第六章 圆周运动 3 向心加速度 学习目标 1.理解向心加速度的概念。 2.知道向心加速度与线速度、角速度的关系。 3.能运用向心加速度公式解决相关问题。 内容索引 整理课本，巩固基础 探究重点，提高素养 课内练习 逐点实施 整理课本，巩固基础 01 匀速圆周运动的加速度方向 一 1.定义：物体做匀速圆周运动时，加速度的总方向叫向心加速度。 2.向心加速度的作用： 向心加速度的方向始终与速度方向相同，所以向心加速度只改变速度，而不改变速度。匀速圆周运动的加速度的大小垂直于圆心方向 II 1.向心加速度公式an= 或an= .2. 向心加速度公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动。ω2r 即学即用 1.判断下列说法正确还是错误。 （1）物体做匀速圆周运动，加速度一定不为0。（） （2）匀速圆周运动的加速度恒定不变。（） （3）匀速圆周运动是匀速加速运动。（） （4）匀速圆周运动的向心加速度方向始终指向圆心向心加速度课件，其大小保持不变。（） （5）由an= 可知，向心加速度an与半径r成反比。（） （6）由an=ω2r可知，向心加速度an与半径r成正比。（） √××√×× 2.一根长0.2米的细绳一端系着一个小球，绳子的另一端固定在水平桌子上。 让小球在桌面上做匀速圆周运动，线速度为0.6米/秒，小球的角速度为，向心加速度的大小为.3弧度/秒1.8米/秒2 探究提高素养的重点 02 向心加速度及其方向 1.入门探究 如图1A所示，地球绕太阳做匀速圆周运动（近似值）；如图B所示，光滑桌面上一个小球在一条细线的牵引下，绕桌面上的一个图钉做匀速圆周运动。 （1）分析地球和小球所受的力，说明地球和小球的加速度方向； 答：地球只受到太阳引力的作用，指向圆心，加速度方向指向圆心。 小球受到重力、支撑力、拉力的作用，合力指向圆心，所以加速度方向指向圆心。图1 （2）地球和小球的加速度起什么作用？ 答：由于加速度方向指向圆心，所以加速度只改变速度方向，而不改变速度大小。 （3）地球和小球的加速度方向会改变吗？什么样的运动是匀速圆周运动？ 答：由于地球和小球的加速度沿半径始终指向圆心，所以加速度的方向是变化的，匀速圆周运动是变加速度的曲线运动。 知识加深对向心加速度及其方向的理解 1、向心加速度的方向：始终指向圆心并且其方向时刻在变。 2、向心加速度的影响：向心加速度的方向永远垂直于速度方向，所以向心加速度只改变速度方向，而不改变速度大小。 3、圆周运动的性质： 不管向心加速度的大小是否变化，它的方向一直在变化，所以圆周运动的加速度也一直在变化。圆周运动是变加速度曲线运动。 4、变速圆周运动的加速度不指向圆心。加速度有两个分量，一个是向心加速度，一个是切向加速度。向心加速度描述的是速度方向变化的快慢，切向加速度描述的是速度大小变化的快慢。所以在变速圆周运动中，向心加速度的方向永远指向圆心。 例1 下列关于向心加速度的说法中，哪一个是正确的？ A.向心加速度表示做圆周运动的物体速度变化的快慢。 B.向心加速度的方向不一定指向圆心。 C.向心加速度描述的是线速度方向变化的快慢。 D.匀速圆周运动的向心加速度是恒定的√解析：做匀速圆周运动的物体速度是恒定的，向心加速度只改变速度的方向。A错误；向心加速度的方向沿着圆周运动轨迹的半径永远指向圆心，所以B错误；向心加速度描述的是线速度方向变化的快慢，所以C正确；向心加速度的方向会改变，所以D错误。 向心加速度的大小 2.向心加速度公式 2.向心加速度公式的适用范围 向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动。 v 为该位置的线速度，无论物体做匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度方向都是指向圆心的。 三、向心加速度与半径的关系（如图2所示） 图2 例2 如图3所示，一球面以角速度ω作匀速旋转，球面表面两点A、B。 下列说法正确的是：AA点与B点的角速度相等，BA点与B点的线速度相等，CA点与B点的向心加速度方向均指向球心，DA点与B点的向心加速度之比为2:1√。 图3 分析 A、B是球面两点。 因此，A和A点与B点的角速度与球体绕轴线O1O2旋转的角速度相同，所以A正确；如图所示，A以P为中心做圆周运动，B以Q为中心做圆周运动，因此A、B点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错误；例三（2019年大同大学期中考试）如图4所示的带传动装置中，车轮A的轴线与车轮B、C的轴线均为水平轴线，其中车轮A、C半径相等，车轮B的半径为车轮C半径的一半。