概括
高中课本上有“万有引力定律源自开普勒定律”、“开普勒定律源自万有引力定律”。 采用近似方法求解该问题，结果缺乏说服力。 大学教材或相关文献中，解题都是基于微积分知识，学生不容易理解。 本文利用哈密顿速度矢量图，结合简单的几何知识，巧妙地解决了上述问题。
关键词 开普勒定律； 万有引力定律； 汉密尔顿定理； 矢量图； 几何法
在高位，“法来自于法”和“法来自于法”，它们是由的，而不是。 在or中，是by，这并不容易。 本文采用 和 来解决上述问题。
开普勒（）从第谷的观测数据中总结出了开普勒行星运动三大定律。 由此，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中得出了力与距离的关系。 万有引力定律与平方成反比。 这是开普勒的第一类问题。 后来，万有引力定律被视为基本定律。 约翰内斯·伯努利（ ）证明，在引力场中，如果力与距离的平方成反比，则轨迹将始终是圆锥曲线。 这是开普勒的第二类问题。
目前的大学教科书或论文中，解决开普勒问题都是通过微积分来解决的[1,4-6]。 由于高中生微积分知识不足，高中课本通常将行星的椭圆运动近似为圆周运动来推导出万有引力定律。 这种推导一般高中生都能理解，但总有一种近似的感觉，不能完美解决开普勒第一类问题。
本文总结了开普勒、牛顿、汉密尔顿等人关于开普勒问题的研究成果，推广和应用了汉密尔顿的重要研究思想：汉密尔顿定理。 将行星运动时各速度矢量的起点平移到同一点，速度矢量的终点所形成的轨迹称为速度矢量图。 汉密尔顿发现行星运动的速度矢量图是一个圆，称为汉密尔顿定理[7]。 这篇文章的主要工作是在汉密尔顿定理的基础上，加上一些高中生能理解的几何知识，巧妙地“从开普勒定律推导出万有引力定律”、“从万有引力定律推导出开普勒定律”。
1 椭圆的光学性质及其应用
全日制普通高中教材（必修）《数学·（第二卷（上）》（人民教育出版社）阅读材料《圆锥曲线的光学性质及其应用》第138-139页[2]开普勒第三定律，2006）写道：
定理1：从椭圆的一个焦点发出的光，经椭圆反射后，相交于椭圆的另一焦点。
推论1 如图1所示，给定一个椭圆和椭圆的切线，焦点F1和F2在切线上的投影分别为X和Y，则F1X·F2Y=b2（b为半短焦）椭圆的轴）。
证明可以在[2]中找到。
2 汉密尔顿定理
定理2（汉密尔顿第一定理） 如果开普勒第二定律成立，且物体的轨道为椭圆，则其速度矢量图为圆[7,9]。
定理3（哈密尔顿第二定理）如果一个物体在与距离的平方成反比的中心力的作用下绕固定点运动，那么它的速度矢量图就是一个圆[7,9]。
我们先用一个简单的例子来说明什么是速度矢量图。 水平运动的物体具有恒定的水平速度，其垂直速度从零均匀增加。 如图2(a)所示，速度的起点平移到同一点O，速度的终点A、B、C、D、E……在同一垂直线上。 这些由速度的端点组成的图形称为速度矢量图。 显然，平抛运动的速度矢量图是一条垂直线。 速度矢量图上任意两相邻点的有向线段就是该过程的速度变化ΔV。 速度变化ΔV的方向与物体的加速度和力的方向相同。 由平抛运动的速度矢量图是一条垂直线可知，做平抛运动的物体的重力方向是垂直方向。 如果将速度矢量图旋转90°，则可以得到旋转90°的速度矢量图为水平线，垂直于重力方向，如图2(b)所示。
2.1 汉密尔顿第一定理的证明
如图3所示，以焦点F1和F2做一个椭圆轨道，其中F2是太阳的位置，A是远日点，B是近日点。 椭圆的长半轴为a，短半轴为b，短半轴为b。 焦距为c。 设 P 为椭圆上的任意点。 以F2为圆心，2a为半径，画一个圆。 连接F2P，延长与圆的交点为U。通过点P连接F1U，画椭圆的切线l。 l 与 F1U 的交点为 X，过 F2 画垂线 l，垂脚为 Y。
由椭圆的光学性质 ∠XPF1= ∠YPF2(1)
从相反的顶角可得 ∠UPX= ∠YPF2 (2)
由(1)和(2)两个方程可得∠XPF1=∠UPX (3)
2a= 上+ PF2 = PF1 + PF2 (4)
由式(4)可得UP=PF1 (5)
由(3)(5)两个方程可得UF1⊥l，即UF1⊥v(6)
根据开普勒第二定律，我们得到
制作
(8)
由推论 1 我们得到
(9)
由(7)(8)(9)三个公式可得
(10)
