麦克斯韦方程组本质上是四个简洁的微分方程，它们共同高度概括了经典电磁学（静电学、静磁学和电动力学）。 它们也是爱因斯坦创立狭义相对论（1905年）的理论基础和灵感源泉。 静电学和静磁学在麦克斯韦之前就已得到发展和完善。 法拉第出现后，人们对磁和发电有了进一步的认识。 然而，所有这些电磁理论直到直到现在才以微分方程的形式表达。 后来在用数学总结的过程中，发现静磁学中的安培定律并不适用于交变电场（比如电容器的充放电过程），于是聪明的麦老擅自在安培定律中加了一项（历史学家（称为位移电流），不仅满足了数学要求，还解释了电磁的产生。如果想完全理解方程，必须从静电学、磁学开始，对矢量微积分有很好的掌握和充分理解( )。
静电学的基本目的是了解静电荷之间的相互作用，这基本上涉及两个定律，即库仑定律（'s Law）和电场叠加原理（ ）。 库仑定律指出，两个点电荷之间的相互作用与平方成反比。 它是通过反复实验得出的经验法则。
tilde{F}=kfrac{Qq}{tilde{r}^2}tilde{r_0}, k=frac{1}{4pi} 。
其中，Q为测试电荷，q为源电荷，r为Q与q之间的距离（坐标系原点为q），tilde{r_0}为方向单位向量物理学家毕奥，为电介质真空中常数。电场叠加原理指出，多个源电荷对测试电荷的作用是矢量之和，两个电荷之间的相互作用不会受到其他电荷存在的影响，即
tilde{F}=sum_{N}^{}{tilde{F_n}}=Qsum_{N}^{}{frac{kq_n}{tilde{r}^2}}tilde{ r_0}（点电荷），
等式与除Q得到电场强度E相同。如果电荷是连续分布的（比如不规则的带电块），那么连续的电荷分布就被切割成无数个小源“点电荷”Delta q，然后利用电场叠加原理求出总相互作用（做积分）。
电通量（Flux）定义为电场强度（Field）与垂直于它的平面面积的乘积，它代表穿过该平面（伟大的发明！）的电场线的数量（因为电场强度）。 大小由电场线的密度决定）。电通量可以用数学上的矢量点乘（选择垂直分量）来精确表示，即
Phi=lim_{N infty}{}sum_{N}^{}{}tilde{E}cdotDelta tilde{a_n}=int_{S}^{}tilde{E }cdot d tilde{a_n} 。
（可以用类似的极限来理解以下积分。）现在想象一个被球面包围的点电荷 q。 通过球面的电通量为： Phi=frac{1}{4pi}frac{ q}{r^2}cdot4pi r^2=frac{q}{} ，这意味着通过球面的电通量与球面半径无关，而只与球面包围的电荷量有关。 这意味着包含 Phi 可以表示球体中的电荷量，这是库仑平方反比定律的直接结果，否则 Phi 将与半径相关。然后在上面的球面周围包裹一个任意形状的闭合曲面。 容易知道，穿过球面的电场线数量必定经过任意曲面，即球面与任意曲面的电通量相等。 因此，上述结论适用于任何闭合曲面（也可以定量证明）。 再次利用电场叠加原理，有
Phi=oint_{S}^{}tilde{E}cdot dtilde{a}=frac{sum_{}^{}{q}}{}=frac{Q}{ }
其中 S 是任意闭合表面，Q 是闭合表面中的总电荷。 这就是高斯定律的积分形式，麦克斯韦方程组的第一个方程。然后利用高斯定理，也叫散度定理（Gauss'，详细介绍请参考费曼第二卷），将面积积分转换为将方程左侧转化为体积积分， oint_{S}^{}tilde{E} cdot d tilde{a}=int_{V}^{}div tilde{E}cdot d {tau} 和 Q=int_{V}^{}rho dtau ，代入原方程得
divtilde{E}=frac{rho}{} ,
其中rho是电荷密度，dtau是体积元，是高斯定律的微分形式。 如果体积V减小到足够小的尺寸，我们就得到divtilde{E}的物理意义，divtilde{E}=lim_{V 0}{}frac{1}{V} oint_{S} ^{}tilde{E}cdot dtilde{a} ，是点电荷附近单位体积的电通量。 高斯定律则表明电荷产生电场，而电荷就是电场的来源。
与静电学类似，静磁学主要研究电流之间的相互作用，因为实验观察发现恒定的电流会产生磁场并对移动的电荷施加力，这种力用高中时学到的洛伦兹力来表示。 在进一步理论推导之前，必须明确所有静磁学都是关于恒定电流（ ）。 所谓恒定，是指电流中的电荷不会造成电荷积累。 例如，在三维电流中，取一个足够小的圆柱面，其横截面垂直于电流方向，进去的电荷与出来的量相等。 首先定义三个维度的电流tilde{J}=frac{dtilde{I}}{da_bot}，其中a_bot是垂直于电流的横截面。 注意，此时电流是一个矢量。 根据局域电荷守恒与发散定理，I=oint_{S}^{}tilde{J}cdot dtilde{a}=int_{V}^{}div tilde{J}d tau =-int_{V}^{}frac{d(rho dtau)}{dt} ，则得到局域电荷守恒公式 ( )，divtilde{J}=-frac{ rho}{t}。 在静磁（恒流）情况下，等式右边为0（体积V中的电荷总量保持不变），即电流散度为0（divtilde{J}=0）。 下面介绍一下Biot-Sager定律，该定律与静磁学中的库仑定律类似。 它定量地给出了恒定线性电流（直线）周围磁场的大小和方向，也是通过重复实验得出的。 的，
