撰写者 | 白德凡
评论 | 吴飞
什么是“卵形”
世界上没有两片相同的叶子，世界上没有两个相同的鸡蛋。 但不同的蛋似乎比叶子更相似。 画鸡蛋时，任何人都会把它画成一端大一端小的不对称椭圆形，就好像鸡蛋是按照这样的模板生长出来的一样。 但这个模板真的存在吗？ 换句话说，所有的鸡蛋真的都具有相同的形状吗？
我们习惯称鸡蛋的形状为“卵形”。 然而，卵形在数学上并没有像圆形、椭圆形等那样有明确的定义，它只是指一大类看起来像鸡蛋的几何形状。 。 工程师可以根据需要设计出具体的鸡蛋形状，物理学家也可以对一些物理现象中出现的鸡蛋形状给出数学表达式，但这些公式不一定能反映现实中鸡蛋的形状。 因此，当我们将鸡蛋的形状称为“椭圆形”时，我们实际上对鸡蛋是什么形状没有明确的答案。
回答这个问题的关键是找到鸡蛋的通用数学描述。 对于现实中的任何一个鸡蛋，如果我们只需要测量几个参数，代入公式就能还原出鸡蛋的几何形状，那么我们就可以说我们已经确定了鸡蛋的形状。
研究鸡蛋的形状不仅仅是为了好玩，它在许多领域都有潜在的应用。 例如，了解鸡蛋形状的数学描述可以让我们轻松计算鸡蛋的体积和表面积，这对鸡蛋孵化和质量评级具有指导意义。 再比如，鸡蛋可以用很少的消耗品承受巨大的负载。 这一特性激发了建筑学和仿生学领域的研究人员的灵感，描述鸡蛋形状的通用数学公式可以帮助他们更好地完成设计。 因此，鸡蛋的形状实际上是一个严肃的学术问题，一直吸引着数学家、工程师和生物学家研究。
早在1948年，德国工程师Fritz Hüäffer就设计出了椭圆形。 这个椭圆形状是在椭圆形状的基础上，引入了一个参数来表示椭圆最宽点与其长度一半之间的距离。 当该参数为零时，意味着椭圆的最宽点恰好是其长度的一半，椭圆退化为标准椭圆。 由此， 给出的公式可以描述从卵形到椭圆形的连续变化。
根据Hugel 模型，长L、宽B的鸡蛋的二维投影轮廓。图中，w是鸡蛋最宽点到鸡蛋长度一半的距离。
（图片来源：VG, MN, G. Lu, et al., 2020,197:45-55。）
在 2020 年的一项研究中，研究人员在众多卵形形状中识别出了 的设计。 他们稍微修改了相应的数学表达式，使其可以用于鸡蛋的测量，然后应用该公式计算出40个鸡蛋的二维投影轮廓、体积和表面积，并与真实测量进行比较结果。 结果非常吻合。 。 这意味着我们可能已经找到了鸡蛋形状的通用数学描述。 利用Hugel 的公式，对于任何一个鸡蛋，我们只需要测量三个参数——长度、宽度以及最宽点与鸡蛋长度一半之间的距离，就可以还原鸡蛋的几何形状。
鸟蛋看起来不像蛋
在探索蛋的形状时，一些研究人员的目光更加广泛，重点关注所有鸟类的蛋。 自然界中鸟蛋的形状千奇百怪，远远不能用一种形状来概括：鸸鹋、宽尾蜂鸟（ ）的蛋是典型的扁椭球体； 鸵鸟和长尾森林猫头鹰（Strix）的蛋不那么扁扁和拉长，非常接近球形； 许多海鸟和涉水鸟类，如崖鸦（Uria aalge）、美洲小鹬（ ）、黑额鸻（ ）等，其蛋一头尖，一头钝。 梨形。 现在描述鸡蛋形状的数学公式已经找到了，我们能找到一个适用于所有鸟蛋形状的数学公式吗？
不同鸟蛋的形状分布。 横坐标代表鸡蛋的不对称性，纵坐标代表鸡蛋的伸长率。 分布在左下的卵接近球形，左上的卵接近椭圆形，右上的卵接近梨形。
（图片来源：et al.,2017, 356:1249–1254）
