在学习万有引力单位时，我们经常会遇到卫星运动与几何学相结合的问题。处理这类问题的关键是画出示意图，正确求出问题中给出的角度和几何关系，最重要的是求出绕天体圆周运动的半径。当然，我们还要记住和掌握利用万有引力解决问题的两个思路，一个是绕中心天体运转，那么利用万有引力等于向心力的公式；另一个是针对天体表面的物体，如果忽略天体的自转，那么万有引力近似等于重力。另外，太阳光一般被认为是平行光，需要根据光或电磁波沿直线传播的特点，画出几何图形，通过几何图形确定边界光，从而确定临界条件，最后结合物理知识求解。
1. 卫星观测中涉及的问题
【例1】地球自转周期为To，地球半径为Ro，有一航天器在与赤道平面重合的轨道平面上运行，其绕地球运行的方向与地球自转方向相同，其距地面高度为Ro，航天器绕地球运行的周期为T，请问在赤道处相对于地面静止的人能连续观察航天器多长时间？
【分析】假设航天器逆时针旋转，如图：
假设一个人在D点，恰好看到飞船在A点，在C点，看到飞船从B点消失。根据几何知识：
角 BOC = 角 DOA = π/3
在t时刻，人转动的角度为2π×t/To，航天器转动的角度为2π×t/T，由几何关系可得：
2π/3+2πxt/To=2π×t/T
已解：t=TTo/2(To-T)
【解答概要】本题的关键是根据题目的物理情况，画出几何关系的草图，通过几何关系找到临界条件，结合物理定律找到误区。很多同学觉得无从下手的原因是不会画几何图形。
【例二】地球与某行星在同一轨道平面内绕太阳做匀速圆周运动，地球轨道半径为r = 1.50 × 10^11m，轨道周期为T = 3.16 × 10^7s。地球中心与太阳连线与地球与行星连线之间的夹角称为地球对该行星的观察角（简称视角），如图A或图B所示。当行星处于最大视角时同步卫星距地高度，正是地球上天文爱好者观测行星的最佳时机。已知某行星的最大视角为14.5°。求该行星的轨道半径与轨道周期。（sin14.5° = 0.25，最终计算结果保留两位显著数字）
【分析】
设行星的轨道半径为r'，轨道周期为T'，当行星处于最大视角时，地球与行星连线应该与行星轨道相切。由几何关系可知r'=rsin 14.5°=3.8×10^10m。地球和行星绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供的向心力，
GMm/r²=m4π²r/T²
GMm'/r'²=m'4π²r'/T'²
将两个方程相除，可得T'≈4.0×10^6s。
【例3】2019年3月3日，中国探月工程总设计师吴伟仁宣布，中国探月工程“三步走”规划即将完成，我国探月将进入新的征程。如果假设月球绕地球做圆周运动，地球绕太阳做圆周运动，它们的公转方向相同，且在同一平面上。
（1）已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，满月中心到地心的距离为r，求月球绕地球一周所需的时间Tm。
（2）下图是连续两次满月时月球、地球、太阳相对位置示意图。已知月球绕地球公转一周的时间为Tm=27.6天，地球绕太阳公转的周期为Te=365天。求地球上的观察者所见到的连续两次满月的时间间隔t。
【分析】
（1）设地球质量为M，月球质量为m，地球对月球的引力使月球产生向心力，则
GMm/r²=m4π²r/T²m
地球表面物体所受的引力近似等于重力，那么
GMmo/r²=mog
解决方案必须
（2）对于连续两次满月，以下事实必定成立：月球绕地球中心旋转的弧长比地球绕太阳中心旋转的弧长大 2π。
ωmt=2π+ωet
且 ωm=2π/Tm ωe=2π/Te
答案是 t = 29.9 天
2. 卫星的“阳光”问题
