1、第五讲角动量及角动量定理5-0 回顾回顾5-1 角动量的定义角动量的定义5-2 角动量定理角动量定理5-3 刚体的定轴转动质心的定轴转动5-0 回顾回顾功的定义：功的定义：动能动能质点的动能定理：质点的动能定理：势能势能质点系的动能定理：质点系的动能定理：W外外W内内EKB - EKA弹性势能弹性势能重力势能重力势能万有引力势能万有引力势能机械能机械能:EEk + EP 功能定律：功能定律： W外外 W非保内非保内EB EA机械能守恒定理：机械能守恒定理：若若 则则E=）（保内非外
2、.1.角动量概念的引入角动量概念的引入0 CvMp总总因为该系统刚体速率为零，所以角动量定理积分表达式，系统总动量为零，由于该系统刚体速率为零，所以，系统总动量为零，系统有机械运动，总动量却为零？系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。问题：将一绕通过刚体的固定轴问题：将一绕通过刚体的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系转动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为多少？统总动量为多少？C C M M* *引入与动量引入与动量 对应的角量对应的角量 角动量（动量矩）角动量（动量矩）pL动量对参考点（或轴）求矩动量对参考点（或轴）求矩
3、5-1 5-1 角动量的定义角动量的定义r定义定义：质点对点的角动量为质点对点的角动量为OrL)(角动量大小：角动量大小： -平行四边形面积平行四边形面积 LvLvm角动量方向：右手螺旋定则角动量方向：右手螺旋定则2 角动量的定义角动量的定义*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。（1 1）质点对点的角动量，不但与质点运动有关，）质点对点的角动量，不但与质点运动有关，且与参考点位置有关。且与参考点位置有关。讨讨 论论 以以A点为参考点，任意时刻点为参考点，任意时刻t，有，有21,.
4、mgt 00,().;rRr 其大小: 方向垂直向里 以以O为参考点，任意时刻的角动量为：为参考点，任意时刻的角动量为： ggrR （2 2）做匀速圆周运动时，由于）做匀速圆周运动时，由于 ，质点对圆，质点对圆心的角动量大小为：心的角动量大小为：质点对圆心质点对圆心O的角动量为恒量的角动量为恒量大小不变大小不变大小不变方向不变方向不变方向不变 r （3）圆锥摆）圆锥摆mv0 0rF()pFdt?dLdt1.
5、质点质点MrF定义：力对座标原点定义：力对座标原点O的扭力：的扭力： OFmrM方向：方向：大小：大小： 0| | | sin|力臂力臂 12LL t角动量定理的微分形式角动量定理的微分形式 若转矩作用一段有限时间，则有质点角动量定理的若转矩作用一段有限时间，则有质点角动量定理的积分方式：积分方式： 冲量矩冲量矩反映在一段时间内扭矩的时间积累反映在一段时间内扭矩的时间积累 质点系的角动量：质点系对给定参考点的质点系的角动量：质点系对给定参考点的角动量，等于各质点对该参考点的角动量角动量，等于各质点对该参考点
6、的角动量的矢量和，即的矢量和，即. 质点系角动量定理：质点系角动量定理：总外扭力总外扭力M外总内扭力总内力矩 M内d 外内外内（）()ijf=？)( 内内 jrr一对内力一对内力的扭矩和的扭矩和)(和0iiMM内内与质点角动量定理方式一样与质点角动量定理方式一样辩一辩：总外扭矩与合外力的扭矩的区别辩一辩：总外扭矩与合外力的扭矩的区别 )(ijji
7、外LM和外（ 都对同一点）都对同一点） iL jL k/ iMjM k3. 角动量定理的份量方式：角动量定理的份量方式： dtLLM dtLLM dtLL5-3 5-3 刚体的定轴转动质心的定轴转动1.1.刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量的大小为的大小为对对O O点的角动量为：点的角动量为：
8、 iii 定义：刚体绕轴转动的定义：刚体绕轴转动的转动惯量转动惯量：刚体绕定轴的角动量质心绕定轴的角动量zzLJ特例：质点特例：质点 irZ转动平面对定轴转动起作用的是对定轴转动起作用的是扭力扭力 沿沿Z Z 轴份量轴份量 FrM对对O O 点的扭力：点的扭力：F2.2.刚体定轴转动的扭矩刚体定轴转动的扭矩对轴的扭矩对轴的扭矩O大小：大小：方向：方向： 注注 ：在：在定轴动问题中，如不加说明，所指的定轴动问题中，如不加说明，所指的转矩是指力在
9、转动平面内的分力对转轴的转矩。力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的转矩。FrM 只能导致轴的只能导致轴的变型变型, , 对转动无贡献对转动无贡献。1Fr转动平面)(-力臂力臂。sinrd rF d转轴方向确定后，力对转轴的扭力方向可用转轴方向确定后，力对转轴的扭力方向可用+ +、- -号表示号表示d3.3.刚体定轴转动中的角动量定理刚体定轴转动中的角动量定理转动定理转动定理讨论：讨论： （3 3）Jz 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转和转轴有关，同一个