点A、B、C分别为车轮A、B、C边缘上的点。若皮带在传动过程中不打滑，则点AA与B的线速度比为2∶1B。点B与C的角速度比为1∶2C。 A、B点的向心加速度比为2∶1D。A、C点的向心加速度比为1∶4√图4 分析 如果皮带在传动过程中不打滑，则A、B点的线速度相等，故vA＝vB，则vA∶vB＝1∶1，A错误；B、C点绕同一轴旋转，所以B、C点的角速度相等，ωB＝ωC，则ωB∶ωC＝1∶1，所以B错误；由于B、C点的角速度相等，由an＝ω2R可知B、C点的角速度为 向心加速度之比为aB∶aC=RB∶RC=1∶2，且aA∶aB=1∶2，所以aA∶aC=1∶4，所以D正确。 向心加速度公式应用技巧 向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系。 需要分析在一个物理量不变的情况下，另外两个物理量之间的关系。 （1）先判断各点的线速度是否相等，还是角速度相同。 （2）线速度相等时，向心加速度与半径成反比，角速度相同时，向心加速度与半径成正比。 训练方法总结（2019·深圳中学期中考试）如图5所示，自行车小齿轮A、大齿轮B、后轮C为三个相互联系的旋转部件，半径RB＝4RA，RC＝8RA。 当自行车悬浮在空中，大齿轮 B 带动后轮匀速旋转时，A、B、C 三个车轮边沿的向心加速度之比为 aA∶aB∶aC 等于 A.1∶1∶8B.4∶1∶4C.4∶1∶32D.1∶2∶4√图5 课内练习，逐点落实 031.（向心加速度公式的理解）关于质点作匀速圆周运动，下列说法正确的是 A.根据 an＝可知 an 与 r 成反比B。由 an＝ω2r 可知 an 与 rC 成正比。由 v＝ωr 可知 ω 与 r 成反比D。由 ω＝2πf 可知 ω 与 f 成正比√12342。 （向心加速度公式的理解）（多选题）（2019年·长峰二中下学期期末考试）物体A、B均做匀速圆周运动，下列情况下，关于向心加速度的说法正确的是A.当它们的角速度相等时，若B的线速度小，则B的向心加速度小B.当它们的周期相等时，A.当它们的线速度相等时，若B的半径较小，则B的向心加速度较小D.当它们的线速度相等时，在同样的时间内，A与圆心连线转过的角度比B的大，则A的向心加速度比B的小。√√1234解析：角速度相等，B的线速度较小。 根据公式an＝vω可知，A的向心加速度大于B的向心加速度，所以A正确；两者线速度相等，在相同的时间内，A与圆心连线转过的角度比B的大，即A的角速度大 根据公式an＝ωv可知，A的向心加速度大于B的向心加速度，所以D错误。 12343.（向心加速度计算）（2019年·山东省实验中学期中考试） 某变速箱内有A、B、C三个齿轮，如图6所示，其半径分别为r1、r2、r3。 设车轮A的角速度为ω匀速旋转，三轮之间不发生滑移，则车轮C边上各点的向心加速度为√图。（向心加速度计算）（多选题）（2019年·遂宁市中学第二学期期末考试）如图所示如图7所示，小球A用一条细线拴住，在水平面内以半径为R的匀速圆周运动。当小球A向左运动时，小球A正上方高度为R的B球以速度为水平方向飞出。忽略空气阻力和重力加速度，为了使小球A在运动一周内与小球B相撞，小球A的向心加速度可能是√√图向心加速度核心能力目标物理概念向心加速度及其方向，向心加速度与线速度的关系，向心加速度与角速度的关系。
科学思维可以在实际情境中运用向心加速度的表现形式来分析处理相关问题。 知识点一：匀速圆周运动中加速度的方向 【看图助学习】 通过前面的学习，我们已经知道物体做曲线运动，速度是要改变的，也就是要有加速度。 如图所示，在双人花样滑冰比赛中，女运动员绕着男运动员做匀速圆周运动。加速度的方向是什么？ 1、物体做匀速圆周运动时的总加速度方向叫向心加速度。 2、向心加速度的方向指向半径方向，和线速度方向相同。 【思考与判断】 （1）匀速圆周运动，加速度方向不变。（）（2）匀速圆周运动是匀速加速运动。（）（3）匀速圆周运动是加速度恒定的运动。（ ）圆心垂直于圆心。 对于做匀速圆周运动的物体来说，合力提供的是向心力，即合力指向圆心，所以加速度的方向也指向圆心。向心加速度的方向是时刻在变化的。 知识点2 匀速圆周运动中加速度的大小 向心加速度表达 √××× 重点1 对向心加速度的理解 【问题探索】如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动（动画片），小球在水平面内绕着绳子的另一端做匀速圆周运动。请思考： （1）在匀速圆周运动过程中，地球和小球的运动状态是否发生了变化？如果发生了变化，变化的原因是什么？ （2）向心加速度会改变物体速度的大小吗？ 答案（1）改变。
