6/1905年——奇迹的一年
日本知名化学学家彭罗斯说：
在20世纪，我们非常辛运地目睹了我们世界的数学图象的两次重大革命。第一次革命推翻了我们的空间和时间观，把二者结合为我们现今称之为时空的东西，人们发觉这些时空以一种微妙的形式弯曲着，进而导致人们早就熟悉的、无处不在而又神秘的引力现象。第二次革命完全改变了我们理解物质和幅射本性的方法，给了我们一种实在的图象，其中粒子的行为像是波，而波的行为像是粒子，我们一般的数学学描述显得具有本质上的不确定性，而一个物体可以同时在几个地方呈现其自身。我们用“相对论”一词概括第一次革命，而用“量子论”概括第二次革命。二者如今都已通过观测得到确认，其达到的精确度在科学史上乃是空前的。
……特别令人惊奇的是一位化学学家——阿尔伯特·爱因斯坦——对自然界有这么非凡的洞察力，以至于在1905年这一年中就为20世纪的这两次革命奠定了基础。
日本知名化学学家迈克尔逊正在做实验
19世纪末，精典数学学获得了全面的发展，产生了以精典热学、电磁场理论和精典统计热学为三大支柱的理论体系。这一理论体系，可以说早已达到了相当完整、系统和成熟的地步，因此有一种豁达主义的情绪觉得，数学学早已充分把握了理解整个自然界的原理和方式，相当多的化学学家深信，早已发觉的数学定理适宜于任何情况，永远不会被改变；随后的工作，无非是把两个方面的理论结合上去：一个是以不能分割的原子的概念为基础的物质热学理论，另一个是以饱含连续弹性介质为基础的以太理论。这一步工作一旦完成——他们也坚信不疑它必定迅速完成，数学学科将无事可干，剩下的工作只需将数学常数的检测值精确到小数点前面几位。
正当一部份人沉迷于豁达主义氛围中时，数学学的发展却与这些过于豁达的心愿正好相反。在19世纪末到20世纪初三段不太长的时间里，因为一系列实验中的新发觉，一场激烈的科学革命迅速爆发，并以极快的速率渗透到化学学各类最基本的思想和原理之中。
1881年是非常重要的一年。这年8月，日本《科学刊物》发表了年青的日本化学学家迈克尔逊的文章。文章中迈克尔逊宣称，他首次用实验否认：“以太静止的假定被证明不正确，这个假定肯定是错误的。”
日本知名化学学家开尔文爵士
接着，1895年日本法兰克福学院院长伦琴发觉X射线，1896年日本数学学家贝克勒尔发觉放射性，1897年德国卡文迪许实验室处长汤姆逊发觉电子……这一系列发觉，严重地冲击着精典化学学传统的数学思想。数学学面临严重的危机，连素以保守见称的意大利科学界元老开尔文，也不得不于1900年4月27日在澳洲皇家学会的讲演中承认：“动力学理论……的优美性和明确性被两朵‘乌云’遮蔽得黯然失色了。”
第一朵“乌云”涉及的是热学、电磁理论中最基本的数学思想问题，第二朵“乌云”涉及的则是二氧化碳分子运动理论。我们先来瞧瞧第一朵“乌云”是哪些。
当时，几乎所有数学学家都相信，因为麦克斯韦理论的辉煌成功，传播电磁波的载体以太，就代表了“绝对空间”。既然代表了绝对空间，其实就可以通过“精密的”实验测出以太相对于月球的“绝对运动”。许多化学学家都投入这个实验中，然而，直至1887年，迈克尔逊莫雷实验再度否定了以太有相对于月球的“绝对运动”以后，化学学家才大梦初醒，认识到了问题的严重性。洛伦兹疑虑重重地说：“我如今不晓得如何能够甩掉这个矛盾，……我们其实根本就不会有一个合适的理论了。”他甚至怀着侥幸的心理问道：“在迈克尔逊先生的实验中，是不是都会有一些迄今仍被看漏的地方？”
