已知电荷Q激发的电场为{E}=kQfrac{hat{r}}{r^n}，\求相距2a的两个电荷形成的电场线充电 pm Q.
由于系统的旋转对称性，只需要两个电荷所在的某个平面内的电场线。 建立平面直角坐标系，使正电荷位于(a,0)，负电荷位于(-a,0)。 很容易写出电场为{E} =vec{E_+}+vec{E_-} =kQ(frac{hat{r}_+}{r_+^n}- frac{hat{ r}_-}{r_-^n})\ =kQbigg[frac{(xa)hat{x}+yhat{y}}{{r_+}^{ n+1}} -frac{(x+a)hat{x}+yhat{y}}{{r_-}^{n+1}}bigg],\ 其中 r_+ 和 r_ - 分别是场 点到正电荷和负电荷的距离。 这样，电场线方程可写为： frac{dy}{dx}=frac{E_y}{E_x}= frac{frac{y}{{r_+}^{n+ 1}}- frac{y}{{r_-}^{n+1}}}{frac{xa}{{r_+}^{n+1}}-frac{x +a}{{ r_-}^{ n+1}}}\ 求解这个方程需要一些技巧。 首先，电场分量分母上的r_+和r_-是关于x和y的多项式的根，处理起来很不方便。
因此，首先将分母相同的项组合起来得到frac{(x - a) dy - y dx}{{r_+}^{n+1}} =frac{(x + a) dy - y dx}{{r_-}^{n+1}}\ 此时其实可以直接看出分子可以写成全微分-y^2 d(frac{x pm a}{y}) ，但如果你看不到它也没关系。 您可以使用积分因子方法来获得全微分。 例如电场线，对于等号左边的分子，令积分因子为mu(x,y)，mu(x - a) dy - mu y dx 为全微分。 那么frac{}{ x}[mu(xa)]=frac{}{ y}(-mu y)\ 2mu+frac{ mu}{ x}( xa)+frac{\mu}{ y}y=0\ 假设mu只是y的函数，则得到mu=-frac{1}{y^2}，可得通过积分 (x - a) dy - y dx=-y^2 d(frac{x - a}{y}) 。
等号右边也有类似的结果，我们最终得到 frac{ d(frac{x - a}{y})}{{[(xa)^2+y^2] }^{frac{n+ 1}{2}}} =frac{ d(frac{x + a}{y})}{{[(x+a)^2+y^2]}^ {frac{n+1 }{2}}}\ 此时，做法已经很明显了：让u_{pm}=frac{xmp a}{y}，我们得到frac{ du_+}{{(1+u_+ ^2)}^{frac{n+1}{2}}} =frac{ du_-}{{(1+u_-^2)}^{ frac{n+1}{2}} }\Sointfrac{ du_+}{{(1+u_+^2)}^{frac{n+1}{2}}} - intfrac{ du_-}{{ (1+u_-^2)}^{frac{n+1}{2}}}={const}\ 是电场线方程。 假设u_{pm}=tan{{pm}}，则frac{pi}{2}-{pm}是场相对正负电荷的位置向量之间的角度点与x轴正方向夹角，电场线方程为int cos^{n-1}+ d+-int cos^{n-1}- d -={const}\
最后将上述结果应用到几个具体例子中。
(1) 考虑两个均匀带电的球体或均匀带电的圆柱体。 它们的电荷密度相反，半径大于a。 然后中间就会产生一个空腔。 腔体满足n=-1的情况，带入上式可得u_+ -u_-={const}，即y={const}。 事实上，利用矢量法很容易得出腔体内存在均匀电场的结论。
(2)奇怪的模型：n=0。 （我想不出有什么常见的模型具有这种性质？）此时，电荷产生的电场大小处处相同，因此电场的方向垂直于电荷的角平分线场点和连接两个电荷的线。 这与椭圆的光学特性一致电场线，因此电场线是椭圆的一部分。
用方程验证上面的结论：方程给出sinh^{-1}u_+-sinh^{-1}u_-={const}，所以u_+sqrt{1+u_-^2} -u_- sqrt{1+u_+^2}={const} 。 然后切换到椭圆坐标系(xi,\eta)（暂时只考虑上半平面）：
x=axieta, y=asqrt{(xi^2-1)(1-eta^2)},\ u_{pm}=frac{xieta mp 1}{sqrt{(xi^2-1)(1-eta^2)}}, sqrt{1+u_{pm}^2}=frac{ximpeta }{sqrt{(xi^2-1)(1-eta^2)}}\ 代入，得frac{2xi}{1-xi^2}={const} ，且 1 ">xi>1，我们得到xi为常数，即电场线是以(pm a,0)为焦点的上半椭圆，电场线(形状和方向）的下半平面与其对称。
(3) 对于两根电荷线密度相反的均匀带电导线，求电场线方程。 （或者求两个电荷密度相反的均匀带电圆柱体外的电场。这两个问题是等价的）这对应于n=1的情况，在这种情况下使用下面的表达式（关于theta{pm}）公式速度更快，我们直接得到+--={const}，这意味着场点与连线(pm a,0)之间的角度是一个常数值（圆周角），并且电场线是 (pm a,0) 圆，只不过 x 轴两侧的电场线方向相反。
(4)符合库仑定律的两个实点电荷，即n=2的情况。 积分得frac{xa}{sqrt{y^2+(xa)^2}}-frac{x+a}{sqrt{y^2+(x+a)^2}}= { const}\ 在[-2,0]中取不同的值，得到所有电场线。 这个方程从电通量的角度可以更好地理解，但继续强行简化似乎只会导致混乱的高阶曲线。
值得一看的是远处的电场线，即电偶极子的电场线。 此时{const}趋于0。除了极少数接近y轴的场点外，均具有xgg a。 因此，方程可以近似为 frac{}{ x}frac{x}{ sqrt{x^2+y^2}}cdot(-2a)={const}\ frac {y^2}{(x^2+y^2)^frac{3}{2} }=frac{{const}}{-2a}\ 用极坐标表示，就是 r= frac{-2a}{{const}}sin^2theta\ 可见电偶极子 电场线具有固定形状。