为了神圣地镇压这个幽灵，旧世界的所有势力，牛顿力学的追随者，相对论的狂热者和旧量子论的鼓吹者，联合起来。 ”——《量子宣言》
围剿“量子纠缠”幽灵
上面这一段是我编的。
不过，即使是编造出来的，也比今天那些打着“量子”之名的虚张声势和欺骗真实得多。
毕竟，“量子纠缠”这个概念在历史上诞生以来，确实一直受到质疑。 即使是理论上发现这种现象的物理学家也不相信它真的存在，并称其奇特性质为“幽灵”。
尽管量子纠缠已成为当今量子计算机的核心资源，但其许多底层机制仍不完全清楚。
写这篇文章的目的就是回顾这段往事，从通俗而又专业的角度介绍“量子纠缠”的由来和魔力。
本文主要针对高中以上水平、有一定科学思维、对量子力学感兴趣的读者。
需要说明的是，本文中很多内容属于我自己的独立创作和个人理解。 如果大家觉得有不严谨或者不理解的地方，请指出，我会根据反馈及时修改。
第一章 未来是注定的吗？
我们来看一个掷（zhì）骰子（tóu）的例子：
对于人类来说，骰子停止后，每一面朝上的概率都是1/6，但这是在不知道所有关键信息的情况下说的。 我们不知道骰子被掷出的那一刻是什么状态，也不知道骰子运动过程中所受的力，比如空气阻力、地面摩擦力等。
如果骰子的初始状态和各种信息都是已知的或者可以忽略（如空气阻力等），那么就可以完整、准确地预测骰子的运动过程。 最终的概率不是每边都是1/6，而是一侧为1，其他为0。
至少，牛顿经典力学是这么告诉我们的。 如果读者有一定的科学基础知识，应该不难理解。
那些我们不知道但客观存在的变量，比如我们刚才提到的骰子的初始状态和力的条件，被称为“隐变量”（ ），即“隐变量”。
后面会反复提到潜变量的概念。
“物理学中不可预测的情况是由未知的隐变量引起的。一旦知道了所有隐变量的信息，就可以完美地预测未来，不确定的情况是不可能的。” ——19世纪之前主流物理学家都是这么认为的。
直到有一天，一位年轻人发出了另类的声音：
“世界从根本上来说是不确定的，只能用概率来描述。”
提出这个观点的人叫玻尔（丹麦语：Niels David Bohr）。 他是丹麦历史上的名人......
足球守门员。
足球守门员“玻尔”第2章 不掷骰子的神
作为一名足球守门员，玻尔在足球场上最喜欢做的事情就是发呆。
据他的朋友说，玻尔看上去似乎在发呆，但实际上他正在思考数学问题。
尽管如此，玻尔的丹麦足球队还是在 1908 年伦敦奥运会上获得了银牌。 那一年，玻尔23岁。
作为一个年轻人，他或许无法想象自己会在14年后获得诺贝尔物理学奖，并成为哥本哈根量子力学学院的创始人。
玻尔生活在物理学伟大发现的时代。 他在微观领域发现了许多新现象，但尚未得到很好的解释。
面对困扰物理学界的“两朵乌云”（两大难题），传统的牛顿经典力学大厦已经彻底倒塌，而新的量子力学体系却尚未成熟。
与牛顿的经典力学总能给出确定的结果不同，玻尔给出的量子力学理论有时无法准确地描述物体的状态，并声称根本不存在“精确的状态”。
仍然以骰子为例，放在黑盒子里的骰子可能是6种状态的叠加。 请注意，并没有确定侧面朝上。
“观察”骰子哪一面朝上的行为意味着必须摧毁黑匣子，然后光（或其他东西）照射到骰子上，然后骰子将光反射到眼睛（或某种仪器）中。
也就是说，“观察骰子”的行为肯定会对骰子产生影响。
影响的结果是骰子的状态发生变化：瞬间变成某一面朝上。 通过骰子的“概率波”可以预先计算出每一面上涨的概率，但无法给出准确的判断。
