在纷扰中寻找宁静与长远成功
——关于冻结轨道的说明
作者 | 超级
前言：
“……卫星被精确送入近地点738公里、远地点750公里、倾角98.5度的太阳同步轨道……”很多人疑惑，近地点和远地点之间总有偏差，为什么不能是一条漂亮的标准圆形轨道呢？殊不知，这一小段偏差，是刻意设计的偏心率较小的椭圆轨道。本期就给大家介绍一种实用的、在扰动中求静的卫星轨道——冻结轨道。
文章提到，采用太阳同步轨道的卫星可以利用相对稳定的太阳入射条件，在相同的光照条件下重复观测地面目标。这似乎是一个完美的解决方案！然而，高性能的大地测量卫星要求在不同时间经过同一区域时，高度尽可能保持不变。然而，卫星椭圆轨道的长轴（又称拱点线）会因摄动而在轨道平面内旋转，卫星经过同一纬度区域时，高度会发生数十公里的变化。
对卫星高度进行轨道机动修正显然是一种非常耗时且昂贵的方法，因此所获取的遥感数据需要经过大量的基于卫星星历的高度补偿、几何改正等后处理工作，这对地形测绘、海洋勘测等精度要求较高的卫星观测项目来说成为了一大绊脚石。本期介绍目前广泛使用的冻结轨道，该轨道轨道方向固定，偏心率较小，卫星在等纬度区域以一致的高度飞行，这对大地测量等垂直剖面的科学测量十分有利，常用于大气探测卫星、海洋卫星、陆地卫星等。
图1. 椭圆轨道拱点的自转，使得卫星在经过同一纬度时，其高度会发生数十公里的变化。
这一冰冻轨道的起源可以追溯到 1972 年，当时 NASA 启动了海洋卫星 () 项目，这是第一颗专门用于海洋观测的多传感器卫星，收集海风、海面温度、海浪高度、海洋地形、大气含水量以及海冰形态和动态数据。这是第一颗使用星载合成孔径雷达技术 (SAR) 的海洋勘测卫星（详情请参阅）。
卫星依靠合成孔径雷达成像，分辨率为25米；依靠高精度雷达高度计测绘，对星下点海浪高度的测量精度为±10cm。为了提高测绘精度，最大限度减少轨道扰动的影响，最大限度提高仪器的数据质量，NASA在卫星项目书中列出了诸多约束条件，对卫星轨道提出了很高的要求，要求轨道高度控制在858公里至761公里范围内，高度变化控制在±50米/秒，偏心率尽可能小。
这个具有开创意义的项目被委托给JPL（喷气推进实验室）具体负责。项目团队中有一位非常有能力的专家，艾略特·卡廷（ ）。顺便说一句，正是卡廷在1965年敏锐地捕捉到了重力弹弓技术，并凭借他的智慧和洞察力制定了旅行者号行星之旅计划。1974年，他获得了NASA杰出服务奖章同步卫星轨道半径，这是NASA的第二高荣誉。在项目中，卡廷带领他的团队进行了艰苦的工作。
卡廷领导的团队认为，解决这个问题的方法有两个，一是找到一种神奇的力量，把椭圆的近地点固定住，把近地点角固化下来；二是降低椭圆的偏心率，让它尽可能接近圆形，并保持不变。从数学的角度看，这两个目标定义为：近地点角（升交点与近地点的夹角）随时间变化为零，偏心率随时间变化为零。
基于1959年布劳威尔发表的《轨道力学摄动理论》，考虑地球非球形摄动的一阶和二阶项，即J2和J3。J2代表地球的扁率，常称为地球扁率摄动，是非球形地球的主要摄动。J3项反映了地球南北不对称，地球呈梨形，北极地区高出约18.9米，南极地区凹陷24至30米。将摄动函数代入拉格朗日摄动方程，下面两个方程必须为0才能达到固定拱点和偏心率！