球形和椭圆形的鸡蛋比较容易处理，因为这两种形状都有明确的数学定义，而且它们也可以从鸡蛋的椭圆形形状中推导出来。 前面提到， 的椭圆公式可以描述从卵形到椭圆形的连续变化，当长短轴相等时椭圆形退化为圆形。 因此，Hugel 的椭圆公式适用于从圆形到椭圆形再到鸡蛋的所有形状，并且还可以描述球形、椭圆形和椭圆形三种鸟蛋的二维投影轮廓。 问题出在梨形鸡蛋上，梨形鸡蛋比鸡蛋更不对称鸡蛋物理学家，一端更尖，另一端钝，看起来更像是去掉了边缘的圆锥体。 的公式并不能很好地描述梨形鸟蛋的二维投影轮廓。
在上个月发表的一篇论文中，研究人员解决了梨形鸟蛋的数学描述问题。 他们仍然使用休格尔舍弗公式，但只使用了一半：它只描述了梨形鸟蛋的钝端。 对于尖端，研究人员使用抛物线进行拟合，然后通过大量计算实现两部分之间的平滑过渡，最终得到广义的Hugel 公式。
研究人员利用广义公式还原了(A)厚嘴海鸦、(B)斑腹沙锥、(C)王企鹅的梨形蛋的二维投影轮廓。
（图片来源：et al. Ann. NY Acad. Sci. 1, 2021: 1–9）
使用这个公式时，我们需要测量鸡蛋的四个参数：除了长、宽、最宽点到鸡蛋长度一半的距离外，我们还需要额外测量鸡蛋尖端到鸡蛋长度一半的宽度。鸡蛋长度的四分之一。 有了这四组参数，研究人员利用这个公式成功还原了几个梨形鸟蛋的二维投影轮廓。 由于这个公式可以描述梨-椭圆-椭圆-圆形的连续变化鸡蛋物理学家，所以在验证了它对梨形鸟蛋的适用性后，我们也知道它适用于任何形状的鸟蛋。 这意味着我们可能已经找到了鸟蛋形状的通用数学描述。
描述鸟蛋形状的通用公式，其中 L 是蛋的长度，B 是宽度，w 是从最宽点到蛋长度一半的距离，DL/4 是从蛋尖开始的宽度鸡蛋长度的四分之一。
（图片来源：et al. Ann. NY Acad. Sci. 1, 2021: 1–9）
鸟蛋的形状由什么决定
到目前为止，我们只回答了“鸟蛋是什么形状？”这个问题。 接下来，我们自然会问“为什么”：鸟蛋为什么有这么多形状？
对于这个问题，很多科学家习惯从进化的角度来分析。 不同的形状可能赋予鸟蛋不同的适应功能。 例如，海鸟经常在陡峭的悬崖上筑巢，而梨形的蛋可以很容易地以尖端为中心在原地旋转，这可以防止它们从高处滚下来。 也有人推测，不同形状的鸟蛋孵化效率不同，这可能是适应巢穴大小的结果。 另一些人认为，梨形蛋为钝端的气孔提供了更多空间，这有助于幼鸟的发育，因此更适合早期成年鸟。
为了验证这些不同的假设，2017 年的一项研究检查了来自约 1,400 种鸟类的近 50,000 个蛋。 研究人员使用贝叶斯系统发育混合效应模型（mixed-model）来模拟每个假设下每个鸟蛋的最佳大小和形状，然后计算实际鸟蛋的大小和形状分布。 一旦将两者进行比较，研究人员得出了一个意想不到的结论：鸟蛋的形状与孵化环境、巢的大小以及幼鸟的发育模式等因素没有明显的关系。 显示出显着相关性的唯一因素是成年鸟类的飞行能力：飞行能力更好的鸟类更有可能产下细长的、不对称的蛋。
研究人员推测，鸟类适应飞行的一些特征——包括流线型的体型、较小的腹腔、退化的卵巢和输卵管——可能对蛋的形状有相当大的影响。 例如，为了高效飞行，雌鸟牺牲了输卵管的宽度，而为了在有限的宽度内保持足够的体积，鸟蛋需要长成细长的或不对称的形状。
这一研究结果给我们启发，我们能否建立一个生物物理模型来描述卵子和输卵管之间的相互作用，并给出由这些相互作用塑造的鸟蛋的形状？ 这样，我们对鸟蛋形状的理解并不仅仅停留在数学拟合上。 拟合鸟蛋形状的通用公式是一种现象学的处理方法。 这个数学公式无法告诉我们为什么鸟蛋会长成这样的形状。 只有从物理角度给出了鸟蛋的形状模型，才能说我们对鸟蛋的形状有了完整的认识。 这项工作需要留给未来的科学家继续探索。
论文链接：
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