粒子碰撞在某种程度上与数学中的“主题”相关
20 世纪 40 年代，理查德·费曼 ( ) 设计了费曼图。 费曼图中的线代表基本粒子，它们会聚在一个顶点（代表碰撞）英语作文，然后从那里分离，代表碰撞中产生的东西。 这些线路要么自行发射，要么再次相遇。 只要一位物理学家敢于思考，连锁碰撞的长度就可以。
物理学家在图中添加了代表相关粒子的质量、动量和方向的数字。 接下来，他们开始了一个费力的计算过程——对这些数量进行积分，将该数量相加，然后对该数量进行平方。 最终结果是一个称为费曼概率的数字，它量化了粒子碰撞如图所示进行的概率。
加州理工学院理论物理学家和数学家谢尔盖·古科夫 ( Gukov) 表示：“在某种程度上，费曼发明了这个原理图，将复杂的数学编码成一种会计方法。” ） 说。
费曼图多年来一直为物理学家提供了良好的服务，但它们也有其局限性。 第一个限制是它需要严格的程序。 物理学家正在追踪能量越来越高的粒子的碰撞，这需要更高的测量精度——随着精度的提高，计算预测所需的费曼图的复杂性也随之增加。 增加。
第二个限制是费曼图的更基本性质。 费曼图基于这样的假设：包含的潜在粒子碰撞和子碰撞越多，其数值预测就越准确。 这个计算步骤称为“微扰展开”，它非常适合电子的粒子碰撞分析。 （在这种情况下，弱力和电磁力占主导地位。）它在分析高能碰撞方面效果较差，例如强核力占主导地位的质子之间的碰撞。 好的。 在这些情况下，通过绘制更复杂的费曼图来包含更广泛的碰撞实际上可能会让物理学家误入歧途。
“我们知道一个事实，在某个时刻，费曼图开始偏离（与现实世界的物理），”牛津大学数学家弗朗西斯·布朗说。 “我们不知道的是，如何估计在哪一点应该停止计算的示意图。”
然而，我们有理由保持乐观。 在过去的十年中，物理学家和数学家一直在探索一种令人惊讶的交流方法，这种方法可以给古老的费曼图带来新的生命，在物理和数学方面产生深远的见解。 。 这与一个奇怪的事实有关，即从费曼图计算出的值似乎与代数几何数学分支中出现的一些最重要的数字完全匹配。 这些值被称为“主题周期”（ of ），并且没有明显的理由说明为什么相同的数字应该出现在两个背景中。 事实上，这就像假设的情况一样奇怪，每次你测量一杯米时，你都会发现米的数量总是一个素数。
柏林洪堡大学的物理学家德克·克莱默 (Dirk ) 表示：“从自然到代数几何再到循环之间存在着某种联系，事后看来这并非巧合。”
现在，数学家和物理学家正在共同努力揭开这一巧合的谜团。 对于数学家来说，物理学将他们的注意力吸引到了特定类型的数字上，他们想知道物理学中发生的这些循环是否具有隐藏的结构。 这些数字可能有什么特殊性质？ 对于物理学家来说，这种数学理解的回报是一种新的远见，有助于预测某些事件在混沌量子世界中的表现。
反复出现的主题
如今，周期是数学研究中最抽象的主题之一，但它们最初是出于更具体的兴趣而诞生的。 17 世纪初，伽利略等科学家对如何计算钟摆完成一次摆动所需的时间很感兴趣。 他们意识到，计算归结为对包含摆长度和释放角度信息的函数进行积分（一种无限项之和）。 与此同时，约翰内斯·开普勒使用类似的计算来确定行星绕太阳运行需要多长时间。 他们将这些测量称为“周期”，并将其视为与运动相关的最重要的测量之一。
在 18 世纪和 19 世纪，数学家普遍对研究周期产生了兴趣 - 不仅因为它们与钟摆或行星有关，还因为多项式 x2+2x-6 和 3x3-4x2-2x+6 生成的一类数字集成一个函数。 一个多世纪以来，卡尔·弗里德里希·高斯和莱昂哈德·欧拉等著名数学家探索了循环领域，发现它包含许多指向某些潜在顺序的特征。 从某种意义上说，代数几何（研究多项式方程的几何形式）在 20 世纪发展起来，作为追踪隐藏结构的一种方法。
20 世纪 60 年代，这一努力获得了迅速发展。 那时，数学家做了他们经常做的事情：他们将方程等相对具体的对象转换为更抽象的对象，他们希望这能让他们识别出最初并不明显的关系。
此步骤首先研究由多项式函数类型的解定义的几何对象（也称为代数簇），而不是研究函数本身。 接下来，数学家试图理解这些几何对象的基本属性。 为了实现这一目标，他们开发了一种称为上同调理论的工具 - 一种确定几何对象的结构特征的方法，而无需考虑用于生成对象的特定多项式方程。