当然物理学家猫，以骰子这样的宏观物体为例只是为了方便理解。 玻尔的理论针对的是原子和电子等微观粒子。
根据玻尔的想法，如果骰子足够大，光不会对骰子产生任何影响，但如果骰子极小，小到一个原子，那么光的影响就不能忽略。
然而，玻尔的解释遭到了许多传统物理学家的质疑。
“上帝不会通过掷骰子来（决定世界）。” - 说这句话的人是爱因斯坦。
“不要向上帝发号施令（他能做什么、不能做什么）。” ——玻尔回答道。
玻尔与爱因斯坦的辩论
爱因斯坦说“上帝不掷骰子”的意思是：
骰子的随机性只适合普通人。 如果骰子的初始状态、力等所有“隐藏变量”已知，则可以提前计算出掷骰子的结果。 全能的神都知道这一切，所以对于神来说，掷骰子的行为毫无意义，因为结果是可以预先计算出来的。
爱因斯坦认为，玻尔的量子力学之所以无法预测某个未来，是因为存在尚未被发现的隐藏变量。 知道了这些隐藏的变量，未来就注定了。
因此，在爱因斯坦看来，玻尔对量子力学的解释是不完整的（也可译为“不完整”），缺少关于隐变量的部分，因此需要修改。
玻尔认为，微观粒子的不确定性是根本意义上的不确定性，那些所谓的“隐变量”并不存在。
第3章 虐猫大师薛定谔
但玻尔的理论回避了一个问题：为什么我们在日常生活中没有遇到过“叠加态”？
玻尔刚刚声称量子力学解释了微观粒子。 我们日常生活中看到的东西都不够小，所以量子力学不适用。
但是，如果我们把微观世界和宏观世界强行绑在一起呢？
一位名叫薛定谔的物理学家想到了这一点，为了挑战玻尔的理论，他发明了一个被后人称为“薛定谔的猫”的理想实验：
将猫、毒药和镭控毒药开关一起锁在黑匣子里。
镭有一定的衰变概率。 腐烂后会触发机构打破装有挥发性毒物（氰化氢）的瓶子，猫就会死亡； 如果镭不衰变，猫就会活下来。 但如果你不观察这个盒子会发生什么呢？
薛定谔猫：物理学四神兽之首。另外三者分别是芝诺龟、拉普拉斯兽、麦克斯韦妖，但没有一个像这只猫那样出名。
按照正常的理解，无论观察与否，镭是否衰变、猫是生是死都是已经发生的事实。 爱因斯坦和薛定谔也这么认为，毕竟这是常识。
按照玻尔原来的想法，镭的衰变是微观世界的物质，可以用量子力学来解释； 猫的生死是宏观世界的事情，量子力学不适用。 但现在微观和宏观已经捆绑在一起，即使玻尔不愿意，也必须被迫做出解释。
根据玻尔理论，如果不观察黑匣子，镭就会处于“衰变+不衰变”的叠加状态，这也会让猫变成“生存+毁灭”的叠加状态。 这个解释在薛定谔、爱因斯坦等人看来是非常荒唐的。
这场争论仍然没有完美的答案。 实验物理学家不喜欢讨论这类问题，因为无论使用哪种解释，实验结果都是一样的。
第四章：量子纠缠的幽灵
在薛定谔猫实验中，根据玻尔等人的量子力学理论，镭和猫的状态可以用波函数来表示
|腐烂|猫死了+|不腐烂|猫没死
注：这里忽略归一化系数。 对于非物理专业的读者来说，无需担心符号“|”的含义。
猫的生死和镭的衰变紧密地联系在一起。 薛定谔给这种“束缚”起了一个特殊的名字“纠缠”，现在一般称为量子纠缠。
当打开黑匣子观察时，上述波函数会瞬间转变为|衰变|猫死了或|不衰变|猫没死|之一，猫的生或死就会发生此刻就可以确定。
那么，如果我们在观察镭是否衰变之前，将镭和猫分开，并将它们分开数千英里，根据玻尔对量子力学的解释，故事就变成了：
