1.简谐运动；2.简谐运动的描述；3.简谐运动的回复力和能量；4.单摆；5.实验：用单摆检测重力加速度；6.受迫震动、共振
1.简谐运动
（1）弹簧振子
平衡位置()：振子原先静止时的位置.
机械震动()：振子在平衡位置附近的往复运动，简称震动.
弹簧振子()：小球和弹簧构成的系统.
【弹簧振子的位移—时间图像(x-t图像)】
用横座标表示振子运动的时间(t)，纵座标表示振子离开平衡位置的位移(x)2什么是机械运动，勾勒出的图像就是位移随时间变化的图像，即x-t图像，如右图所示。
图1
振子的位移：振子相对平衡位置的位移。
平衡位置：振子原先静止时的位置。平衡位置不一定是中心位置，如图2(a)所示物体的震动，物体经过平衡位置时不一定处于平衡状态，如图2(b)所示物体的震动。
图2
弹簧振子是一种理想化模型。实际物体可看成弹簧振子的条件：①不计磨擦阻力和空气阻力；②不计弹簧的质量；③物体可视为质点；④弹簧的形变在弹性限度内。
【弹簧振子的震动剖析】
①位移及其变化
位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置.当振子从平衡位置向最大位移处运动时，位移减小；当振子由最大位移处向平衡位置运动时，位移降低。
②速度及其变化
振子在平衡位置处速率最大，在最大位移处速率为零.振子由平衡位置向最大位移处运动时，速率增大；振子由最大位移处向平衡位置运动时，速率减小。
③加速度及其变化
水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振子遭到的合力，竖直弹簧振子所受的重力与弹力之和是振子遭到的合力。不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，均满足：在平衡位置处所受的合力为零，加速度为零；而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大。
（2）简谐运动及其图像
简谐运动()：质点的位移与时间的关系遵照余弦函数的规律，即它的震动图像(x-t图像)是一条余弦曲线。注意：x-t图像不是振子的运动轨迹。
【x-t图象的应用】
①可直接读出不同时刻t的位移x值。坐落x轴上方的x值表示位移为正，坐落t轴下方的x值表示位移为负，如图3甲所示。
②判断任意时刻质点的震动方向。看下一相邻时刻质点的位置，如图乙中
点，下一相邻时刻比
时刻离平衡位置远，故
点此刻向
方向运动。
图3
③速度的大小和方向可依照图像上某点的切线的斜率判别。图像上某点切线的斜率大小表示速率大小，斜率的正负表示运动的方向。在平衡位置，切线斜率最大，质点速率最大；在最大位移处，切线斜率为零，质点速率为0。在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速率降低；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速率减小。
2.简谐运动的描述
（1）描述简谐运动的数学量
①振幅：震动物体离开平衡位置的最大距离。
振幅与位移的区别：（a）振幅等于最大位移的数值；（b）对于一个给定的震动，震动物体的位移是时刻变化的，但振幅是不变的；（c）位移是矢量，振幅是标量。
路程与振幅的关系：（a）震动物体在一个周期内的路程为四个振幅；（b）震动物体在半个周期内的路程为两个振幅（c）震动物体在
个周期内的路程不一定等于一个振幅。
②全震动：震动物体以相同的速率陆续通过同一位置所经历的过程，称为一次全震动。如右图所示，类似于O→B→O→C→O的一个完整的震动过程。
图4
【全震动特点】
（a）数学量特点：位移(x)、加速度(a)、速度(v)两者第一次同时与初始状态相同。
（b）时间特点：长达一个周期。
（c）路程特点：振幅的4倍。
（d）相位特点：降低2π。
③周期和频度
周期(T)定义：做简谐运动的物体完成一次全震动所须要的时间。单位：国际单位是秒(s)。
频度(f)定义：单位时间内完成全震动的次数。单位：赫兹(Hz)。
两者关系：
。都是标量，反映了震动的快慢。
一个震动系统的周期、频率由震动系统决定，与振幅无关。
④相位：描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态
（2）简谐运动的表达式
简谐运动的通常表达式为
。x表示震动物体相对于平衡位置的位移；t表示时间；A表示简谐运动的振幅；
称作简谐运动的“圆频度”，表示简谐运动的快慢，
(与周期T和频度f的关系)。
代表简谐运动的相位，
表示时的t=0相位，称作初相位(或初相)。
图5
【相位差】
若两个简谐运动的表达式为
，则相位差为
。
【特殊点】
当
时(n为任意整数)，
，即
；
当
时(n为任意整数)，
，即
；
当
时(n为任意整数)，
，即
。
（3）简谐运动的周期性和对称性
如右图所示
图6
【时间的对称】
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即
。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中
。
【速度的对称】
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速率大小相等，方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速率大小相等，方向可能相同，也可能相反。
【位移的对称】
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反。
3.简谐运动的回复力和能量
（1）简谐运动的回复力
①简谐运动：假若质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成反比，而且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
②回复力
定义：使震动物体回到平衡位置的力。
方向：总是指向平衡位置。回复力为零的位置就是平衡位置。
表达式：
。k是比列系数，其值由震动系统决定，与振幅无关。只有水平弹簧振子，回复力仅由弹力提供，k为劲度系数。“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。
简谐运动的加速度：由
及牛顿第二定理
可知，
，加速度
与位
的大小成反比，方向与位移方向相反。