到了 20 世纪 60 年代，上同调理论已经发展到了分支的程度——奇异上同调、Drumm 上同调、平坦上同调等等。 似乎每个人对于代数簇最重要的特性都有不同的看法。
在这个令人困惑的研究领域中，2014 年去世的尖端数学家 意识到所有上同调理论都是同一事物的不同版本。
“格洛腾迪克观察到，就代数簇而言，无论你如何计算这些不同的上同调理论，你总是会以某种方式找到相同的答案，”弗朗西斯·布朗说。
同样的答案是所有这些上同调理论核心的独特之处，即格洛腾迪克所说的“”。 “在音乐中粒子物理学家，主题意味着重复出现的主题。对于格洛腾迪克来说，主题是以不同形式重复出现，但实际上是同一件事。” 格洛腾迪克的前同事、《法国高等科学研究所的数学家》一书的作者皮埃尔·卡地亚 ( ) 说道。
从某种意义上说，主题是多项式方程的基本构建块，就像质因数是较大数字的基本构建块一样。 主题也有与其相关的数据。 正如你可以将物质分解成元素，指定每个元素的特征——原子数量、原子质量等——数学家也将本质的度量归因于一个主题。 在这些措施中，最重要的是主题的周期性。 您知道，如果多项式方程组中产生的对象的周期等于不同系统中产生的对象的周期，则这两个对象是相同的。
“一旦你知道了周期（这是一个特定的数字），你几乎就知道了这个问题本身，”牛津大学数学家金说。
要查看在意外情况下发生的相同循环的一个直接方法是查看 π 的情况。 “这是购买自行车最著名的例子，”卡地亚说。 π 在几何中以多种形式出现：在定义一维圆的函数积分中、在定义二维圆的函数积分中、在定义球体的函数积分中。 对于古代思想家来说，相同的值会在看起来如此不同的积分中重复出现，这很可能是一个谜。 布朗在一封电子邮件中写道：“现代的解释是，球体和实心圆具有相同的主题，因此必须具有基本相同的周期。”
费曼的旅程
如果很久以前好奇的人想知道为什么像 π 这样的值会出现在圆和球的计算中，那么今天的数学家和物理学家想知道为什么这些值会出现在圆和球的计算中。 物体（费曼图）出现。
费曼图具有基本的几何特征，由线段、射线和顶点组成。 要了解它们的构造方式以及它们为何在物理学中有用，请想象一个简单的实验装置，其中电子与正电子碰撞，产生μ子和反μ子。 为了计算这种结果的概率，物理学家需要知道每个进入粒子的质量和动量，以及粒子所经过的路径的一些想法。 在量子力学中，粒子所走的路径可以被认为是它可能遵循的所有可能路径的平均值。 计算该路径对所有路径的集合进行积分，该积分称为费曼路径积分。
粒子碰撞从开始到结束所遵循的每条可能的路径都可以用费曼图表示，并且每个费曼图都有与其相关的积分。 （费曼图相当于它的积分。）为了计算一组特定起始情况产生特定结果的概率，我们需要考虑所有可能描述碰撞过程的费曼图，找到每个点的分数并将这些点相加点在一起。 这个数字就是费曼图的振幅。 然后物理学家将这个数字平方以获得概率。
对于电子和正电子入射并且发射μ子和反μ子的情况，该计算步骤很容易执行。 但这是无聊的物理学。 物理学家真正关心的实验是那些涉及带有圆圈的费曼图的实验。 所谓的圆圈代表粒子被喷射然后其他粒子被重新吸收的情况。 当电子与正电子碰撞时，在最后一对μ子和反μ子出现之前可能会发生无数次中间碰撞。 在这些中间碰撞中，会产生新的粒子（例如光子），这些粒子在被观察到之前就被湮灭了。 传入和传出的粒子与之前的描述相同，但事实是那些未观察到的碰撞仍然对最终产品产生微妙的影响。
“它就像一个玩具。一旦你画出了费曼图，你就可以根据理论规则连接更多的线，”加州大学河滨分校教授 Flip 说。 一位物理学家说：“你可以连接更多的棍子、更多的节点，并使其变得更加复杂。”
通过考虑圆圈，物理学家提高了实验的准确性。 （增加一个圆就像将一个值计算到相当多的位数。）但是每次添加一个圆，需要考虑的费曼图的数量以及相应的积分难度都会急剧增加。 例如，简单系统的 2 环版本可能只需要 1 个费曼图。 同一系统的两圈版本需要 7 个费曼图。 3 环版本需要 72 个费曼图。 将圈数增加到五圈需要计算大约 12,000 个点 - 这一计算需要几年时间才能完成。
