匈牙利电子工程师 Denis Gabor 于 1946 年提出加窗傅里叶变换，开创了一种在时频平面上分析信号的方法。 加博还发明了全息术。 这项工作为他赢得了1971年的诺贝尔物理学奖。
2017年阿贝尔奖得主Meyer及受邀演讲嘉宾（从左至右）：Marat、Meyer、、
盖博获得诺贝尔奖后的第二年，默默无闻的地球物理工程师让·莫莱(Jean Molay)在法国一家石油公司多年的现场工作后调到研发部门，开始分析地震信号。 他使用加窗傅里叶变换来分析信号，但得到的结果很差。 他发现原因是地震信号存在瞬时剧烈波动，而加窗傅立叶变换中的窗函数无法自动适应这种变化。
于是构造了一个窗口宽度可以调节的复杂函数
取决于
通过尺度参数a和平移参数b获得。 当正数a很小时，函数窗口变窄，可以检测到信号的瞬时变化，因此创建了分析信号的时间尺度方法。他做到了
称为“形状”，这也是术语小波 () 的由来，使用它建立了分解和重构信号的公式，发现该公式比加窗傅立叶变换更有效。 他于1975年和1980年在勘探地球物理学家协会主办的国际会议上发表报告，但没有产生任何影响。 不仅如此，在他发现小波变换后不久，他就被公司以提前退休的名义解雇了，50岁时失业了。他一度非常沮丧，但他继续寻找他的发现的理论证明。 1981年，他联系了母校巴黎综合理工学院的物理学家罗杰·巴利安（Roger ）寻求帮助。 巴利安把他推荐给马赛大学理论物理学家亚历克斯·格罗斯曼。 今年12月的时候，我看到了。
亚历克斯·格罗斯曼（亚历克斯，1930-2019）
他就是 ( ) 的博士论文导师。 在比利时布鲁塞尔自由大学获得物理学学士学位后，他继续攻读博士学位。 名义上让·雷尼尔（Jean）是她的导师，她根据自己的兴趣选择了马赛大学作为她的论文导师。 她的研究方向是数学物理。
克罗地亚人，自1966年入职以来一直在马赛大学工作，他对他的经历表示同情，也理解他的想法。 他意识到的发现与量子力学中的相干态非常相似。 他从群论的角度证明了解析小波在容许条件下可以完美地被连续小波变换。 重建原始信号。 容许条件使得小波函数具有振荡和快速衰减的形状。 该小波不是解析小波，但产生的误差并不显着，因此可以获得良好的结果。
他们的合作文章于1984年发表在SIAM数学分析杂志上，成为连续小波变换的重要文献。 接下来的几年里，两人在小波领域合作发表了十多篇论文。
(1991) 格罗斯曼（左）和莫莱（右）
1985年是我在布鲁塞尔自由大学理论物理系工作的第五个年头。 五年前，她完成了博士论文《量子机械算子分析函数的希尔伯特空间核表示》，并留校担任研究助理。 在此期间，她到贝尔实验室做了两年博士后。 她在数学物理领域发表论文20余篇，职务从研究助理晋升为研究教授。 今年春天，她来到马赛参观，被他对小波变换的热情所感染。 她兴奋地发现自己掌握的数学工具可以用于信号分析，于是她转向小波研究。
就在多贝西来访的前一个月，巴黎综合理工学院的数学家伊夫·迈耶拜访了格罗斯曼。 在排队等待复印时，他偶然从别人的谈话中听到了格罗斯曼的作品。 他从一位同事那里获得了该论文的预印本。 迈耶后来回忆道，“他们的论文让我非常着迷，我迫不及待地来到马赛。与他讨论了三天后，我成为了他的学徒。”
伊夫·迈耶
迈耶是一位分析师，曾多年研究卡尔德隆猜想。 他的工作实际上是卡尔德隆方程（ón's）的改编，格罗斯曼和莫莱特的工作可以使用卡尔德隆的方法从一维推广到更高维度。