式中，R为地球半径，n为卫星平均角速度，a为轨道半长轴，i为倾角，e为偏心率，ω为近地点角。先将问题简化，只考虑J2项，令J3=0，方括号内dω/dt等于1，de/dt=0，冻结轨道的存在条件简化为1-5(sini)^2/4=0，即上式红色部分，可得出轨道倾角等于63.4度或116.6度，即临界倾角轨道，也就是我们熟悉的闪电轨道或（）轨道。苏联的“闪电”通讯卫星，为避免椭圆轨道近地点的漂移，选择了大偏心率临界倾角轨道，卫星的远地点始终在苏联境内上空。 此外，卫星在远地点的速度最小，因此可以在更高的高度运行更长时间，在苏联境内维持更长的通信时间。不过，必须补充的是，闪电轨道面是进动的，并不是严格意义上的“静止”。在苏联没有合适的大型运载火箭发射地球静止轨道通信卫星时，曾利用三颗闪电通信卫星实现高纬度地区的通信。这可以说是地球静止轨道通信方案的低端版本。
而负责极地冰盖调查的低地球轨道卫星显然不能采用临界倾角，因为阿拉斯加湾北部的纬度达到72°，超过了63.4°的倾角，因此低地球轨道不能选用这种特定的倾角方案，以实现有效的全球测量。然后，考虑地球扁率J2和J3的叠加摄动效应，若ω=90°或270°，cosω为0，则下列公式de/dt=0，再令上式中方括号中的蓝色部分为0。对于1000公里以下的低地球轨道，代入ω=90°，忽略偏心率的高阶小量，可得
也就是说，当轨道偏心率、轨道倾角和半长轴存在一定的关系时，这条轨道的拱点偏心率是可以固定的，而不像闪电轨道那样需要特定的临界倾角。经过计算，偏心率在千分之几以内，可以很好地满足卫星的任务要求。另外，冻结轨道是动力学方程的稳定平衡解，偏心率和近地点角的长期变化项为零，一旦轨道调整到这个轨道标称值附近，后续的拱点将在较小的范围内振荡，不需要主动控制。将这条轨道命名为冻结轨道（），并记录了整个推导过程。这份长达17页的报告《for-A,an》于1977年发表在AIAA上。
图 2. 计划开创了卫星海洋学
1978年6月26日，-1号从加州VAFB（范登堡空军基地）发射升空，进入倾角=108º、远地点=799公里、近地点=775公里、周期=101分钟的轨道。这是第一颗采用“冻结轨道”的卫星，卫星在同一纬度以相同高度飞行，而轨道近地点保持在90度。任务开始时非常顺利，入轨10天后SAR系统启动，但后来由于电力系统短路，-1号在轨仅105天后退役。但它昼夜不停地测绘了1亿平方公里的地球表面，收集的海洋测高数据比之前100年的船载研究还要多。项目成为卫星海洋学的先驱。
图 3. 1978 年 8 月 27 日马萨诸塞州海岸的合成孔径雷达图像
实践证明，冻结轨道构想是成功的，美国在随后于1985年3月12日发射的一颗海洋测高卫星中充分借鉴了它。由于海洋测绘任务的需要，海卫一-1号及两颗雷达卫星的倾角设定为108度，无法选择800公里高度的太阳同步轨道。
但实际上，太阳同步轨道可以合理处理倾角、偏心率和半长轴的关系，也能达到冻结效果，同时兼顾回归特性。系列光学地球资源卫星都尝试过太阳同步回归轨道+回归+冻结轨道，希望最大限度减少遥感光学图像的几何校正工作。为了进入冻结轨道，可以说-5是志在必得，入轨方案也是经过精心设计的：
1.负轨道偏差、入轨时加法：实际发射任务中，运载火箭受多种因素影响，无法一步到位将卫星直接送入精准目标轨道，卫星需要借助自身发动机入轨，并进行后续的轨道调整和维护。如果火箭将卫星射得太高，卫星需要调转180度减速降低轨道高度。-5入轨方案安全保守，只需要运载火箭将卫星送入比目标冻结轨道低约12公里的初始轨道，即初始轨道半长轴有12公里的负偏差，之后再依靠卫星多次点火加速升轨并精准入轨。