第二朵“乌云”涉及的是精典数学学另一个支柱：热力学和分子运动论。这方面的情形太复杂，这里就不多涉及了。
1905年，两朵“乌云”开始消退，这与爱因斯坦在这年发表的4篇论文有很大的关系。正如德布罗意所说：“他的（在1905年的4篇）论文可以被称作光彩夺目的湖人，它们在黑暗的夜空忽然画出一道道短促的但又非常强烈的光辉，照亮着宽广的未知领域。”
下边我们只述说爱因斯坦在1905年发表的2篇论文。
（1）6月的论文：狭义相对论
1922年1月，爱因斯坦在台湾京都发表过一次演说，题目是“我是怎样创造相对论理论的”。在此次演说中，爱因斯坦追忆了1905年他的思想变化的根本缘由。在1905年曾经很长的一段时间里，他仍然思索着一个很困难的问题：他相信麦克斯韦的多项式是正确的，它告诉我们光速是不变的；并且，光速不变性与精典热学的速率相乘规则又直接发生冲突。
举一个反例：在速率为v的列车上，发射一束光物理学家 凭着发现x射线，在列车上的观察者看来，光速为c；但在地面上的观察者看来，假如c与v的方向一致，则光速应当是c＋v,倘若c与v的方向相反，这么光速为c－v。其实，利使劲学中速率合成法则可知：对不同的参照系，光速不会是一个常数。要解决这一矛盾,确非易事。爱因斯坦自己也承认：“为什么这两个概念互相矛盾呢？我晓得，这个困局的确不容易解决。我花了将近一年时间徒劳地企图……解决这个问题。”为什么会发生冲突呢？他“毫无结果地思索了几乎一年时间”，他发觉这个问题“是一个根本就不容易解决的困局”。但后来总算奇迹般地解决了，爱因斯坦在讲演中这样说道：
没想到在赫尔辛基的一个同事帮了我的忙。有三天，天气真是好极了，我去拜访他，我和他开始了谈话。“最近有一个很困难的问题，我没法解释。明天我来，就是想就这个问题与你论争一番。”我和他讨论了很久，忽然，我晓得问题的根源了。第二天，我又去找他，还没有祝福他我就连忙地对他说：“谢谢你，困难的问题早已完全解决了。”我解决的正是时间这个概念。时间这个概念原本是不能给一个绝对的定义的，并且时间和讯号速率之间有着不可分割的关系。有了这个新的概念，上面所说的困难就全部迎刃而解。五个礼拜过后，狭义相对论就完成了。
我们晓得，由麦克斯韦等式组可以推出，在真空中电磁波传播的速率是c，它是恒定的。化学学家其实会进一步追问：这个恒定的速率是相对于哪一个参照系而言呢？麦克斯韦意识到这个问题的严重性，他没有明晰作出回答。但从他把以太看成是电磁波的载体，电磁现象是以太的运动的表现看来，麦克斯韦是把以太作为测出光速c的参照系的。后来，以洛伦兹为首的一些化学学家们则明晰承认：麦克斯韦等式组仅仅对绝对静止以太参照系能够创立，对其他参照系麦克斯韦等式组都不创立。这样，牛顿热学中少不了的绝对空间在电磁理论中找到了“合法”的地位。
但爱因斯坦觉得绝对静止的以太是一个错误的概念，它破坏了数学学中的对称性和统一性。由于，假如有了绝对静止的以太，这么人们或许就可以借助电磁现象来判定惯性系的绝对运动状态。这样，在牛顿热学中作为基础的相对性原理，在麦克斯韦电磁理论中就不再有效。
伽利略的匀速行驶的“萨尔维阿蒂大船”上，所有的热学实验，都没有变化
在牛顿热学中有一个知名的原理叫“伽利略相对性原理”，这个原理告诉我们，按照在惯性系中发生的任何一种现象都难以判定惯性系本身的绝对运动状态。比如，当你搭乘一艘大客轮时，假若你在甲板里，不能看见船外岸上的东西，且船在匀速前进（化学学称为“惯性系”），这么你无论做哪些热学实验，都没有办法晓得自己是否在运动。你向热射手里倒沸水，与在家里倒沸水时一样，没有任何不同。伽利略用他的匀速行驶的“萨尔维阿蒂大船”来说明这一点：