在Meyer之前，小波的思想已经以不同的形式隐藏在数学、物理和信号处理领域。 然而，正是他们——一位地球物理工程师和一位理论物理学家——以新的形式再次做出了独立发现，开启了小波革命。
建议研究离散小波变换，即寻找一族小波函数来分解和重构信号。 他们与Meyer合作，于9月份完成了L2(R)空间小波框架的构建。 与空间中的底座相比，框架是多余的。 例如，在平面R2上，(0, 1)和(1, 0)构成正交基，(0, 1)、(-√3/2, -1/2)和(√3/2， -1/2) 是一个框架。
与此同时，Meyer开始在空间L2(R)中寻找小波正交基。 早在1909年，希尔伯特的学生、匈牙利数学家阿尔弗雷德·哈尔（ Haar）在他的博士论文中构造了一套正交基，它是通过分段常数函数的平移和缩放得到的。 它恰好是一组小波正交基，现在称为 Haar 小波。 Haar 小波是不连续且不平滑的。 Meyer没有意识到JO Strömberg在1981年使用样条函数构造了C^k平滑小波正交基，他猜测不存在平滑小波正交基，但在试图证明的过程中，却构造了无限平滑小波正交基，现在称为 Meyer 小波。
迈耶小波和后来的威尔逊-多贝西变换对引力波的发现做出了巨大贡献。
迈耶在 2017 年获得阿贝尔奖后接受采访时表示：“他们发现引力波的那天，他们给我发了一封电子邮件，说我的工作对他们的发现至关重要。”“当你的工作应用于如此辉煌的发现时，真是令人兴奋！”
在研究小波之前，迈耶研究了卡尔德隆猜想七年，只用了三个月就发现了迈耶小波。 迈耶小波
是二值小波，即其尺度以2^j的形式变化。 ψ(x) 是无限平滑的实带限函数。 它在频域上有紧凑的支持，但在时域（由函数不等于0的点组成的闭点集）上的支持是无限的，所以在应用中通常Meyer小波的傅里叶变换为用过的。
1986年11月，迈耶应邀到芝加哥大学演讲，在那里他结识了来自宾夕法尼亚大学的斯特凡·马拉（Stéphane）。 他也是法国人。 从巴黎综合理工学院毕业后，他在宾夕法尼亚大学学习计算机科学和信息。 我正在理科攻读博士学位，我的研究领域是图像分析。
斯蒂芬·马拉
恰巧大学同学是Meyer的研究生，暑假期间我无意中从他那里了解到了Meyer小波。 很快他就有了新的发现：标准正交小波基的构造与图像处理中的拉普拉斯金字塔算法非常相似，将图像从细到粗分解，形成金字塔形状。 他试图将这种多分辨率的思想植入到正交小波基的构造中。 当他得知迈耶要去芝加哥大学时，他带着自己的想法来到了这里。
这次，我和Meyer在教授的办公室讨论了三天，建立了在L2(R)空间构造标准正交小波基的多分辨率分析理论。
返回讨论结果后，我构建了一种利用离散小波变换来分解和重建图像的快速算法，该算法可以将图像从细到粗分解为多个尺度，然后快速重建它们。 他将这些进展汇编成一篇论文。
第二年年初，我收到了小波多分辨率分析的预印本。 她最近完成了小波框架的另一项主要工作，并开始考虑正交小波基的构造。 她研究了多分辨率分析下的迈耶小波，发现其滤波器无限长（具有无限非零值），并且在应用于离散信号时只能截取有限数量的部分。 这个想法是，无论多分辨率分析，是否可以直接构建有限长度滤波器并能够使用先进的分解和重构算法来处理离散信号？ 如果此步骤可行，通过观察向滤波器添加哪些条件，可以在多分辨率分析下从中获得紧密支持的标准正交小波基。
英格丽德·多贝西 ( )
遵循这一思想，给出了构造光滑紧支持小波标准正交基的理论和方法。 小波诞生了。 根据她的分析，只要满足条件的滤波器是有限长的，所得到的标准正交小波基就是紧支持的。 而且，滤波器的长度越长，获得的小波就越平滑。 例如，滤波器最短的小波是非光滑的Haar小波，而长度为8的滤波器得到的小波(db4)就平滑得多。
