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有很多以伟大数学家欧拉命名的公式，其中一些公式以前已经讨论过。 今天介绍一个初等几何中的欧拉公式，将三角形内心与外心的距离表示为三角形的内切圆半径和外接圆半径。 现在：
其中，R为三角形ABC的外接圆半径，r为内切圆半径，d为外接圆圆心O（外心）与内切圆圆心I（圆心）之间的距离。 如下所示。
证明：
(1)连接AI，延长它，与外接圆相交于E点。然后将连接内、外圆心的线段OI向两端延长，分别与外接圆相交于G、H点。 如下图所示。因此，根据相交弦定理等腰三角形公式，我们有
请注意，我们这样做是因为对要证明的欧拉公式进行简单修改会产生 R+d 和 Rd 的乘积：
其中，(R+d)(Rd)正是两条线段IG和HI的乘积，其中直径GH除以内核I：HI·IG。 因此，我们只需证明线段AI和IE的乘积等于2Rr，即：
(2)如下图所示。 连接外接圆上的E点和外接圆圆心O，得到线段EO，延长该线段并与外接圆交于F点。因此，EF为外接圆的直径，长度为2R。 连接FC，连接EC，得到三角形CEF（图中内部为红色）。 再次注意三角形AID。
显然，三角形CEF和三角形AID都是直角三角形。 和，
∠DAI=∠CAE（AI是∠BAC的平分线）
∠CAE=∠CFE（同一弦上的圆周角相等）
所以
∠DAI=∠CFE
因此等腰三角形公式，三角形CEF与三角形AID相似，从而有
且EF=2R，DI=r。 因此，上式就变为：
前面说过，只要证明下面的公式就可以证明欧拉公式成立。
对比上面两个方程，我们只需证明CE = IE即可。
(3) 如上图所示，CE和IE均位于三角形ICE内。 因此，我们只需证明三角形ICE是等腰三角形即可。 为此，我们要证明两个底角相等，即
∠EIC=∠ECI
这不难看出，因为
∠EIC=∠EAC+∠ACI（三角形的外角等于两个不相邻内角之和）
∠ECI=∠ECB+∠BCI
上述两个方程中蓝色标记的两个角相等。 红色标记的两个角都等于∠EAB。 因此，上述两个方程的左边也相等。 因此，三角形ICE是等腰三角形，等腰等于等腰物理资源网，所以，
CE = IE
上面使用的方法是逆向推理。 最后我们证明了欧拉公式：