【例4】（多选）（高考题）当一艘航天器以周期T为单位绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡住太阳光，如图所示，将发生“日全食”。已知地球半径为R，地球质量为M，万有引力常数为G，地球自转周期为To。太阳光可看作平行光，宇航员在A点测得的角度为α，则（ ）
A.航天器绕地球运行的线速度为2TR/Tsin(α/2)
B. 航天器一天内经历日全食的次数是T/To
C.航天器每次“日全食”的持续时间为αTo/2π
【分析】
航天器绕地球作匀速圆周运动的线速度
v=2πr/T
从几何关系
sinα/2=R/r
所以：
v = 2πR/Tsin(α/2)
选项A正确；
GMm/r²=m4π²r/T²
由此我们得到：
选项D正确；
航天器每次“日全食”的持续时间等于航天器旋转一个角度α的时间，即αT/2π。C项错误。
地球自转一周的时间是To，航天器绕地球公转一周的时间是T。航天器绕地球公转一周后就会发生日全食，所以每隔T次就会发生一次日全食。航天器一天内经历的“日全食”次数为To/T。选项B错误。
【答案】AD
【例5】有一颗卫星绕地球作匀速圆周运动，其轨道半径为地球半径的两倍Ro，卫星圆轨道平面与地球赤道平面重合，已知地球表面重力加速度为g，近似认为太阳光
平行光，试寻找：
（1）卫星做匀速圆周运动的周期；
(2) 卫星绕地球运行期间太阳能电池板运行所需的时间。
【分析】
（1）地球卫星做匀速圆周运动，根据牛顿第二运动定律：
GMm/(2Ro)²=m4π²×2Ro/T²
地球表面有：
GMm/Ro²=毫克
所以卫星做匀速圆周运动的周期为：
（2）如图所示，当卫星处于阴影区时，无法接收太阳光。根据几何关系：
角 AOB = 角 COD = π/3
因此卫星绕地球运行一次，太阳能电池板的工作原理是：
3. 两颗卫星之间的通信问题
【例6】（多选）我国的“天链一号”卫星是一颗地球同步轨道卫星，可以为载人航天器和中、低轨道卫星提供数据通信。图中给出了“天链一号”卫星a、低轨道卫星b在赤道平面内与地球的位置关系。O为地心，地球相对于卫星a、b的夹角分别为θ1、θ2（图中未标注θ2）。卫星a的轨道半径是b的4倍。已知卫星a、b同向绕地球运行，卫星a的周期为T。在运行过程中，由于地球的遮挡，卫星b会进入与卫星a的通信盲区。卫星间的通信信号看作沿直线传播，信号传输时间可以忽略。下列分析正确的是（ ）
A. 开角θ1、θ2满足sinθ2=4sinθ1
B.卫星b的周期为T/8
C.卫星b每次在盲区运行的时间为
(θ1+θ2)T/14π
D.卫星b每次在盲区运行的时间为
(θ1+θ2)T/16π
【分析】
卫星上的引力提供向心力，该向心力由以下因素提供：
GMm/r²=m4π²r/T²
可用的：
因此卫星b的周期为T/8，选项B正确。
考虑临界情况，如图所示：
假设某一时刻，卫星a在位置A，卫星b在位置B，此时两颗卫星刚好可以通信。经过时间t，卫星a到达位置A，卫星b到达位置B，此时两颗卫星刚好可以通信。在时间t内，卫星a旋转的角度为：
角度AOA' = ωat
卫星b的自转角度为：
角度 BOB' = ωbt
由几何关系可知：
角 BOB' = α + β + 角 MOM'
角 AOA' = 角 MOM'
α=(θ1+θ2)/2
β = (θ1 + θ2) / 2
所以：
(ωb-ωa)t=α+β=θ1+θ2
根据：
ω=2π/T
铊=T
TB=T/8
卫星b每次在盲区内运行的时间为：
t = (θ1 + θ2) T / 14π
【答案】BC
【解答概要】这道题你应该明白同步卫星距地高度，卫星地心连线和通过卫星与地球的切线之间的夹角是θ的一半。
【例7】天文学家发现了一颗与地球相似的行星。
