图 4. 列奥纳多·达·芬奇的湍流草图，显示了不同尺度涡流之间的相互作用 [来源：]
在罗马时代，卢克莱修就已经对空气和水中的湍流运动之间的共性感兴趣。 如图4所示，16世纪初，达芬奇研究了河流中涡流的衰减。 上述事实表明，湍流是科学中最古老的未解决问题之一。
我们首先介绍一下这个领域最早的成果，这些成果与 的研究直接相关，是AN （AN，1941）的研究，简称K41。 该研究的重点是“充分发展的湍流”，这意味着涡流可以在大范围内自由相互作用。 这些相互作用将能量传递给粘性阻尼的较小涡流。 这个级联过程会导致特定的大尺度流动特性受到这种相互作用的显着影响，从而导致“阻力危机”（详见“对移动物体的阻力”）（详见“对移动物体的阻力”）。 柯尔莫哥洛夫随后发现，完全忽略粘性效应会产生一个动力学方程，其中较小的涡旋在统计上与占主导地位的大涡旋相似。 当粘度接近0时，相似程度由有限的能量耗散率决定。 这个自相似图像（图 5a）取得了惊人的成功。
图 5. 左： (1941) 提出的大小涡级数图。 空间尺度形成一个具有公共比率r的几何级数。 右图：、Sulem 和 (1978) 提出的分形模型中的间歇级联。
尽管柯尔莫哥洛夫主修数学，并且是20世纪最伟大的数学家之一，但他仍然想利用从莫斯科实验室（ ）及周边地区收集的实验数据来证实他的物理理论。 这些数据有力地表明，湍流与上述自相似图像相去甚远：小涡流所占据的空间比大涡流少得多，并且表现出间歇性（图 5b）。 因此，柯尔莫哥洛夫和他的合作者于1961年提出了间歇模型。
GK (GK) 和 AA (AA) (1949) 也发现了间歇现象。 问题是他们发现的现象是否与K41的自相似图像兼容。 为了描述柯尔莫哥洛夫的间歇性，B. (B., 1974) 提出使用“分形 ()”模型，该模型是通过在越来越小的尺度上迭代插入相似的模式而创建的。 得到的几何对象。 数学家自19世纪末以来就提出了这个概念。 1950年，湍流和大气动力学研究的另一位巨头LF理查森（LF）在完全不同的背景下使用分形，研究如何避免国家之间的冲突。 国家之间复杂的分形边界确实比直线边界更容易引发冲突。
图 6. 动荡（上）和金融市场（下）的多重分形信号示例。 信号分析基于直方图，其中水平轴表示曲线上两个不同点之间的高度差。 对于湍流，差值的尺度可以表示为柯尔莫哥洛夫尺度（即最小涡流的尺度）的倍数； 而对于金融市场（这里是两种货币之间的汇率），时间间隔以小时表示。 （直方图取自 S.、W.、J.、P. &Y. (1996), 381）
回到湍流，穿过湍流场的速度探头将产生典型的“噪声”切口，如图 6（顶部）所示。 在许多复杂系统中都会遇到类似的噪声信号，图 6（下）所示的金融市场就是其中之一。 这些信号令数学家着迷，他们对此非常感兴趣，因为曲线到处都是粗糙的（斜率未定义）。
掌握信号多尺度结构的一种自然方法是研究相距给定距离 Δr 的两点之间的速度差 Δv。 方差（|Δv|2的平均值）代表能量在不同尺度之间的分布。
但这种方法并不全面，没有区分稀有强烈的涡流和具有相同全局能量但充满空间的大涡流（相关信息参见图6右侧的概率分布直方图）。 这些直方图的“长尾”代表罕见且强烈的涡流。 随着距离Δr减小，频率继续增加，表明小涡非常稀疏。 这就是间歇性的本质。 在直方图中，如果横轴考虑时间间隔Δt而不是距离，则可以对任何时间序列进行类似的分析，如图6所示的金融市场。 图表尾部代表给定时间间隔内急剧下跌或上涨的概率，与风险管理直接相关。
回到湍流问题，可以使用|Δv|p（p 阶矩）的平均值来评估这些尾部。 p 阶越高，该值对大波动越敏感。 其对间距Δr的依赖关系称为结构函数，可以反映涡旋间歇性的特征。 在 K41 描述的真自相似级数中，p 阶结构函数表现为幂律 Δrp/3（图 7）。 实验表明，对于幂律|Δr| z(p)，指数z(p)小于p/3：在小间距Δr的极限下，高阶矩相对较强，这实际上量化了间歇性。
()于1961年提出的模型更接近实验结果，但该模型会导致指数p较大时，z(p)的值减小，这在数学上是不一致的。 因此，作为替代方案，以（）、苏勒姆（Sulem）、（1978）等为代表的科学家引入了与湍流动力学方程有一定联系的分形模型。 在该模型下，z(p)随p线性增加，且斜率小于1/3。 斜率取决于单个参数，例如分形维数，从而量化了活动涡旋在较小尺度上变得稀疏的现象。 然而实验结果是如图7所示的凸曲线。