物理学家不想费力地研究这么多繁琐的积分，而是希望能够通过查看给定的费曼图的结构来了解所得的振幅，就像数学家可以将周期与主题进行比较一样，建立联系。
布朗说：“这一步非常复杂，积分也非常困难，所以我们要做的就是看一下费曼图，看看最终的答案，即最终的周期积分。”
令人惊讶的相关性
1994 年，Dilke 和英国开放大学物理学家 David 于 1995 年合作，首次将周期和振幅同时提出。当年发表了一篇论文。 这项工作使数学家推断出所有振幅都是与泰特主题混合的循环，这是一个以哈佛大学名誉教授约翰·泰特命名的特定主题，其中所有循环都是数论中最具影响力的多值黎曼 zeta 函数。 在入射电子-正电子对和发射μ子和反μ子对的情况下，振幅结果的主要部分是黎曼zeta函数在赋值为3时计算结果的6倍。
如果所有振幅都乘以 z 值，这就为物理学家提供了一个明确定义的数字类别来进行研究。 但 2012 年，布朗和他的合作者奥利弗·施内茨证明了事实并非如此。 虽然物理学家今天遇到的所有振幅可能都是与泰特主题混合的周期，但“阴影中潜伏着可能阻碍研究的怪物。” 布朗说，这些怪物“绝对是循环，但它们并不是人们所希望的美好而简单的循环。”
物理学家和数学家确实知道，费曼图中的圆数与数学中称为“重量”的概念之间似乎存在联系。 权重是与被积分空间的维数相关的数字：一维周期积分的权重可以为 0、1 或 2； 二维空间中的周期积分的权重最大可达 4，依此类推。 。 权重还可以用于将周期分为不同类型：权重为 0 的周期被推测为代数数，可能是多项式方程的解（这尚未得到证明）； 摆周期的权重始终为 1； π 是权重周期 2； 黎曼 zeta 函数值的权重始终是输入值的 2 倍（因此，当指定值 3 时，zeta 函数的权重为 6）。
这种根据权重对周期进行的分类可以延续到费曼图，其中周期的数量在某种程度上与其振幅的权重相关。 没有环路的费曼图的幅值权重为 0； 具有 1 个周期的费曼图的振幅是混合泰特主题的周期，权重最多为 4。对于具有更多圆圈数的费曼图，数学家怀疑这种关系将继续存在，尽管他们还无法看到其中的秘密。
“我们进行了更多的周期，并且看到了更一般的周期类型，”克莱默说。 “数学家对此非常感兴趣，因为他们对不属于混合泰特主题的主题了解不多。 ”
数学家和物理学家目前正在前后研究，试图确定问题的范围并找到优雅的答案。 数学家向物理学家推荐使用函数（及其积分）来描述费曼图。 物理学家设想的粒子碰撞构型超出了数学家必须提供的方程。 “看到他们如此迅速地吸收技术性的数学思想，真是令人惊讶，”布朗说。 “我们已经用完了经典的数字和方程粒子物理学家，对于物理学家来说已经没有什么了。”
自然群体
自 17 世纪微积分诞生以来，物理世界中数字的出现推动了数学的进步。 今天也是如此。 事实上，源自物理学的周期“有一点上帝赋予的感觉，来自物理理论，这意味着它们有许多结构，数学家不会想到或试图创造的结构，”布朗说。
克莱默补充说：“大自然似乎想要比数学家可以定义的更小的周期集，但我们无法非常清楚地定义这个子集实际上是什么。”
布朗希望证明数学群（伽罗瓦群）会影响费曼图的周期集。 他说：“在迄今为止计算的每种情况下，这个解决方案看起来都是正确的，”但证明这种关系绝对正确仍然难以捉摸。 布朗说：“如果这是真的，并且有一个群体对物理学中的数字产生影响，那就意味着你正在寻找一大类对称性。” “如果这是真的，下一步就是要问为什么存在如此大的对称群，以及它可能具有什么潜在的物理意义。”
此外，它将加深两个截然不同背景下的基本几何构造之间已经存在的刺激关系：数学家在 50 年前设计的主题，用于理解多项式方程的解； 费曼图，它是粒子碰撞如何发生的图形表示。 每个费曼图都有一个附加的主题，但某个主题的结构能够告诉我们相关费曼图的结构什么仍然是未知的，有待大家猜测。
思语/世界科学编译
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