其实在看拓扑领域的文章中,常常提及载流子轨道耦合是很重要的,但是也常常遇见和这两种不同的载流子轨道耦合,但也始终没有仔细去看过它们之间究竟有哪些区别与联系,在这儿就从推论载流子轨道耦合的具体表达式开始,之后再详尽的讨论一下这两种不同的载流子轨道耦合究竟有哪些不同与联系.
载流子轨道耦合推论
电子带电荷$-e$绕原子核以速率$bf{v}$运动的时侯,会存在载流子磁矩.电场对静止的磁矩是不存在互相作用的,而对运动的磁矩,电场将会与其发生互相作用,所以载流子磁矩和由原子实在该处形成的电场将形成互相作用,这就是载流子轨道互相作用的起源.
由于运动是相对的,里面的剖析是将座标系置于了原子实里面,这么接出来将座标系置于电子里面,这么就是原子核绕着电子运动.这时侯载流子轨道耦合效应可以理解为,电场$bf{E}$以速率$-bf{v}$运动形成一个磁场$bf{B}$,这个磁场对载流子存在扭矩的作用.磁场可以按照毕奥萨法尔定理估算
[{B}=frac{mu_{0}{j}times{r}}{r^{3}}=mu_{0}{0}({v}times{E})]
这儿$bf{v}$是电子的速率,$bf{E}$是原子核在电场处形成的电场.借助电场分布的径向分布方式即
[E=frac{1}{e}frac{V}{r}frac{r}{r}]
上式中V是原子核实电子的库伦势,借助轨道角动量关系$bf{L}=rtimesp$,及${p}=m{v}$,可将磁感应硬度写作
[{B}=frac{1}{emc^{2}}frac{1}{r}frac{V}{r}{L}label{eq2}]
上式即表示在电子座标系中原子实在电子处形成的磁场.考虑载流子以后,自由电子的伊宁顿量为
[H=frac{({sigma}cdotp)^{2}}{2m}]
假如再考虑磁场${B}=nablatimes{A}$的存在后,动量要弄成正则动量的方式$pp+frac{e}{c}{A}$,则伊宁顿量变为
[H=frac{left({sigma}cdotleft({p}+frac{e}{c}{A}right)right)^{2}}{2m}label{eq1}]
借助泡里算符关系式
[({sigma}cdot{A})({sigma}cdot{B})={A}cdot{B}+{i}{sigma}cdot({A}times{B})]
将(ref{eq1})通分为
[H=frac{left(p+frac{e}{c}Aright)^{2}}{2m}+frac{{i}}{2m}{sigma}cdotleft(p+frac{e}{c}{A}right)timesleft(p+frac{e}{c}{A}right)]
第一项是电子轨道磁矩和外磁场的互相作用,这儿主要关注第二项,借助矢量代数工具可将第二项通分
(frac{{i}e}{2mc}{sigma}cdot[({p}times{A})+({A}times{p})]=frac{{i}e}{2mc}{sigma}cdot(-{i}hbarnablatimes{A})=frac{eh}{2mc}{sigma}cdot{B}=-{mu}_{s}cdot{B}label{eq3})${mu_s}$是载流子$bf{S}$相对应的磁矩,依据原子化学的可以晓得电子的载流子磁矩${mu_s}=-g_smu_B{S}$,这儿$g_s$是载流子朗德g因子,玻尔磁子$mu_B=frac{ehbar}{2mc}$,$bf{S}$是载流子角动量.
将(ref{eq2})代入(ref{eq3})后,再借助$Acdot(BtimesC)=Bcdot(CtimesA)=Ccdot(AtimesB)$可以得到载流子轨道互相作用为
[U=frac{1}{m^{2}c^{2}}frac{1}{r}frac{V}{r}{L}cdot{S}=-frac{1}{m^{2}c^{2}}nablaVcdot({S}times{p})]
到这儿就推导入了载流子轨道耦合的通常表达式,在考虑电子参考系的非惯性系后真空中的载流子轨道耦合伊宁顿量为(哪些非惯性系这个我也不懂)
[H_{s0}=-frac{1}{4m^{2}c^{2}}({sigma}cdot{p})timesnablaV]
这就是常常在文章中见到的载流子轨道耦合通用方式.
载流子轨道耦合
就是在二维平面的垂直方向破坏反演对称后的结果,倘若在$z$方向加上一个电场,因而在这个方向上的反演对称都会被破坏
[H_{E}=-E_{0}z]
带电的电子以速率$v$在电场中运动时将会感遭到一个有效的磁场
[{B}=-({v}times{E})/c^{2}]
这么此时的载流子轨道互相作用为
[H_{{SO}}=frac{gmu_{{B}}}{2c^{2}}({v}times{E})cdot{sigma}]
所以此时的载流子轨道耦合可表示为
[H_{{R}}=-{{R}}({sigma}times{p})cdothat{z}=-({x}p_{y}-{y}p_{x})]
这一项后面的系数一般可以通过实验进行检测.这一项的存在就类似于此时存在一个磁场$(p_y,-p_x,0)$,这个磁场的方向和大小与动量有关,其向量图表示如下
VectorPlot[{y, -x}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, StreamPoints -> Coarse, PlotTheme -> "Scientific", ImageSize -> Large, PlotRange -> All]
载流子轨道耦合
这些方式的载流子轨道耦合推论的过程比较复杂,我也没有找到合适的资料,这儿只是简单的从把知乎和维基上的内容进行一下整理.这些方式的载流子轨道耦合伊宁顿量一般表示为
[H_{{D}}p_{x}left(p_{y}^{2}-p_{z}^{2}right){x}+p_{y}left(p_{z}^{2}-p_{x}^{2}right){y}+p_{z}left(p_{x}^{2}-p_{y}^{2}right){z}]
在一个2D的纳米结构中,也就是$z$方向上是有限的时侯,这个伊宁顿量可以拆分成线性项和三次方项(H_{{D}}^{(1)}=frac{beta}{hbar}left({x}p_{x}-{y}p_{y}right)\H_{{D}}^{(3)}=-frac{beta}{hbar^{3}}left(frac{d}{pi}right)^{2}p_{x}p_{y}left(p_{y}{x}-p_{x}{y}right))
这儿$beta$是耦合常数,$d$则是材料的长度.假如在这儿只关注线性项,这么此时也有一个等效的磁场$(p_x,-p_y,0)$,其向量图如下
VectorPlot[{x, -y}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, StreamPoints -> Coarse,PlotTheme -> "Scientific", ImageSize -> Large, PlotRange -> All]
将这两不同方式的载流子轨道耦合对应的等效磁场置于一起进行比较,如右图所示
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