10、物体对不同转轴的转 动力矩不同。动力矩不同。 （2 2）Jz 和质量分布有关；和质量分布有关；（1 1）转动惯量是转动惯性大小的量度）转动惯量是转动惯性大小的量度试一试：由牛顿方程推出刚体定轴转动定律试一试：由牛顿方程推出刚体定轴转动定律应用牛顿第二定律，可得：应用牛顿第二定律，可得：O 对质心中任一质量元对质心中任一质量元im- -外力外力iF- -内力内力 afF采用自然坐标系，上式切向分量式为：采用自然坐标系，上式切向分量式为：O OzzMJ想一想：想一想：1. 对静止质心施以外力作用，如果合外力
11、为零，对静止质心施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动？刚体会不会运动？2.如果质心转动的角速率很大，那么假如质心转动的角速率很大，那么（1）作用在它前面的力是否很大？）作用在它前面的力是否很大？（2）作用在它前面的扭矩很大？）作用在它前面的扭矩很大？4. 转动惯量的估算转动惯量的估算2221 12 2zi rm r分立的质点系：分立的质点系：例例1 1：一可忽视质量的轻质平：一可忽视质量的轻质平面正方形框架，边长为面正方形框架，边长为a ，其四个顶点上分别有一个质其四个顶点上分别有一个质量为量为m m 的质点，求此质点系的质点，求此质点
12、系绕垂直于正方形平面且过其绕垂直于正方形平面且过其中心的轴中心的轴OZOZ的转动惯量。的转动惯量。222)22(若转轴平移至正方形的一个顶点若转轴平移至正方形的一个顶点2224)2( 若转轴平移至正方形的一边中点若转轴平移至正方形的一边中点)2()2( zz解：解：例例2 2、求长为、求长为L L、质量为质量为m m的均匀细棒对图中不同的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。轴的转动惯量。A AB BL LX XA AB BL/2L/2L/2L/2C CX X解：取如图座标，解：取如图座标，dm=dm=
13、xJLLC/m 平行轴定理平行轴定理试一试：证明平行轴定理试一试：证明平行轴定理例例3 3、求质量为求质量为m m、半径为直径为R R、厚为厚为l l 的均匀圆盘的均匀圆盘 的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：解：任取直径为任取直径为r r 宽为宽为dr dr 的同心的同心细细圆环圆环, , 转动惯量与其长度转动惯量与其长度 l 无关。所以，实心圆锥对其轴的无关。所以，实心
14、圆柱对其轴的转动惯量也转动惯量也是是 一些均匀质心的转动惯量表一些均匀质心的转动惯量表杆子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为何飞轮的质量为何大都分布于外车钩？大都分布于外车钩？讨论：讨论：例题例题4 4 一轻绳越过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端一轻绳越过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为分别悬有质量为m m1 1和和m m2 2的物体的物体1 1和和2 2，m m1 1 m m2 2 如图所示。如图所示。设滑轮的质量为设滑轮的质量为m m ，半径为，半径为r r，所受的摩擦阻力矩为，所受的摩擦阻力矩为M M。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体
15、的加速度和绳的。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。张力。解解: :用隔离体法受力分析用隔离体法受力分析21T rTrMJ对对 aGTm a12,mm对滑轮对滑轮 aGTm aT rT rMJra 约束条件：约束条件：/ /2/ /2/当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令当不计滑轮质量及磨擦阻力矩即令m m=0=0、M M
16、=0=0时，有时，有1212 上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可拿来测上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可拿来检测重力加速度量重力加速度g g的简单装置。因为在已知的简单装置。因为在已知m m1 1、 m m2 2 、r r和和J J的情况下，能通过实验测出物体的情况下，能通过实验测出物体1 1和和2 2的加速度的加速度a a角动量定理积分表达式，再通过加速度把再通过加速度把g g算下来。在实验中可使两物体的算下来。在实验中可使两物体的m m1 1和和m m2 2相仿，从而使它们的加速度相仿，从而使它们的加速度a a和速率和速率v v都较小，都较小，这样才能角精确地测出这样就
17、能角精确地测出a a来。来。例题例题5 5 一直径为一直径为R R，质量为，质量为m m匀质圆盘，平置于粗匀质圆盘，平置于粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令，令圆盘最初以角速率圆盘最初以角速率 0 0绕通过中心且垂直大盘的轴旋绕通过中心且垂直大盘的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？转，问它经过多少时间才停止转动？r rR Rd dr r d d e e解：思路：解：思路：/Mddtt元质量元质量dm= rd dre，所遭到的阻力矩是，所遭到的阻力矩是r dmg 。想一想：质量元还有更简单的取法吗？想一想：质量元还有更简单的取法吗？ dm= 2rdre