图 7. 柯尔莫哥洛夫将“结构函数”Sp(Δr) 的标度指数 ζ(p) 定义为距离 Δr（沿 Δr 方向投影）上速度增量的 p 阶（统计）矩。 这里假设湍流是均匀的（平移不变）和各向同性（旋转不变）。 结构函数 Sp(Δr) 大致是幂律 |Δr|ze(p)。 K41是第一柯尔莫哥洛夫理论，其中Sp(Δr)与|Δr|p/3成正比。 beta 模型显示了 -Sulem- (-Sulem-) (1978) 的结果，该模型具有单一分形维数。 黑色三角形是等人的实验数据。 （1984）。 这些数据仍然作为多重分形建模的基准。 对数正态模型 (K61) 提供了确定间歇性的第一种方法，但大指数 p 的 ζ(p) 的减少与数学情况不一致。
1983 年夏天，和 Uriel 参加了意大利瓦伦纳的暑期学校物理学家分析，主题为“地球物理流体动力学和气候动力学中的湍流和可预测性”。 F.、Y. Gagne、EJ、RA的实验数据很难与单一分形兼容（如图7所示）。 乔治·帕里西以其非凡的物理直觉，提出了多重分形模型来解释它。 这种一致性取决于拟合参数，但其背后的分析揭示了深刻的数学特性。
拥有多个甚至无限分形维数的想法源于一个非常困难的主题：评估巨大风险或财务损失。 瑞典数学家哈拉尔德·克拉梅尔（ Cramér，1938）拥有金融背景，在该领域做出了一些开创性工作。 在克莱默的研究之前，普遍的观点是，通过添加n个独立的均匀分布的随机变量，可以得到两个主要性质（在适当的条件下）：平均值会趋于平均值（大数定律）； 将与平均值的偏差除以n1/2，结果将趋于高斯定律（中心极限定理）。
如果我们将变量相乘而不是相加（或者等效地，将变量相加并取它们的指数），会发生什么？ 这正是柯尔莫哥洛夫（）研究的岩石破碎问题。 给定粒度的概率实际上是连续独立破碎事件的概率的乘积。 因此，获得高斯极限的情况非常罕见。 所有这些问题都涉及到一个奇怪的函数，称为大偏差函数，它代表了对大数定律的偏差。 该函数的名称在不同领域有所不同：“速率函数”、“克拉梅尔函数”或“熵”。 是的，玻尔兹曼熵只是一个特例； 在没有任何先进概率论的情况下理解熵是一项很难完成的壮举，除非你是玻尔兹曼本人。
以下是关于多重分形的一些主要参考文献。 第一次提到多重分形实际上是 和 在 1983 年 会议论文集上发表的一篇论文的 2.5 页附录。 随后 Benzi、 ()、 和 () 发表了一篇更详细的论文。 本文讨论了混沌动力系统中从充分发展的湍流到奇异吸引子的重要方面。 这些 20 世纪 80 年代的论文使用勒让德变换（与统计热力学中定义熵时发生的变换相同）作为关键论点，但没有提及克莱默的大偏差。 （1995）的书重点介绍了大偏差的基本介绍，并提供了更详细的解释。 最后，Yves Meyer (2021) 在网上发表了一篇文章物理学家分析，最初是为数学家撰写的，但没有高级数学知识的人也可以阅读。
图 8.从 Swift 的跳蚤级联到湍流和多重分形。 [来源：作者]
回想一下，Louis Frye (LF) 早在 20 年代就已经意识到分形，当时他引入级联来描述湍流。 LF 借用了 Swift 的一首诗（图 8，Jérémie Bec 插图）。 除非左右跳蚤头部之间的距离变小，否则跳蚤模型是明显分形的，并且很容易是多重分形的。 正如 （）所指出的，分形在自然现象中相当普遍，这正是我们希望看到的。 他反对那些把一切都简单化的人。
最后，我们想强调一个悖论。 毫无疑问，湍流测量变得越来越精确，推动了多重分形分析的发展。 关于模型方程中出现的多重分形奇点，存在一些可靠的定理。 然而，我们还没有找到适用于描述三维强湍流方程的经过验证的定理。 尽管数学基础并不扎实，但多重分形分析仍然是当今常用的工具，用于定量分析环境中观察到的各种复杂的混沌或湍流现象，例如气候时间记录、阵风、云形状和太阳风。
4. 总结
参考资料和说明
封面图片：2021年诺贝尔物理学奖三位获得者，从左到右分别是真锅周郎（ ）、克劳斯·哈塞尔曼（ ）和乔治·帕里西（ ）【来源：©诺贝尔奖宣传部插图】
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引用这篇文章：BENZI, Uriel（2024 年 3 月 13 日），2021 年诺贝尔奖获得者 对统计物理学的贡献，环境百科全书，于 2024 年 3 月 23 日查阅 [ISSN 2555-0950] 网站：
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