左：原始图像； 右：利用小波变换将图像分解为第一层Haar小波（左）和小波db4（右）
小波的出现为小波变换的广泛应用打开了大门。 距离我们第一次见面才过去六年。 六年来，它从应用出发，带动了理论的发展，再通过发展的理论反哺应用，形成了一个个美丽的故事。
关于迈耶
小波分析的鼻祖之一，他构造了一维正交小波（Meyer）。 高纬度正交小波的构造仍然是开放的并且尚未得到解决。 三个icm 45分钟的报告总共2小时15分钟。 他获得了高斯奖。 作者一直在和大牛合作，有算法。
关于
小波分析之母、调和分析大师。
2023年沃尔夫数学奖获得者、杜克大学教授（）
以色列沃尔夫基金会董事会成员林教授周二宣布：“这是对她在当时的工作的沃尔夫奖。”
教授在小波理论和调和分析领域做出了重大贡献。 她的研究彻底改变了图像和信号的数字处理，并为数据压缩提供了标准且灵活的算法。 多贝西的研究成果带动了许多领域的技术创新，包括医学成像、无线通信和数字电影。 例如，她早期的研究成果被用于图像压缩。 JPEG 2000 格式图像是通过小波压缩生成的。 ，它们还用于将声音序列压缩为 MP3 文件； 在最近的应用中，它们被用来增强和重建早期的哈勃望远镜图像、检测伪造的文档和指纹等等。
小波分析是继傅里叶分析之后的一种新的信号处理方法。 自1910年Haar构造出Haar小波以来，经过众多科学家的不断研究，目前的小波分析理论已经日趋完善。 小波分析方法已应用于自然科学和工程技术的许多领域。 小波变换的本质是将给定的信号分解为一系列不同的频带。 从泛函分析的角度来看，小波变换将给定的信号函数投影到一系列函数空间中。 这一系列的函数空间是通过函数的拉伸和平移得到的。 不同的函数空间代表不同的频率分量。 其余的函数分量保留在尺度函数空间中。 它们是信号中的低频分量物理学家是数学家，也用于实际问题中。 最受关注的成分。 需要选择小波分析中使用的小波。 它与傅里叶分析完全不同，傅里叶分析只能使用正弦函数作为分析因子。 这使得小波分析比傅里叶分析更具适应性。
小波的发展过程如下（到2006年，因为深度学习模型的出现）
1910年，Haar构造了Haar小波。 由于小波是不连续的，当时并没有引起人们的注意。
1936年，他和佩利建立了LP理论，并提出了傅里叶变换中的二值化频率划分。 这被认为是多尺度分析思想的最早来源。
1952 年，Heil 等人。 引入了框架的概念，后来Heil等人提出了框架的概念。 在此基础上建立了小波框架。
1975年建立了再生公式，给出了H^p空间中的原子分解，其形式接近于小波展开公式。
1984年，首次提出小波的概念，并与文献[1]一起建立了小波的展开平移系统。
1985年，Meyer从理论上研究了小波，极大地丰富了现代调和分析的内容。 1986年，他构造了Meyer小波，其著作《小波和算子》详细介绍了他的研究成果。
1986年，Dubuc构造了插值小波。 该小波是插值理论与多分辨率分析相结合得到的，具有良好的去噪性能。
1987年，第一届国际小波会议在法国马赛召开，极大地推动了小波的发展。
1988年，紧支撑正交小波被构造出来，它是当今应用最广泛的小波之一。
1989年，他提出了多分辨率分析的概念，并建立了构建小波的通用框架。 他还给出了算法。
1989年，等人。 构建的小波包。