回复力的性质：回复力是按照力的疗效命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于震动物体在震动方向上所受的合力，剖析物体受力时不能再加上回复力。
比如：如图7甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起震动，m的回复力由静磨擦力提供。
图7
物体做简谐运动的判定方式：简谐运动的回复力满足
；简谐运动的震动图像是余弦曲线。
（2）简谐运动的能量
①能量转化
弹簧振子运动的过程就是动能和势能相互转化的过程。
特征：在最大位移处，势能最大，动能为零；在平衡位置处，动能最大，势能最小。对于同一个震动系统，振幅越大，震动的能量越大。
简谐运动是一种无能量损失的震动，所以其振幅保持不变，又称为等幅震动。
在简谐运动中，震动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量耗损，因而简谐运动是一种理想化的模型。
4.单摆
（1）单摆及单摆的回复力
单摆：假如细线的质量与小球相比可以忽视，球的半径与线的宽度相比也可以忽视，这样的装置就称作单摆。单摆是实际摆的理想化模型。
单摆的平衡位置：摆球静止时所在的位置。
单摆向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力。
单摆的回复力来源：如右图所示，摆球的重力沿弧形切线方向的分力提供回复力。
图8
回复力的特征：在偏角很小时，
，
所以单摆的回复力为
，即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成反比，方向总是指向平衡位置，单摆的运动可看成是简谐运动。
回复力的大小：在偏角很小时，摆球的回复力满足
，此时摆球的运动可看成是简谐运动。
注意：单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零；单摆的回复力为小球遭到的重力沿弧形切线方向的分力，而不是小球遭到的合外力。
（2）单摆的周期
伽利略发觉了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。
单摆震动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越长。
单摆的周期公式：
。
单摆的周期公式在单摆偏角很小时创立，偏角为5°时，由周期公式算出的周期和确切值相差0.01%。
公式中
是摆长，即悬点到摆球球心的距离
。
公式中
是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
周期
只与
和
有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。
5.实验：用单摆检测重力加速度
（1）实验原理
由
，可得
，则测出单摆的摆长
和周期
，即可求出当地的重力加速度。
（2）实验器材
铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1m左右)、刻度尺、游标千分尺。
（3）实验步骤
①让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆。
②将铁夹固定在铁架台下端，铁架台置于实验桌边，把单摆下端固定在铁夹上，使摆球自由下垂.在单摆平衡位置处做上标记。
③用刻度尺量出悬线长
(确切到mm)，用游标千分尺测出摆球的半径d，则摆长
。
④把单摆拉开一个角度，角度不小于5°，释放摆球。摆球经过最高位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全震动的时间，求出一次全震动的时间，即为单摆的震动周期。
⑤改变摆长，反复检测几次，将数据填入表格。
（4）数据处理
公式法：每改变一次摆长，将相应的
和
代入公式
中求出
值，求出
的平均值。
设计如下实验表格
表1
图象法：由
得
，以
为纵座标，以
为横座标做出
图象（如右图所示）。其斜率
，由图象的斜率即可求出重力加速度
。
图9
【注意事项】
①选择细而不易伸长的线，厚度通常不应短于1m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。
②摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小。
③摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要产生圆柱摆。
④计算单摆的全震动次数时，应从摆球通过最高位置时开始计时，要测n次全震动的时间t。
6.受迫震动、共振
（1）固有震动、阻尼震动
固有震动：震动系统在不受外力作用下的震动。固有频度：固有震动的频度。
减振：当震动系统遭到阻力的作用时，震动遭到了减振。
减振震动：振幅逐步减少的震动，如右图所示。
图10
（2）受迫震动
驱动力：作用于震动系统的周期性的外力。
受迫震动：系统在驱动力作用下的震动。
受迫震动的频度：做受迫震动的物体，其震动频度总等于驱动力的频度，与系统的固有频度无关。
【三种震动的理解】
①简谐运动：一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑.
②阻尼震动：考虑阻力的影响，是更实际的一种运动.
③受迫震动：物体做减振震动时遭到周期性驱动力作用下的震动.
【三种震动的比较】
表2
（3）共振
定义：驱动力的频度f等于系统的固有频度
时，受迫震动的振幅最大，这些现象称作共振。
共振曲线，横座标为驱动力的频度，纵座标为受迫震动的振幅，如右图所示。
图11
从受力角度看：当驱动力的频度等于物体的固有频度时，它的每一次作用都使物体的振幅降低，直至振幅达到最大。
从功能关系看：当驱动力的频度等于物体的固有频度时，驱动力仍然对物体做正功，使震动能量不断降低2什么是机械运动，振幅不断减小，直至降低的能量等于克服减振作用耗损的能量，振幅才不再降低。震动能量最大，振幅最大。
认识曲线的形状：
，共振；
或
，振幅较小。
与
相差越大，振幅越小。
【共振的借助与避免】
借助：要借助共振，就应尽量使驱动力的频度与物体的固有频度一致.如共振筛、共振怠速计等。
避免：在须要避免共振害处时，要尽量使驱动力的频度和固有频度不相等，并且相差越多越好。如：军队过桥应便步走。
说明：共振是物体做受迫震动时的一种特殊现象。
本章思维导图
图12思维导图