在学校的数学课本中，朋友们早已初步学习了压强原理，即浸入在液体中的物感受遭到垂直向下的压强，其大小等于该物体排开的液体所遭到的重力。这个定律是法国学者阿基米德最先发觉的，因而俗称其为阿基米德原理。
然而，在高中数学课本中，并没有详尽述说该原理的来龙去脉。实际上，阿基米德原理是上面在第32期“咖啡壶奥秘”中提及的小学课本中浮力基本概念的一个重要结论。基于静止流体中浮力的基本公式，本文详尽地给朋友们介绍一下阿基米德原理的推论过程及其相关的一些知识点。
关于阿基米德发觉压强原理的过程，相关传说有好多个版本，其中一个被广泛留传的版本是从公元4-5世纪的拉丁散文（注一）中述说的故事弘扬出来的。该散文述说了阿基米德当时应国王的约请检测国王的王冠在制做过程中是否被参杂了其他的金属。
在思索此问题的过程中，阿基米德冥思苦想也没有找到合适的方式。有三天，阿基米德正在浴盆中泡澡，忽然有了灵感，提出了通过比较王冠和制做所需的等量黄金所排沸水的容积的方式检测王冠是否被掺假。基于此，阿基米德提出了压强原理及其估算公式，即我们课本中熟知的压强估算公式。
图一思索中的阿基米德该画作由作家Fetti勾画于1620年
图二描述阿基米德在洗脚过程中发觉压强原理的动漫
为了推论阿基米德原理并深入讨论该议程，我们如今对一个完全溶入到水底的圆球（见图三）进行受力剖析。外界的大气压我们用p0表示。图中A和B点是圆球两边的两个极点，其顺着重力方向的垂线与容器内水的液面分别相交于C和D点。依据小学课本中的静止液体浮力公式，在距离液面一定水深处的一点，圆球在点所遭到的压力等于液体密度除以重力加速度再除以距离液面的高度再加上外界大气压。
图三完全浸入在水底的小球示意图
从压力的性质可知，水底压力的方向是垂直于物体表面且顺着内法线方向的。为此球的上表面所遭到水的压力是向上的，而下表面遭到水的压力则是向下的。为此，我们将小球分成两部份并分别进行受力剖析。
对于下表面，我们可以根据微积分的思想将其分成无数个小的微元，其遭到的压力等于该微元处的流体浮力除以微元的截面积。由于A和B点在同一高度，压力在水平方向上的份量会自行抵消，所以我们只须要考虑竖直方向上的力即可。将上述求得的力顺着垂直方向进行分解并进行求和（即积分）便得到了下表面遭到的压强，其方向是向下的。在分解的过程中，为了便捷起见，我们可以将微元截面向水平方向进行投影。
另外，根据上述的估算，我们发觉上述积分恰好等于由图一中的蓝色斜线所标记区域所具有的容积。
图四小球下半部份所遭到的压力剖析
我们如今用同样的办法对小球的上表面进行受力剖析，其数值大小等于图一中的蓝色斜线所标记区域的容积。
同时，注意到流体对小球上表面形成的压力方向是向上的，我们在其后面降低一个减号。我们将上、下表面所遭到的垂直方向上的力进行相减便得到了小球所遭到的压强的大小。在上述运算过程中，在上下表面受力剖析过程中得到的两个体积相乘则刚好等于小球本身的容积。另外，大气压强在估算过程中相互抵消对压强并没有影响。由于上述两个体积相乘总是为正值，所以小球遭到的压强是竖直向下的。
这个时侯，我们便通过运用学校课本中的浮力公式和微积分证明了阿基米德压强原理。在上述推论过程中，我们基本上只使用了一些基本的微积分思想以及流体浮力的若干特点。但通过这个推论过程，我们对学校数学里的压强原理更进一步地加深了认识。
图五小球上半部份所遭到的压力剖析
如今，我们围绕压强做一点拓展思索。按照压强原理，物体所遭到的压强只与其排开液体的容积有关。因而，潜水器无论是处于10米深还是1000米深的水底，其所遭到的压强都是一样的。不同的是，潜水器的内部和外部间的压差在不同的水深时会有极大的不同。
在游泳池中，假如我们不运动的话，身体便会下沉，这主要是由于所遭到的水的压强较小，难以抵消重力。人体的平均密度大约为1.026g/cm3，比水的密度1.000g/cm3略大，因而人在游泳池中不动的话会沉底。
通常海水的密度1.030g/cm3，跟人体的大致相当，海水中游泳时也是会下沉。可以想像一下，只要往水底加入足够的盐，水的密度便会明显提高，因而人便可以在其中浮上去了。诸如，死海中的酸度很大，其密度为1.100g/cm3，为啥人在其中可以毫不费劲地浮上去。
另外，还可以从能量守恒的角度思索流体静压强的基本公式。在流体中，机械能主要包括重力势能、压强势能、动能三种。
当流体静止时，其动能为零。当流体从较高的位置变化到较低的位置时，流体的重力势能减少了，并全部被转化为了浮力势能。为此，流体中的浮力便会下降，其具体的下降数值用小学课本中的浮力公式估算即可。为此，小学课本中的流体静压强估算公式也可以看作是能量守恒在静止流体中的表现方式。
从小学课本的压强原理到本文的推论，大专生在下降知识见识的过程中可以感受以下几点。
知识升华
从小学课本中对压强原理的简单介绍到学院教育中从流体热学角度对压强原理的详尽推论，实际上是对知识不断地加深理解、认识和思索的过程。正如本文所展示的，同一个知识点从不同的维度去进行理解是一种挺好的个人思维训练方式和手段。
注重基础
在本文的推论过程中，朋友们须要用到若干微积分的思想和方法。实际上，好多学院课程的学习都须要前期把握必要的基础知识。
比如，公共基础课微积分是学好流体热学等专业核心课程的前提，而流体热学知识又是深入理解专业主干和必修课程的必要储备。因为上述课程间存在着较强的耦合，大专生在学习过程中应尤其注意，打好基础为要。
适用范围
高中课本以及本文的述说过程中举的反例通常都是浸入在液体中物体的压强。这么，压强公式是否适用于二氧化碳中的情形呢？实际上，假如二氧化碳的密度变化很小甚至可以忽视时，可借助压强公式对该情形进行简单的计算。
比如，例如，景区中常见的氢气球便是借助压强原理在空气中实现浮升的。氢气的密度0.1786kg/m3，远高于空气的密度1.2900kg/m3。据悉，中国科大学正在进行的科学考察用的浮空艇的内部也是充的氢气（见图六）。
值得注意的是，与水不同的是测定大气压强的实验，空气的密度遭到诸多诱因的影响测定大气压强的实验，包括海拔、气候等等，造成压强和浮力的估算更为复杂。
图六中科院青藏高原科学考察使用的浮空艇
注释部份
注一： 该拉丁诗歌的名字是Carmen de ponderibus et mensuris。