该行星称为赤道。观测到行星的自转周期为T，半径为R。行星同步卫星A的圆形轨道半径为2R。卫星B沿半径为√2R的圆形轨道在行星赤道正上方运行，其运行方向与行星自转方向相同。求：
(1) 卫星B做匀速圆周运动的周期；
（2）卫星A与卫星B不能直接通信的最长时间间隔（信号传输时间可忽略）。
【分析】
本题涉及卫星问题、天体运动、几何背景等知识点，难点在于几何背景的正确构建。
（1）第一个问题比较简单，重力提供的向心力为：
式中，m、m'分别为同步卫星A、卫星B的质量，T'为卫星B的周期，组合解为
当然，最好的解决办法是利用开普勒第三定律。
（2）常规思路是：假设初始AB线与行星赤道相切，经过一段时间t后，AB线又与行星赤道相切，t为卫星A、B不能直接通信的最长时间，在此期间，卫星A、B绕行星中心的自转角度分别为θA、θB，如图所示：
根据图表，
θA-θB=2θ α+β=θ
和
θA = ωAt θB = ωBt
所以
ωAt-ωBt=2(α+β) （1）
当然，利用相对运动法可以很方便地得到这个关系，得到这个关系之后，下面的工作就比较容易了：
sinα=R/2R=1/2 α=π/6
sinβ=R/√2R=√2/2 β=π/4
ωB=2π/T'
ωA=2π/T
将这些关系代入方程（1），我们得到
解决方案必须
4. 卫星轨道和几何问题
【例8】神舟六号载人飞船于2005年10月12日上午9时在酒泉航天发射中心发射升空，长征运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，A点距地面高度为h1。飞船飞行5圈后改变轨道，进入预定圆轨道，如图所示。在预定圆轨道上飞行N圈所需时间为t，于10月17日凌晨顺利返回内蒙古草原。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R。求：
（1）航天器在点A的加速度，
（2）远地点 B 距地面的高度 h，
(3沿椭圆轨道从 A 到 B 的最短时间。
【分析】
这道题比较常规，涉及到万有引力定律、开普勒第三定律、天体运动轨道定律等知识点。几何方面主要涉及到椭圆半长轴的计算。具体答案如下。
（1）航天器在A点受到的引力：
F =GMm/(R+h1)²=ma
地球表面物体所受的引力约等于该物体的重量。
GMm'/R²=m'g
或者GM=gR²（黄金替代），代入方程，可得航天器在A点的加速度a：
（2）预定圆形轨道半径为r=h2+R，周期为T=t/N，重力提供的向心力为
GMm/r²=m4π²r/T²
使用黄金替代 GM = gR²，我们可以得到
（3）设椭圆轨道周期为T'，则所需时间t'=T'/2，椭圆轨道半长轴R'=（r+R+h）/2，根据开普勒第三运动定律，
合并后的解决方案是
【示例9】一个由三颗恒星组成的系统，忽略其他恒星
由于三颗恒星对它们的作用，存在一种运动形式：在相互引力作用下，三颗恒星分别位于一个等边三角形的三个顶点，并在三角形所在平面内绕它们共同中心O以相同的角速度做圆周运动（图中表示的是A、B、C三颗恒星质量不同的一般情况）。设恒星A的质量为2m，恒星B、C的质量均为m，三角形的边长为a，求：
（1）恒星A所受的合力的大小为F；
（2）恒星B受到的合力FB的大小；
（3）恒星C的轨道半径Rc；
（4）三星体圆周运动的周期T。
【分析】
一般的三颗星问题大家都知道，但是三颗星的质量并不相等，圆心的位置不容易确定，增加了难度！有比赛经验的同学很容易看出圆心在A、B、C三颗星的质心处，但是这需要证明。本题解题过程如下。
平中无创工作室荆先生
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