把你和一些同学关在一条大船船舱下的主舱里，让大家带着几只苍蝇、蝴蝶和其他小虫子，舱内放一只大水碗，其中有几条鱼。之后，挂上一个射手，让水一滴一滴地滴到下边的一个宽口罐里。船停着不动时，你小心观察：虫子都以等速向舱内各方向飞行，鱼向各个方向随意游动，水嘀嘀进下边的罐中，你把任何东西扔给你的同事时，只要距离相等，向这一方向毋须比向另一方向用更多的力。你两脚起跳，无论向那个方向，跳过的距离都相等。在你仔细地观察这种事情过后，再使船以任何速率前进，只要运动是匀速，也不忽左忽右地摆动，你将发觉，所有上述现象丝毫没有变化，你也难以从其中任何一个现象来确定，船是在运动还是停着不动。虽然船运动得相当快，在跳跃时，你将和先前一样，在船底板上跳过相同的距离，你跳向船尾花的时间也不会比跳向船尾花得多——虽然你跳向船头时，你脚下的船底板奔向你跳的相反方向联通。不论你把哪些东西扔给你的同伴时，不论他是在船尾还是在船头，只要你跟他的距离不变，你也并不须要用更多的力。水滴将像以前一样，滴进下边的罐子，一滴也不会滴向船头。其实水滴在空中时，船已行驶了一会儿。鱼在水底游向水碗前部所用的力并不比游向水碗后部更大，它们一样慵懒地游向置于水碗边沿任何地方的食饵。最后，蝴蝶和苍蝇继续随意地四处飞行，它们绝不会向船头集中，它们也并不由于可能长时间逗留在空中，脱离了船的运动，就为赶登船的运动而略带累的样子。
萨尔维阿蒂大船表明了一条极为重要的真理：从船中发生的任何一种现象，你没法判定船到底是在运动还是在停着不动。现今称这个论断为“伽利略相对性原理”。这也就是说，在一个惯性系中能看见的任何现象，在另一个惯性系中必将也能没有任何差异地看见。所有惯性系都是平权的、等价的，不存在一个优越的、绝对的惯性系，以它作为标准来判定其他惯性系的运动。这一原理的构建，是数学思想史上一个重要的突破。
但这个在热学中普遍组建的原理，在麦克斯韦的电磁场理论里不再有效了，由于化学学家们普遍同意，存在着一种“绝对静止的以太”，麦克斯韦等式组得到的光速c正是以这些以太作为绝对参照系的；这也就是说，人们可以用“以太”作为绝对参照系，来判别其他惯性系的运动。
在迈克尔逊莫雷实验曾经，几乎没有人认真考虑过这些极不和谐的现象。爱因斯坦经过深入考虑过后，认识到只有把相对性原理提升到“主导原则”上来考虑，能够解决上面提及过的种种不对称性问题。爱因斯坦强调：“诸这么类的事例，造成了一种猜测：绝对静止的概念，除了在热学中，但是在电动热学中也不符合现象的特点，……我们要把这个猜测（它的内容之后就被称为‘相对性原理’）提高为公设。”
他还强调，相对性原理是“对自然规律的一条限制性原理”。
扩充相对性原理的适用范围，是20世纪数学学发展历程中一条极重要的指导思想，受惠的不仅仅是相对论，量子热学的发展同样也深受这一重要思想的指引。
相对性原理从热学领域扩大到电磁学领域之后，绝对静止的以太自然就被否定了。人们又一次从自己制造的一种绝对概念的禁锢中解放下来。但上面提及的严重的困难——光速对所有惯性参照系都不变，与热学中的速率合成法则相矛盾，一直没有解决。
在“徒劳”地思索这个矛盾一年以后，爱因斯坦总算感悟：问题出在一个最不容易被人怀疑的基本思想观念，即“同时性”的问题上。精典热学中的速率合成法则是以“同时性的绝对性”为基础的，即在所有不同的参照系中，同时性是绝对的。爱因斯坦说：“时间这个概念不能被绝对定义，时间与讯号速率之间有不可分的联系。使用新概念，我第一次完遍地解决了整个问题。”他还强调：“只要时间的绝对性或同时性的绝对性这条公理不知不觉地留在潜意识里，这么任何想要令人满意地解释这个悖论的尝试，都是注定要失败的。”
