版的《概率的哲学研究》一书中，研究了生男孩还是生女孩的概率。他根据伦敦、圣彼得堡、柏林和全法国的统计数据，得出男女出生率几乎相同的比例：在10年间，男女出生率在51.2%：48.8%左右波动。也就是说，男性出生率总体上略高于女性出生率。他还统计了巴黎40年间（1745-1784）的相关数据，但得出了另一个比例51.02：48.98。
这个微小的差异引起了他的注意：巴黎为什么不同？
他很纳闷，是否还有其他因素影响了生育率？经过调查，他发现巴黎附近地区重女轻男，有弃婴的不良风俗，扭曲了真实的生育率。经过修正，男女生育率稳定在51.2：48.8左右。
这一事实雄辩地表明，在纷繁混乱的偶然现象背后，隐藏着必然的规律，这种由“频率稳定性”导出的“大数定律”是整个概率论的基础。
国内外大量人口统计数据表明，我国出生人口男女比例约为51.2：43.8。我国几次人口普查数据也显示出类似的出生人口男女比例：1953年为51.2：48.8，1961年为51.3：48.7。
为什么男婴的出生率会略高于女婴呢？这是生理学上一个非常有趣的研究课题。生理学家认为，可能是因为含有X染色体（决定生出女性）的精子和含有Y染色体（决定生出男性）的精子之间存在一些差异。
从概率的角度来说，由于含有X染色体的精子和含有Y染色体的精子进入卵子的机会并不完全相等，导致男女婴儿的出生率不平等。第一个发现这个现象的人并不是生理学家，而是一位研究概率的数学家。
概率和 π
1777 年的一天，法国自然哲学家布丰（1707-1788）的家里宾客盈门。客人们来不是为了宴席，而是为了等待一个有趣的实验——布丰经常会做一些有趣的实验来招待朋友。
图3 布冯
70岁的布丰先生饶有兴致地拿出一张白纸，铺在桌上，白纸上画满了等距的平行线，然后他抓起一把小针，每根针的间距都是平行线间距的一半。
布冯说：“请把这些小针一根一根地抛到纸上，奇妙的东西自然就会出现。”
客人们不知道他在干什么，好奇地把针一根一根地扔到纸上，布冯则在旁边不停地数着，等到针全部扔完，他又把针收起来，重新扔出去。
最后，布冯公布了结果：每个人投针2212次，其中与直线相交704次。用704除以2212，结果为3.142。
他笑着说：“这是圆周率的近似值。”
客人们都很惊讶，很疑惑。“圆周率和圆有什么关系？”
布冯先生仿佛看透了大家的心思，坚定地说道：“大家不要怀疑，这确实是圆周率的近似值。你看，你连指南针都不用带，也能求出圆周率的值。只要你有耐心，掷骰子的次数越多，圆周率的值就越准确。”
图4 针插入试验
布冯停顿了一下，继续说道：“其实这并不神秘，它只是基于概率的原理而已，更多细节请阅读我最近出版的一本书《概率算术实验》。”
（当然，读者很难找到布丰先生的著作，但可以参考复旦大学主编的《概率论》第38页的证明。）
这就是数学史上著名的“针试法”，前面《概率与赌博》中提到的掷骰子，是古典概率的数学模型，这里讨论的，是几何概率的典型例子。
后来，很多人按照布冯先生创造的方法计算出π的值，其中最好的结果是意大利人拉扎里尼在1901年得到的，他抛针3408次，交叉1808次，得到了6位精确的小数3。但拉扎里尼的结果一直饱受诟病，有人说他“碰运气”，有人甚至怀疑他作弊，没有人能够调查和证实真相。
随着电子计算机的发展，人们根据布丰的思想建立了一种非常有用的新方法，称为“蒙特卡罗方法”，并在科学技术领域得到广泛的应用。
概率悖论
概率论发展很快，到19世纪末，已经在许多基础学科和工程技术中占有一席之地，人们对它的兴趣也越来越浓厚。和微积分的情况类似，最初概率论的一些最基本的概念并没有明确的定义，作为数学的一个分支，它缺乏严谨的理论基础，人们经常会钻空子。
贝托尔德（1822-1900）是法国著名数学家，他提出了著名的数论“贝托尔德猜想”，其古典学著作颇受欢迎，妙趣横生。
图 5
伯特兰在1889年出版的《概率的计算》一书中提出了一个非常有趣的“概率奇异理论”。设一个内接于圆的等边三角形的边长为a，在圆上画一条弦，求其长度超过a的概率是多少？
答案1：概率是1/3。
过点A取任意弦AB，作一个内接于圆的等边三角形（图33）。因为三角形内角A对应的圆弧占整个圆周的1/3。显然，只有点B落在这条圆弧上，弦AB的长度才可能超过等边三角形的边长a，所以这条弦的可能性（概率）为1/3。
答案2：概率是1/2。
取任意弦AB，作一条垂直于AB的直径PQ。过P作一个等边三角形物理学家帕斯卡，与直径相交于N，取OP的中点为M（131）。容易证明QN=NO=OM=MP。我们知道弦长和弦到圆心的距离有关。如果所有垂直于PQ，且过线段MN的弦，弦到圆心的距离小于ON，那么弦长就大于等边三角形的边长，所以这样的弦的概率是1/2。
答案3：概率是1/4。
取任意弦AB。画一个内接于该圆的等边三角形的内切圆（图35）。此圆是大圆的同心圆，其半径为大圆的1/2，面积为大圆的1/4。设M为弦AB的中点。显然，只有中点落在小圆内，弦AB才可能大于等边三角形的边长。因此，此弦成立的可能性为1/4。
这三个答案似乎都有道理。确实“每个人都有自己的理由”。那么谁是对的呢？
如果你仔细思考就会发现，这三种解法的前提条件有所不同：第一种假设弦的端点均匀分布在圆周上；第二种假设弦的中点均匀分布在直径上；第三种假设弦的中点均匀分布在小圆内。
原来前提条件不一样，难怪会有三种不同的答案。
由于这些问题的存在，数学家们开始重视概率基本理论的研究，1933年苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理结构。
图 6 柯尔莫哥洛夫
它明确地定义了概率的各种基本概念，使概率论成为一个严格的数学分支，对近几十年来概率论的迅速发展起到了积极的作用。