由(6)(10)两个方程可知，行星90°自转速度矢量图是一个圆，其中圆心为太阳的位置，所有速度矢量的起点为行星的另一个焦点椭圆，终点在这个圆上，哈密尔顿第一定理得证。
2.2 汉密尔顿第二定理的证明
假设行星运动的轨道形状未知。 为了便于说明，如图4所示，将轨道平面按照以太阳为固定点的角度分为8等份。 每条轨迹与太阳的角度为
假设分界线与轨道相交处的速度分别为Vn。 将这8个速度矢量的起点移动到一个固定点，如图5所示。将8个速度矢量的终点依次连接起来，形成一个正八边形。
连接两个相邻速度端点的有向线段为
ΔV=Vn－Vn－1 (11)
从万有引力定律
(12)
从牛顿第二定律
(13)
容易证明，如果物体所受的合力方向为径向，则开普勒第二定律成立，角动量守恒为
由式(12)(13)(14)三个式可得
(15)
如图5(a)所示，轨迹上相邻的两点在重力作用下旋转了相同的角度Δθ后，各有向线段的长度ΔV相同，后者的速度变化相对于前一个。 Δθ角，因此速度矢量的端点依次连接形成正八边形。 当分割边数接近无穷大时，正多边形就变成了圆形。 汉密尔顿第二定理得到证明。 需要注意的是，圆心O并不是速度矢量的起点F。 将速度矢量图旋转90°后，得到旋转90°的速度矢量图，如图5(b)所示。 不难看出，速度矢量图旋转90°后仍然是一个圆，并且速度矢量的起点就在圆内的某处。 在某一固定点，每个速度对应的有向线段大小保持不变，方向与速度垂直。
3 由开普勒定律推导出万有引力定律的几何证明
接下来，论文将证明万有引力定律可以由开普勒定律推导出来，即行星运动所施加的力是向心力，指向太阳（椭圆的一个焦点）的位置; 力的大小与距离的平方成反比。
从图3和定理2（哈密尔顿第一定理）可以看出，满足开普勒第一、第二定律的90°自转速度矢量图是一个圆，圆心为太阳和起始点的位置所有速度向量的点。 是椭圆的另一个焦点，终点在圆上，如图6所示。
图6中，经过很短的时间Δt，速度矢量的终点沿圆弧线从U移动到W，有向线段
这个过程中90°旋转的速度变化ΔV是相同的，并且这个过程的速度变化ΔV垂直于方向。当Δt很短时，存在有向线段。
沿着圆的切线方向，可以得到该过程的速度变化ΔV。 垂直于圆的切线方向，即沿着径向，行星绕太阳运动时受到的加速度和力与速度变化ΔV方向相同，即都是在径向。 行星受到太阳引力的影响。
根据开普勒第二定律，单位时间扫过的面积为
类比向量三角形 ΔF1UW，我们得到
(17)
由(10)(17)两个方程可得
(18)
由几何知识可知，UW=2aΔθ (19)
从牛顿第二定律
(20)
将四个式子(16)(18)(19)(20)联立可得
（21）
其中 k 是与行星相关的常数。
椭圆的面积为S=πab(22)
行星运动周期
（23）
从开普勒第三定律
（24）
将(21)(23)(24)三个式联立得
(25)
4π2k1 是一个与行星无关的常数。
4 开普勒三定律的几何证明
4.1 开普勒第一定律的几何证明
由于太阳对行星的引力是保守的正力，因此行星在运动过程中机械能和角动量守恒。
不妨设置一下
(28)
从机械能守恒定律来看，R是某个值。
如图7所示，假设行星绕太阳运行的轨道为Г（形状未知），太阳位于O点，A、B分别为行星运动过程中的远日点和近日点。 根据汉密尔顿第二定理，速度矢量图旋转90°是一个圆。 假设圆以O为圆心，以R为半径。 接下来，确定速度矢量的起点F以及速度大小与对应有向线段的比例系数。
由于A和B的势能处于极值，因此动能也处于极值。 A、B 对应的速度垂直于 A、B、O 的连线。在旋转 90° 的速度矢量图中，速度矢量垂直于对应的有向线段。 可知速度矢量的起点F在AOB直线上。
从图 7 可以得出 FU1 + FU2 = 2R (29)
对于A、B两点，由角动量守恒可得
L= mv1r1= mv2r2 (30)
由于 FU1 和 FU2 是对应于两点 A 和 B 的速度的有向线段
由式（29）（30）（31）可得
根据式(32)，速度矢量的起点是圆内的固定点。
假设轨道上任意一点P的速度与对应的有向线段FU之间的关系为FU=kv。 (33)
对于两点A、B，由能量守恒定律可得
将式(30)代入式(34)消去r1和r2后，将式(34)中的两个式相减并整理得：
由式(32)(35)可得
(36)
比较两个方程(33)(36)，可以得到比例系数
(37)