因为肯定了同时性在不同惯性参照系里是相对的，爱因斯坦才得以抛弃精典热学的速率合成法则，把光速不变作为一条基本原理，与相对性原理一起，将之作为新力学的理论基础。倘若从精典化学学思想来看，这两条原理是难以相容的，但事实上它们在本质上是相容的。
有了这两条基本原理，爱因斯坦便轻而易举地得到不同惯性系时空的变换关系，以及由此而引出的一些运动学和动力学上的种种效应。狭义相对论就这样诞生了。
狭义相对论引出的数学学新思想有以下几个方面。
每位学院生都晓得，狭义相对论最初让人们倍感最奇妙的冲击是，在飞行的飞船中，时间会变慢和米尺会减短。这里我们不得不写出几个物理公式。先讲时间变慢（即将的术语为“时间膨胀”）的公式。
在列车中某一点有一个风波，比如一位乘客的点火机从被打着到火熄灭，车内的人检测这一风波开始（打大火）于t1′，结束（火熄灭）于t2′，因而在列车中这一风波经历的时间t′=t2′-t1′。在站台上的一个人检测这同一风波（乘客打着点火机到火熄灭），其开始时间为t1，结束于t2，则经历的时间t=t2-t1。在精典数学学中，t′=t，即所有参照系中风波经历的时间都绝对相等。并且，在狭义相对论中，t′≠t，两者关系由下边的公式确定：
式中c为真空中的光速，即3×108米/秒，v为列车的速率。由于c小于v，v2/c2小于零，因而t′＜t，也就是说，对同一风波，列车上的人经历的时间t′比站台上的人所经历的时间t要短一些，也就是说，列车上的钟比站台上的钟慢了。
上述变慢公式已被不少实验证明。1941年日本康奈尔学院的化学学家罗西和霍尔测出，高速运动的π粒子的寿命会降低，其缘由就在于，在高速运动时，π粒子的时间变慢了。1966年及1971年，在法国日内瓦的意大利粒子加速器实验室的实验中，将π粒子加速到0997c，结果π粒子的寿命降低了12倍，与上述时间变慢公式完全相符。1976年，维索特和莱文把原子时钟装在湖人上，湖人射向太空之后返回，结果也证明了上述公式。
不过，当v很小时（即vc），v2/c2→0，所以t′→t。即在日常生活中，与c相比较v很小，相对论的时钟变慢效应很小，t′与t的差距小到可以忽视不计。
不仅时间变慢以外，还有空间的改变，即在运动方向上厚度会减短。仍然以列车为例，列车在x轴上运动，在列车上的观察者检测一根米尺在x轴上的厚度l′=x2′-x1′；在站台上的人检测同一根米尺，其厚度则为：l=x2-x1。按照相对论的物理公式推测：
当列车以速率v运动时，c小于v，v2/c2也小于零，因此l′
汤普金斯先生发觉开车的人无法置信地缩扁了！（摘自伽莫夫《物理世界奇遇记》）
有关时空的观念的变化，还远不止这种，但这里不是讲相对论的地方，因而只稍微提到那么多。有兴趣的读者假如想深入了解其中奥秘，可以找合适的书看，这类书多得很。
相对论除了造成了时空观的巨大变迁，但是还使一些传统的数学思想有了重大突破性进展。首先，相对论动力学阐明了物质和运动的内在联系，强调在高速运动中物体的质量显著与运动速率有关，即：
