【学习目标】
1、会推论公式
2、掌握公式，并能灵活应用
【要点梳理】
要点一、匀变速直线运动的位移与速率的关系
按照匀变速运动的基本公式消掉时间t，得。
即为匀变速直线运动的速率——位移关系。
要点演绎：
①该公式是由匀变速直线运动的两个基本关系式推论下来的，由于不含时间，所以若所研究的问题中不涉及时间时借助该公式可以很便捷，应优先采用。
②公式中四个矢量a、x须要规定统一的正方向。
要点二、匀变速直线运动的四个基本公式
(1)速率随时间变化规律：
(2)位移随时间变化规律：
(3)速率与位移的关系：
(4)平均速率公式：
要点演绎：
运用基本公式求解时注意四个公式均为矢量式，应用时，要选定正方向。公式(1)中不涉及x，公式(2)中不涉及，公式(3)中不涉及t，公式(4)中不涉及a，捉住各公式特性，灵活选定公式求解。共涉及五个量，若晓得三个量，可选定两个公式求出另两个量。
要点三、匀变速直线运动的三个结论
要点演绎：
(1)在连续相邻的相等的时间(T)内的位移之差为一恒定值，即△x＝aT2(又称匀变速直线运动的判断式)。
推证：设物体以初速v0、加速度a做匀加速直线运动，自计时起时间T内的位移
在第2个时间T内的位移
即△x＝aT2。进一步推证可得
②x2-x1＝x3-x2＝…＝xn-xn-1，据此可补上纸带上缺乏的厚度数据。
(2)某段时间内中间时刻的瞬时速率等于这段时间内的平均速率
推证：由vt＝v0+at，①
知经时间的瞬时速率
由①得，代入②中，得
(3)某段位移内中间位置的瞬时速率与这段位移的初、末速率v0与vt的关系为
推证：由速率－位移公式，①
将①代入②可得，即．
要点四、初速率为零的匀加速直线运动的几个比列式
要点展现：
初速率为零的匀加速直线运动是一种特殊的匀变速直线运动，它自己有着特殊的规律，熟知这种规律对我们解决好多运动学问题很有帮助。
设以t＝0开始计时，以T为时间单位，则
(1)1T末、2T末、3T末、……瞬时速率之比为v1：v2：v3：……＝1：2：3：……。
可由vt＝at，直接导入
(2)第一个T内，第二个T内，第三个T内，……，第n个T内的位移之比为：x1：x2：x3：xn＝1：3：5：……：(2n-1)。
推证：由位移公式得，
可见，x1：x2：x3：……：xn＝1：3：5：……：(2n-1)。
即初速为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内位移的比等于连续质数的比。
(3)1T内、2T内、3T内、……、位移之比为：，
可由公式直接导入。
(4)通过连续相同的位移所用时间之比
推证：由知，
通过第二段相同位移所用时间
同理：，
则。
要点五、纸带问题的剖析方式
(1)“位移差法”判断运动情况，设时间间隔相等的相邻点之间的位移分别为x1、x2、x3……。
①若x2-x1＝x3-x2＝……＝＝0，则物体做匀速直线运动。
②若x2-x1＝x3-x2＝……＝＝△x≠0，则物体做匀变速直线运动。
(2)“逐差法”求加速度，按照x4-x1＝x5-x2＝x6-x3＝3aT2(T为相邻两计数点的时间间隔)，有
之后取平均值，即
该公式使所给数据全部得到借助，以提升确切性。
要点展现：①如果不用“逐差法”求，而用相邻的x值之差估算加速度，再求平均值可得：
比较可知，逐差法将纸带上x1到x6各实验数据都借助了，而后一种方式只用上了x1和x6两个实验数据，实验结果只受x1和x6两个数据影响，算出a的碰巧偏差较大。
②其实从上式可以看出，逐差法求平均加速度的实质是用(x6+x5+x4)这一大段位移除以(x3+x2+x1)这一大段位移，这么在处理纸带时，可以检测出这两大段位移代入上式估算加速度，但要注意分母(3T)2而不是3T2。
(3)顿时速率的求法
在匀变速直线运动中，物体在某段时间t内的平均速率与物体在这段时间的中间时刻时的瞬时速率相同，即．所以，第n个计数点的瞬时速率为：。
(4)“图象法”求加速度，即由，求出多个点的速率，画出v-t图像，直线的斜率即为加速度。
【典型例题】
类型一、公式的应用
例1、一列从北站开出的列车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列列车的宽度为l，当列车头经过某路标时的速率为v1，而车尾经过这个路标时的速率为v2，求：
(1)火车的加速度a；
(2)火车中点经过此路标时的速率v；
(3)整列列车通过此路标所用的时间t。
【答案】(1)(2)(3)
【解析】火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速率为v1，前进位移l
(1)由匀变速直线运动的规律得，则列车的加速度为．
(2)列车的前一半通过此路标时，有物理实验小车加速度，
列车的后一半通过此路标时，有，
所以有，故．
(3)列车的平均速率，故所用时间．
【总结升华】对于不涉及运动时间的匀变速直线运动问题的求解，使用可大大简化解题过程。
举一反三
【变式1】在风平浪静的水面上，有一战斗机要去执行一项紧急飞行任务，而民航航母的弹射系统出了故障，未能在短时间内修补．已知客机在跑道上加速时物理实验小车加速度，可能形成的最大加速度为5m/s2，起飞速率为50m/s，跑道长为100m．经过估算发觉在这种条件下客机根本难以安全起飞．民航航母不得不在水面上沿起飞方向运动，进而使客机获得初速率，达到安全起飞的目的，这么民航航母行驶的速率起码为多大?