2、精确入轨8次点火及推力校准：计划点火8次，初期小步快进，轨道半长轴增加200米，校准推力系数。后续6次较长点火，配合-4卫星工作周期，满足精确入轨及相位调整要求。两颗卫星轨道相位相差180度，昼夜两班，负责对地24小时观测。
这一战略稳扎稳打，扎实推进。-5号于1984年3月1日从范登堡空军基地发射升空，从3月7日至4月4日，-5号经过8次点火升轨作业，准确进入太阳同步回归冻结轨道，与-4号配合实现8天昼夜全球观测。此次发射，德尔塔3920型火箭给予卫星正偏心，以应对未来18个月太阳和月球引力对卫星倾角的摄动影响。-5号卫星服役时间较长，一直工作到2013年，30年间获取的图像是迄今为止全球使用最广泛、最有效的地球资源卫星遥感信息源之一。冻结轨道对减少遥感数据后处理发挥了显著作用，随后欧洲的对地观测卫星ERS-1、ERS-2等也都选择了太阳同步冻结轨道。
Katin在论文中写下的冻结轨道方程虽然看上去简单，但如果仔细计算，按照论文中的公式，冻结轨道的偏心率为0.001，但最终的结论却是0.0008，相差约20%。事实上，1966年Cook最早进行的分析，只考虑地球重力场J2和J3，无法精确计算冻结偏心率。对于倾角50~130度的轨道，考虑J2~J21的谐波项计算出的冻结偏心率比只考虑J2和J3的低约20%。这背后的推导颇为复杂，但论文中并未展开。如果不了解冻结轨道的本质，后果将不堪设想。
国内不少学者在20世纪80年代及时开展了跟踪研究，其中南京大学刘林教授、北京航天器总体设计部杨威廉研究员对该轨道的生存条件、特性、稳定性及应用等方面进行了深入研究，发表了多篇论文。
图4 左边为南京大学刘林教授（1936-），右边为中国空间技术研究院轨道设计师杨威廉研究员（1941-）
两位老将艰苦创业，进行了大量的基础研究，为我国随后突破冻结轨道技术做出了巨大贡献。1999年10月14日，我国发射了地球资源卫星“资源一号”01号，这是我国第一颗实时传输型地球遥感卫星，是我国太阳同步返回冻结轨道控制技术的首次突破。其入轨策略与美-5类似，初始轨道负偏差34km，采用5组7次轨道机动的策略，实现了极高的太阳同步返回冻结轨道入轨精度。卫星沿不同轨迹经过同一纬度时的高度变化只有几百米。另外，保留了倾角正偏差，节省了10公斤推进剂。 “资源一号”01星的成功发射，被两院院士评为1999年中国十大科技进展之一，达到了国际先进水平。
其实，冻结轨道是各种常数谐波相平衡的结果，即偶次谐波引起的近地点角的长期摄动被奇次谐波引起的长周期摄动所抵消。这句话和上面的公式一样，会让读者感受到轨道力学的深奥和晦涩……航天确实很难，但我们要感谢刘林和杨伟廉两位教授，他们不仅是学科带头人，还编写了大量的教材同步卫星轨道半径，为国家培养了不少轨道力学人才。两位专家的脚步并没有就此止步，他们把目光转向深空探测，研究地外行星上是否存在符合测绘需要的冻结轨道。2003年6月，刘林教授发表了《论大型行星（或卫星）轨道器的冻结轨道》。 杨伟廉曾担任嫦娥一号卫星轨道设计师，培养了团队，发现了月球极地轨道附近存在圆形冻结轨道，2011年5月发表了《火星卫星冻结轨道研究》。这些基础理论研究成果的发表，让我们对今年我国火星探测工程的跨越式发展充满期待！
参考：
1.,E., Born, GH,, JC,, WL,, RA 和, JA：1977 年，“for -A, ”，AIAA 论文第 77-31 号。
2. Yang，《资源一号卫星轨道：理论与实践》，《航天器工程》，2001 年 3 月
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