1992 年，Chui 等人。 构造B样条小波。
1992 年，科恩等人。 构造双正交小波，是目前应用最广泛的小波之一。
1993年，应 的要求，构建了小波。 该小波和小波的尺度函数都具有消失矩，并且比小波具有更好的对称性。 它是应用最广泛的小波之一。
1993年，等人。 提出了多带小波，它是两带小波的推广。
1994年，等人。 建立了多小波理论。
1995年提出小波提升格式，建立了第二代小波变换框架体系。
1996年，张等人。 研究了算法中的初值问题，给出了由采样值计算初值的公式。
1999年，脊波()被提出。 小波对奇异点有很好的检测能力，而脊波对奇异直线有更好的检测能力，可以有效地提取图像中直线的特征。 同年，提出了()，可以有效地提取曲线的特征。
2000年以后，还有人利用提升构造双正交多小波、M带双正交插值小波等。
Zhon等人构造了正交小波和双正交小波。
构造了M带正交小波和M带二值小波。
构造复值小波。
Chapa 等人构建了匹配小波。
2000年，等人。 提出了带状小波()变换，它是一种基于边缘的图像表示方法，能够自适应跟踪图像的几何规则方向，具有良好的去噪和压缩性能。
从 2002 年到 2005 年，Do 等人。 提出了轮廓小波( )变换和临界采样轮廓小波( )变换。 轮廓小波基的支撑为条形，其长宽比随尺度变化。 它可以很好地逼近原始图像。
2006年，等人。 从线性微分算子构造了一个类小波基（—like base）。 这类小波具有良好的性质，其小波空间特性用算子的极点和零点来表征。
此外物理学家是数学家，2011年提出了同步压缩小波变换，2012年提出了小波散射网络，2013年提出了经验小波变换。
小波应用
随着小波分析理论和算法的不断发展，其应用范围也越来越广泛。 目前，小波分析已成为一门重要的应用学科。 它已广泛应用于信号与图像处理、语音识别与合成、遥感与遥测、CT成像、地震勘探、故障诊断、量子力学和天文学等领域。美国应用小波分析压缩了 FBI 存储的 3 亿指纹。 仅光盘存储所获得的效益就高达3000万美元，而由于指纹传输时间缩短至原来的1/20所创造的价值更是难以估量。 因此，充分利用小波分析这一新工具，已成为许多学科所关注的问题。 下面讨论小波分析在一些重要领域的应用。
(1)小波在信号去噪中的应用
去噪是为了提高信号的清晰度和视觉效果。 由于小波变换具有时频局部化特性，因此可以有效消除信号中的噪声。 1992年，根据信号和噪声的不同特点，提出了一种对信号小波变换系数中模极大值进行去噪的方法。 1995年提出了基于阈值处理的小波去噪方法。
(2)小波在神经网络中的应用
小波神经网络是一种基于小波理论的新型神经网络。 它可以兼顾小波和神经网络的优点，既利用小波变换的时频局部性，又发挥神经网络的自学习能力，因而具有较强的逼近和容错能力。
(3)小波在电磁理论中的应用
电磁场问题可以用相应的算子和边界条件来描述。 在电磁场的数值计算中，人们希望用较少的计算量和存储空间得到精确的解。 小波变换可以使电磁场数值计算中的矩阵变得稀疏，使得求解方程变得更加容易。 1993年应用小波求解电磁场积分方程并讨论了矩量法的相关问题。 1995年，王将小波与边界元法结合起来求解散射和多导体传输线，提出了基于多尺度分析的微分方程求解算法。 1996年，提出了一种基于多分辨率求解麦克斯韦方程组的时域多分辨率分析算法。 1998年，G01ik利用小波包变换得到了比小波变换更稀疏的矩阵，进一步提高了计算效率。