【答案】
【解析】若客机从静止起飞，经过跑道100m后，速率为v．
由v2＝2ax．知．
故民航航母要沿起飞方向运动．
取民航航母为参考系，，
故民航航母行驶的速率起码为．
【变式2】某客机着陆时的速率是216km/h，此后匀减速滑行，加速度的大小是2m/s2。机场的跑道起码要多长能够使客机安全地停出来？
【答案】900m
类型二、匀变速直线运动公式的灵活运用
例2、一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24m和64m，每一个时间间隔为4s，求质点的初速率和加速度．
【答案】a＝2.5m/s2，vA＝1m/s
【解析】匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因此选择不同的公式，所对应的解决方式也不相同．
解法一：(基本公式法)
画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移公式：
将x1＝24m、x2＝64m、t＝4s代入上式解得：a＝2.5m/s2，vA＝1m/s．
解法二：(用平均速率公式)
连续的两段时间t内的平均速率分别为：
B点是AC段的中间时刻，则，，
得vA＝1m/s，vC＝21m/s，
解法三：(用△x＝aT2法)
由△x＝aT2，得．
再由，解得．
【总结升华】(1)运动学问题的求解通常均有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地把握运动学规律，增强灵活运用知识的能力．从多种解法的对比中进一步明晰解题的基本思路和方式，进而提升解题能力．
(2)对通常的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优
先考虑用判断式△x＝aT2求解，这些解法常常更简捷．
举一反三
【变式1】一个足球在湖面上滑行，依次通过宽度都是L的两段距离，并继续往前运动，它通过第一段距离的时间为t，通过第二段距离的时间为2t，假如足球在湖面上的运动可看做匀变速直线运动，求足球在第一段距离末时的速率．
【答案】
【解析】方法一：由题意可得，足球做匀减速运动，其运动简图如图所示．以足球过A点为起始时刻、起始点，设A、B、C三点的速率分别为v0、v1、v2，由得
从A到B：，①
从B到C：，②
从A到C：，③
联立①②③式解得．
技巧二：按照t知：
AB段中间时刻速率，BC段中间时刻速率，
这两个时刻相隔时间为，则匀减速运动加速度．
据公式，有．
将a代入得．
【变式2】例题、跳伞运动员做低空跳伞演出，他从224m的高空离开客机开始下落，最初未打开降落伞，自由下落一段距离打开降落伞,运动员以12.5m/s2的加速度匀减速增长，为了运动员的安全，要求运动员落地的速率不得超过5m/s(g=10m/s2)．求：运动员打开降落伞时，离地面的高度起码为多少？
【答案】99m
【变式3】火车以速率v1匀速行驶，司机发觉前方同轨道上相距s处有另一列车沿同方向以速率v2(相对于地面，且v1>v2)做匀速运动，司机立刻以加速度a紧急制动，要使两车不翻车，a应满足哪些条件?
【答案】
类型三、初速率为零的匀加速直线运动的几个比列式的应用例3、一滑块自静止开始从斜面顶端匀加速下降，第5s末的速率是6m/s，试求：(1)第4s末的速率；
(2)运动后7s内的位移；
(3)(3)第5s内的位移．
【答案】(1)(2)(3)5.4m
【解析】物体的初速率v0＝0，且加速度恒定，可用推测求解．
(1)由于v0＝0，所以，即，故v4:v5＝4:5．
第4s末的速率．
(2)由于v0＝0，v5＝6m/s，则加速度，
所以7s内的位移．
(4)由。第5秒内的位移是5.4m。
举一反三
【变式1】一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，最初3s内的位移为x1，最后3s内的位移为x2，已知x2-x1＝6m；x1:x2＝3:7，求斜面的总长．
【答案】12.5m
【解析】由题意知，物体做初速率等于零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为3s．
由题意知，x2-x1＝6m，解得x1＝4.5m，x2＝10.5m．
因为连续相等时间内位移的比为1：3：5：…：(2n-1)，
故xn＝(2n-1)x1，可知10.5＝4.5(2n-1)，解得。
又由于，所以斜面总长：。
【总结升华】切忌觉得物体沿斜面运动了6s，本题中前3s的后一段时间与后3s的前一段时间是重合的。
类型四、纸带问题的处理
例4、在用接在50Hz交流电源上的打点计时器测定货车做匀加速直线运动的加速度的实验中，得到如图所示的一条纸带，从比较清晰的点开始标计数点0、1、2、3、4…，其中每两个计数点间还有4个点未画出，量得0与1两计数点间的距离，3与4两计数点间的距离，则货车在3与4两计数点间的平均速率为m/s，货车的加速度为m/s2。(估算结果均保留两位有效数字)
【答案】0.49；0.62
【解析】由于每相邻两个计数点间还有4个点没有画出，所以相邻的计数点间的时间间隔T=0.1s，
按照平均速率的定义式得：
货车在3与4两计数点间的平均速率，
按照匀变速直线运动的结论△x=aT2，有：
所以解得：，故答案为：0.49，0.62。
【总结升华】用逐差法求加速度，遇到质数个位移，如本题中只有x1至x3五个位移，就除去中间的一个位移而求解．
举一反三
【变式】打点计时器使用的交流电周期为T=0.02s．小王朋友在正确操作实验的情况下获得了一条纸带，如图所示，其中A、B、C、D、E每两点之间还有4个点没有标出，按照纸带所提供的数据，求：货车的加速度a=m/s2，货车经过C点时的速率Vc=m/s(结果保留两位有效数字)。
【答案】0.62；0.21
【解析】其中A、B、C、D、E每两点之间还有4个点没有标出，所以相邻的计数点间的时间间隔T=0.1s，
按照匀变速直线运动的结论公式△x=aT2可以求出加速度的大小，
得：，
按照匀变速直线运动中时间中点的速率等于该过程中的平均速率，可以求出打纸带上C点时货车的瞬时速率大小．