由以上分析可以得出，旋转90°的速度矢量图具有以下性质。 旋转90°的速度矢量图是一个圆； 速度矢量的起点F是圆内的固定点，速度矢量的终点在圆上； 任意一点的速度v垂直于相应的有向线段，且比例系数为一定值。
如图8所示，太阳的质量为M，位于O点。质量为m的行星的初始位置为P0，初速度为v0。 v0 和
之间的角度为 θ0。 接下来，我们需要证明行星的轨道是椭圆形。
以太阳位置O为圆心，R为半径，画一个圆。 连接 OP0 并将其延伸至与圆相交。 交点为U0。 画出 U0 相对于初速度 v0 的对称点 D（固定点）。 取行星运动过程中任意一点P，设P点处的速度为v，连接OP并延伸与圆相交，交点为U，OP与速度v的夹角为θ，交点速度 v 和 DU 的点是 X 。
从机械能守恒
(38)
根据角动量守恒，我们得到 L= θ0 (39)
由几何关系可得 DU0 = 2(R－r0) sinθ0 (40)
由式(38)(39)(40)三个式可得
(41)
比较三个方程(33)(37)(41)可以看出，图8中的D点和图7中速度矢量的起点F是同一点。 图8中的圆与图7中旋转90°的速度同一个圆的矢量图示。由旋转90°的速度矢量图的性质可以得出，圆上任意点P的速度v行星运动轨道与对应的有向线段DU满足以下关系
由角动量守恒定律，L=θ (43)
从机械能守恒
(44)
由几何关系可知，UX=(R－r)sinθ (45)
求得三个式子 (43) (44) (45) 并可得
(46)
由两式(42)(46)可得
(47)
由式(47)可得
是一个等腰三角形
即DP+OP=R (48)
行星运动过程中，到两个固定点D和O的距离之和为一定值R（即椭圆的长轴），因此行星的轨道是椭圆，D和O是椭圆的焦点。 开普勒第一定律被证明。可以订购
R= 2a（a为行星运动椭圆轨道的半长轴） (49)
4.2 开普勒第二定律的几何证明
单位时间扫过的面积
(50)
由角动量守恒，很容易得出，单位时间内行星与太阳连线所扫过的面积相等。
4.3 开普勒第三定律的证明
根据图8画出图9。如图9所示，椭圆是行星运动轨道。 设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c。 以O为圆心、R（R等于椭圆长轴）为半径的圆是行星自转90°的速度矢量图，D为速度矢量的起点，P为椭圆轨道开普勒第三定律，连接 OP 并延伸与圆相交于 U
设 q= DU，r = OP，R = 2a (51)
由式(42)(47)可得
它是一个等腰三角形。 P 点的速度垂直平分 DU。 设P点和PU点的速度之间的夹角为θ。
由以上几何知识，我们得到
(52)
对三角形
由余弦定律
(2c)2 = (2a)2+ q2－2·∠OUD (53)
sinθ=cos∠OUD (54)
来自 (52)(53)(54)
由(27)(42)我们可以得到
(57)
对 (51) 整理 (57) 可得
(58)
由式(50)可得
(59)
由(58)(59)我们可以得到
(60)
开普勒第三定律证明
5 结论
牛顿的著作《自然哲学的数学原理》开创了经典物理学的先河，但今天的学生在学习牛顿原著时发现它对几何知识的要求非常高，而这在当前的学校教学中普遍被忽视。 本文采用几何推导开普勒问题的方法，梳理开普勒、牛顿、汉密尔顿等人的贡献，从而培养学生的科学思维。 从开普勒定律推导万有引力定律时，只用到了汉密尔顿第一定理和高中生已经掌握的几何知识。 学生容易理解，可以作为今后高中教材的补充阅读材料，开阔学生的视野。 。
参考
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基金项目：湖北省教育学会教师教育专业委员会2020年度项目（-027）资助。
作者简介：李杜，男，黄陂区第一中学一级教师。 主要研究中学物理教学和强基计划。 姜福金，男，黄陂区第一中学高级教师。 他的研究方向是物理问题中的数学和数值模拟。 申请研究，刘英，女，黄陂区第一中学二级教师。 主要研究中学物理教学及基础强化方案。
引用格式：李杜，刘英，蒋福进。 开普勒三定律和万有引力定律的几何证明[J]. 物理与工程, 2022, 32(3): 125-130.
引用: 李东, 刘宇, 姜凤杰. 三个定律与定律的证明[J]. , 2022, 32(3): 125-130。 （在 ）
结尾