tilde{B}(tilde{r})=frac{mu_0}{4pi}int_{}^{}frac{tilde{I}timestilde{r_0}}{r^ 2}dl=frac{mu_0}{4pi}Iint_{}^{}frac{dtilde{l}timestilde{r_0}}{r^2}
第二项到第三项是因为 dtilde{l} （单位长度向量）和 tilde{I} 方向相同。 磁场的方向由矢量差乘以右手定则给出，tilde{r_0}是方向单位。 向量，注意这个定律也服从平方反比关系。同时取方程两边的散度()，然后用级数得到
div波浪号{B}=0
这是系统的第二个方程，它表明不存在像正负电荷这样的磁单极子（ ）。然后在原方程两边取旋度（Curl）可得
旋度tilde{B}=mu_0tilde{J}(tilde{r}) ,
这就是所谓的安培定律，该定律指出电流会产生磁场。 现在取方程两端的面积积分，并利用斯托克斯定理 (' ) 将面积积分转换为线积分：int_{S}^{}curltilde{B}cdot da=oint_{ C} ^{}tilde{B}cdot dtilde{l}=mu_0oint_{S}^{}tilde{J}da=mu_0I ，其中 C 是曲面 S 的边界，I 是闭合曲线 C 包含总电流。 第二项和第四项一起是安培定律的积分形式，它可以让我们轻松计算对称物体的磁场，而无需繁琐的毕奥定律。 现在让曲面S收缩得足够多，就可以得到curltilde{B}的物理意义，即curltilde{B}=lim_{S 0}{frac{1}{S}oint_ {C }^{}tilde{B}cdot dtilde{l}} 是电流附近磁场闭合曲线的线积分。
在闭合电路中，有两种力驱动电流，电源中携带电荷 f_s 的力（单位电荷施加的力）和电场力 E（单位电荷）在电线中。 现在我们将电动势(力)定义为闭合电路周围电路中单位电荷所施加的合力的路径积分，=oint_{}^{}(tilde{f_s}+tilde{ E})cdot d tilde{l}=oint_{}^{}tilde{f_s}cdot dtilde{l} ，注意反转的 tilde{E} 的路线分数为 0 (field)假设 tilde{E} 是由静电荷产生的，这也是平方反比关系的直接结果。 当时做了三个实验：磁场线切割磁场、磁场移动而导线不移动但磁场强度不变、磁场线不移动但磁场强度改变，以及在这两种情况下都获得了感应电流。 第一个实验利用电动势的定义，用洛伦兹力代替幂力，很容易得到感应电动势（注意tilde{B}永远不会起作用）； 第二个实验和第一个实验一样，只是交换了参考系，但是可以。他不这么认为（速度为0的时候，导线中的充电速度怎么会受到洛伦兹力的影响！？！？） ，他认为这是一个巧合。 这个问题基本上开启了狭义相对论（事实上，参考系交换后，电场力在驱动电荷。电场和磁场只是在不同参考系中对电荷的作用是一样的！）； 第三个实验让他有了一个重要的发现——改变磁场会产生电场（电荷不再是电场的唯一来源！）。 第三种情况，单位电荷所受的力仅来自于感应电场，即=oint_{}^{}tilde{f}cdot dtilde{l}=oint_{}^{ }tilde{E }cdot dtilde{l}。 然后用磁通量的变化来表示磁场的变化，即=-frac{dPhi_B}{dt}。 结合前面的公式，磁通量的定义为 oint_{}^{}tilde{E}cdot dtilde{l}=-frac{dPhi_B}{dt}=-int_{} ^{}frac{ tilde{B}}{ t}cdot dtilde{a} ，然后用 ' 将左项转换为右项对应的面积积分，得到，
旋度tilde{E}=-frac{ tilde{B}}{ t} ,
这是方程的第三部分，以他的名字命名为法拉第定律，该定律指出变化的磁场也可以产生电场。
现在回到之前提到的安培定律的微分形式，取方程两边的散度（div）。 数学立即要求等式左边为0（curl必须为0），等式右边是电流。 恒流下发散度为0（之前已经给出证明），但交流电下发散度不是0。 例如，将电容器连接到交流电压，并且在两个极板之间建立闭合圆形曲线C。 高斯定律指出，由于C所含的电流I为0，所以其周围没有磁场，但实验表明电容器周围有磁场！ 安培定律不适用于非恒定电流，但这是预期的，因为安培定律源自适用于恒定电流的毕奥定律。 直到，他改变了前面提到的局部电流守恒公式，divtilde{J}=-frac{ rho}{ t}=-frac{ }{ t}( \tilde{E}) =-div(\frac{ tilde{E}}{ t}) ，如果安培定律右边减去这一项，不就使得散度一直为0了吗？ 于是等式的第四部分就出来了。 。 。现在
旋度tilde{B}=mu_0tilde{J}+mu_0\frac{ tilde{E}}{ t} ,
这样，即使上述电容器中间的tilde{J}为0物理学家毕奥，也存在由变化的电场产生的磁场。 该定律指出，变化的电场会产生磁场。
4 个方程组在一起就是，上帝说：
divtilde{E}=frac{rho}{}
div波浪线{B}=0
旋度tilde{E}=-frac{ tilde{B}}{ t}
旋度tilde{B}=mu_0tilde{J}+mu_0\frac{ tilde{E}}{ t}