(4)小波在图像融合中的应用
图像融合是将不同方法获得的相同图像数据进行空间配准，然后利用融合算法将各图像的优势或互补性有机地结合起来，生成新的图像，以提高分析和提取图像信息的能力。 目前，基于小波变换的图像融合技术是研究的主流。
(5)小波在数字水印中的应用
随着计算机技术、网络技术和多媒体技术的发展，人们可以发布自己的数字作品。 为了防止数字作品被侵权、盗版和篡改，需要实施有效的版权保护，于是数字水印技术诞生了。 数字水印技术是在数字作品中嵌入具有特定含义的标记（水印），以证明作品的所有权，并作为识别和起诉非法侵权的证据。 由于小波交换具有时频局部性和多分辨率的特点，小波域水印技术越来越受到人们的关注。
(6)小波在图像压缩中的应用
早期的JPEG图像压缩标准使用离散余弦变换算法。 基于离散余弦变换的编码技术容易产生块效应和蚊式噪声。 自2000年以来，采用了基于离散小波变换的新图像压缩标准。 可以实现无损压缩和感兴趣区域压缩，可以加密JPEG文件，对多种颜色变化有良好的兼容性。 由于小波变换具有良好的时频局部性且易于与人类视觉特性结合，因此已成为图像压缩的主要技术之一。
(7)小波在其他领域的应用
小波分析还广泛应用于数学、力学、生物学、天体物理学、量子力学等领域。
在数学方面，小波分析被认为是近50年来调和分析的结晶。 利用函数小波基系数的衰减速度，可以分析函数在某一点附近的局部规律性。 许多经典函数空间可以序列化，而傅里叶基则不能。
在快速算法方面，小波变换应用于一类奇异积分算子。 这些算子在小波基础上的表示几乎是对角的，因此可以快速计算奇异算子。 随后，等人将小波变换应用于偏微分方程的数值求解。
在流体力学中，小波变换可以分解湍流场并测量其能谱。 小波基是通过母小波的平移和展开得到的。 基函数相似，因此小波变换非常适合分形表示和分形维数的计算。 通过应用小波分析对分形进行了详细的研究。
在生物医学领域，小波变换已应用于磁共振成像技术，可以在40毫秒内提供切片图像。
在天体物理学中，小波变换已被用于自动检测中的信号处理。 这种数学显微镜能够分析不同尺度下银河系的碎片性质和分形结构等重要信息。
小波分析的前景与展望
小波分析在理论和应用方面都取得了重要成果，对许多学科产生了巨大影响。 有关专家预测，小波分析的真正高潮尚未到来。 小波分析无论在理论还是应用上都还在迅速发展，许多问题还没有得到解决。 对以下问题的研究是非常有意义的。
(1)小波理论有待进一步完善，特别是高维小波、多小波、复值小波、匹配小波、脊波和曲线波的数学理论和构造方法。
(2)构造一个能够考虑正交性、对称性、正则性和紧支持等特性的小波。
(3)进一步研究最优小波基的选择方法。
(4)小波和分形研究。
(5)小波和分数阶傅立叶变换研究。
(6)小波变换软件研究。
(7)小波神经网络研究。
(8)小波与混沌理论结合的研究。
(9)非线性小波研究及其在非线性科学中的应用。
(10)小波在通信中的应用。
(11)小波在物理、化学、生物医学等基础科学中的应用。
由于小波的良好特性及其在多个领域的成功应用，美国应用数学学会将其列为应用数学八个前沿课题之一。 美国国防部认为，小波分析将对未来关键国防技术中的信号和图像处理产生重大影响。 英国皇家数学会也将小波分析列为十大重点发展方向之一。 法国和德国也在该领域的研究上投入了大量精力。 中国科学院原院长周光召在其《若干基础科学的发展趋势》和现任院长路甬祥的《科学的历史与未来》的两篇报告中特别强调了小波分析的重要性。