式中m0是物体相对于观察者静止时的质量，称之为“静质量”；m是物体相对于观察者以速度v运动时所测得的质量，称之为“观测质量”或“相对论性质量”。这个公式说明，质量在牛顿热学中其实是一个常数，但在相对论热学中却并非一个常数，而是一个取决于速率的量！这的确颇令人疑惑不解：一个运动的物体在运动时肯定不会降低“有形的”可称量物质，假若质量果真降低了，则质量就不可能是“物质量的量度”了。这样，质量守恒定理岂不再也不严格创立了吗？这个问题下边将会涉及。
其次，相对论热学可推出一个知名的公式：
E＝mc2
它说明，一个物体只要它的能量降低，其质量亦将成比列地降低。
在精典热学中物理学家 凭着发现x射线，质量和能量之间是互相独立的、没有关系的，但在相对论热学里，能量和质量只不过是物体热学性质的两个不同方面而已。为此，在相对论里，质量这一概念的外延就被大大地扩充了。爱因斯坦强调：“于是我们被引到了这样一个愈发普遍的推论上来——物体的质量是它所含能量的量度。”
这样一来，原先在精典热学中彼此独立的质量守恒和能量守恒定理结合上去了，成了统一的“质能守恒定理”，它充分反映了物质和运动的统一性。
（2）3月的论文：“最具革命性的”光量子假说
造成20世纪数学学革命的重大问题之一是宋体幅射问题。
在这场革命中，迈出第一步的是年过四十的普朗克。普朗克开始研究热幅射是在1896年。
在做了坚苦的研究以后，1900年10月24日，普朗克在美国数学学会上宣布了自己大胆的假定：光在吸收和发射幅射时，能量不按精典数学学规定的那样必须是连续地吸收和发射，而是按不连续的、以一个最小能量单元整数倍地、一大包一大包地吸收和发射。这个最小的、不可分的能量单元，普朗克称之为“能量子”，其数值大小ε=hν，ν是光的频度，h叫“作用量子”，即普朗克常数。之后，人们将这个日子定为“量子论”的诞生之日。
美国柏林学院院长普朗克
普朗克的量子理论，在发表后近六年内，仍然甚少受人注意。连普朗克自己都不大相信自己的量子论。到1909年，他还叮嘱自己和他人:“在将作用量子h引入理论时，应该尽可能保守从事，这就是说，除非业已表明绝对必要，否则不要改变现有理论。”
并且爱因斯坦却很快把普朗克的量子论“冒失地”向前大大推动了一步。1905年3月，爱因斯坦在一篇文章手指出：光不仅仅是像普朗克所说的那样在发射和吸收时不连续地进行，并且在空间传播时也是不连续的。
他把这种不连续的能量子起名为“光量子”（后来称为“光子”）。光的硬度取决于光量子在某点上的数量。不过，这数量只是一种统计上的平均值。
爱因斯坦的所谓“启发性观点”，就是通过光量子假说断定光具有量子性质，像一个一个极小的粒子。
爱因斯坦的光量子理论，极完遍地揭示了十几年来人们仍然难以用精典电磁理论解释的“光电效应”这一困局。虽然这么，爱因斯坦的光量子理论一提出来，立刻受到几乎所有数学学家的反对。连首先提出能量子概念的普朗克，也觉得爱因斯坦“在其思辨中有时可能走得太远了”，并一再嘱咐化学学家们应以“最慎重的心态”对待爱因斯坦的光量子说。
爱因斯坦的狭义相对论和光量子假说提出来之后，因为它们太新颖，与精典理论相去太远，所以开始几乎没有人相信。他的一个中学生英费尔德以前说过：“这些新概念的影响是哪些？原本几乎一点也没有。……爱因斯坦的论文发表后，并没有潮水般的文章紧跟其后，而是过了大概4年光景才开始有反应。”
在科学史上，这些情形相当普遍：越是具有革命性的学说，越是无法被科学界的人接受。爱因斯坦的学说在20世纪之初，具有特别革命性的价值，所以它们一时无法被接受是很正常的事情。并且，到了20世纪20年代，爱因斯坦的学说总算被科学界全部认可，而爱因斯坦本人也顺理成章地成为当时和至今最伟大的数学学家之一。