向心加速度的作用。 （2）向心加速度只改变线速度的方向，而不改变速度大小。 【探索与总结】1、物理意义描述匀速圆周运动的线速度方向变化有多快，但不表示速度大小变化有多快。 2、方向沿圆周运动的半径总是指向圆心，即方向总是垂直于运动方向，且时刻在变化。 3、圆周运动的性质 不管向心加速度an的大小是否变化，an的方向总是在变化，所以圆周运动的向心加速度总是在变化，圆周运动必定是非匀速加速的曲线运动。 4、变速圆周运动的向心加速度 对于作变速圆周运动的物体，加速度一般不指向圆心，加速度有两个分量：一个是向心加速度，另一个是切向加速度。 向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢。所以，在变速圆周运动中，向心加速度的方向始终指向圆心。 【测试用例】【例1】（多选）关于向心加速度，下列说法正确的是（） A.向心加速度的方向始终垂直于线速度方向 B.向心加速度只改变线速度方向，不改变线速度的大小 C.做圆周运动的物体的加速度方向始终指向圆心 D.做匀速圆周运动的物体的加速度方向始终指向圆心 分析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向沿圆的切线方向，所以向心加速度的方向始终垂直于线速度方向，故A正确； 物体做匀速圆周运动时，只有向心加速度，加速度的方向始终指向圆心。向心加速度只改变线速度的方向，而不改变线速度的大小，故B、D正确；正常情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合成加速度的方向并不总是指向圆心，故C错误。
答案 ABD 【针对性训练1】物体在做匀速圆周运动时，向心加速度是（） A.大小和方向保持不变 B.大小和方向不断变化 C.大小和方向不断变化 D.大小和方向保持不变 不断变化 答案 D 重点2 向心加速度公式的理解与应用 【问题探索】如图所示，有两个啮合的齿轮，其中A点为小齿轮边上一点，B点为大齿轮边上一点，C点为大齿轮中间一点。 （1）哪两点的向心加速度与半径成正比？ （2）哪两点的向心加速度与半径成反比？ 答案 （1）B、C点的角速度相同，由an=ω2r可知，向心加速度与半径成正比。 【探索与总结】 1.从向心加速度方向理解圆周运动的性质 向心加速度的方向沿着圆周运动的半径永远指向圆心。不管向心加速度an的大小是否变化，an的方向都在不断变化，所以圆周运动必定是变加速度运动。 2.向心加速度的几种表达式 3.理解向心加速度的大小与各种量的关系 【测试用例】 【例2】（多选） 如图所示，小球做匀速圆周运动，角速度为ω，则（）意味着：小球上各点的角速度相等。小球绕中心轴OO′旋转。 答案BCD 【针对性训练2】（多选） 如图所示，小球A、B做匀速圆周运动，其向心加速度随半径的变化而变化。 从图中我们可以知道（） A.小球A运动时，其线速度大小不变 B.小球A运动时，其角速度大小不变 C.小球B运动时，其线速度大小不变 D.小球B运动时，其角速度大小不变 答案 AD 分析 角速度ω＝＝ rad/s＝3 rad/s，小球的向心加速度大小为an＝＝ m/s2＝1.8 m/s2。 （1）基本公式： ①an＝； ②an＝ω2r。 （2）扩展公式： ①an＝r； ②an＝4π2n2r＝4π2f?2r； ③an＝ωv.＝＝， D错误。 设小球的半径为R，则A运动的半径rA＝Rsin 60°，B运动的半径rB＝°， ＝＝＝， B错误； 由于A、B点的线速度相等，半径比为2∶1，由an＝可知A、B点的向心加速度比为aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，C错误；分析：小齿轮A与齿轮B由链条连接，边缘线速度相等，即vA＝vB。小齿轮A与后轮C同轴旋转，角速度相等，故ωA＝ωC。由向心加速度an＝可知aA∶aB＝RB∶RA＝4∶1；由向心加速度an＝ω2R可知aA∶aC＝RA∶RC＝1∶8，故aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，选项C正确。线速度相等，B点的半径较小。 根据公式an＝可知A的向心加速度小于B的向心加速度，所以C错误；周期相等，且A的半径较大。根据公式an＝()2r可知A的向心加速度大于B的向心加速度，所以B正确；分析：三轮相互不打滑，所以A、C两边的线速度相等。根据an＝及an＝ω2r可得aC＝＝向心加速度课件，所以A正确。分析：B做水平抛射运动。在垂直方向，R＝gt2，所以t＝，则水平位移为x＝v0t＝·＝R。 设小球A在一次运动周期内，要与小球B发生碰撞，根据几何关系，当小球A移动或刚好能与小球B发生碰撞时，则t＝＝或t＝＝，且an＝R，则合并解为：an＝或an＝，因此A、D正确。