在我进行观察之前，猫处于“生”和“死”的叠加状态，而我手中的镭也处于“腐烂”和“未腐烂”的叠加状态。 而我现在只要“观察”手中的镭，瞬间不仅能确定镭的“衰变”或“未衰变”状态，还能决定千里之外的猫的生死也将在瞬间决定。 。
换句话说，“观察”的行为对遥远的世界产生影响，而无需任何时间传播，或者说，“影响”的传播速度是无限的。
爱因斯坦在1935年提出的EPR悖论中首次阐述了量子纠缠（后来被薛定谔正式命名）的概念，但并不相信它的存在，后来嘲笑它是“幽灵般的超距作用”。
毕竟，“无限传播速度”听起来（注意只是听起来）与爱因斯坦相对论的精神不符：没有任何东西可以比光速传播得更快。
对物理不太了解的读者可能很难理解为什么不能超过光速，但解释这个问题并不是本文的目的，所以请暂时记住这个结论。
不过，必须指出的是，即使所谓的量子纠缠的“超光速效应”是真实存在的，量子纠缠与相对论并不矛盾。
因为没有人能够主观控制镭是否衰变（也许……除了上帝？）
这意味着观察只能“决定（影响）”而不是“控制”猫的生死。 没有人能够利用超光速的这种特性来操控数十万里外的世界，或者说无法以超光速传输信息，这并不违反相对论和因果关系的基本原理。
补充说明：我的一个专门研究相对论的朋友告诉我，相对论实际上允许超光速。 不过解释中涉及到“超光速”的严格定义，有点太超前了，这里就不详细说了。
接下来的问题是，有没有办法通过实验验证这种超光速效应？
确实有。
第5章：贝尔不等式和超光速
一位名叫贝尔（约翰·贝尔，注意他不是电话的发明者）的科学家，在仔细研究了爱因斯坦、薛定谔、玻尔等人之间的恩怨后，坚定地站在了爱因斯坦一边。
贝尔发明了一种不等式，可以通过实验验证这种“幽灵般的”超光速效应。
如果隐藏变量存在，并且“观察”造成的影响的传递速度不是无穷大（不超过光速），那么实验结果就应该服从这个不等式。
下面，本文将详细介绍如何理解这个贝尔不等式。 注意，整个推理过程只需要一点中国高中数学知识，不需要任何量子力学知识。 毕竟……贝尔根本不相信量子力学“无隐变量”的说辞。
更准确地说，本文介绍的实际上是原始贝尔不等式的众多改进版本之一——CHSH不等式（CHSH是四个人名字的首字母）。
但CHSH发音太难，所以本文仍称其为贝尔不等式。 不管怎样，这确实是广义上的贝尔不等式之一。
注：以下内容可能需要较长时间才能理解。
毕竟，薛定谔的猫涉及的是宏观世界的事物。 为了实验方便，我们没有使用猫+镭衰变毒的组合，而是使用两枚相同的“量子币”组合。 这里的每个量子币都具有以下属性：
您可以选择球体上的任意方向进行观察。 经过观察，会有一定概率得到“正”（记为1）或“反”（记为-1）结果。 如果以后继续向同一个方向观察，结果就会不同。 改变。
我们将两个观察方向上测量的结果记录为a和a'。 这里a和a'可以表示观测结果（值为1或-1），也可以表示观测方向本身。
这里的“量子硬币”具体可能是电子的自旋方向（大学物理专业的读者可能还记得Stern-实验：通过粒子在磁场中的轨迹来测量自旋），也可能是方向光子。 硬币的物理形态并不重要，重要的是其背后的数学逻辑。
让我在这里重申一下。 爱因斯坦的传统力学观点是：现有的量子力学之所以只能给出不确定的结果，是因为一些隐藏变量尚不为人所知。 如果已知，就可以提前判断观察结果。 。
玻尔的量子力学观点是，在观察之前，只能计算出每种结果的概率。 一般来说，观测结果无法提前确切知道。 所谓的隐藏变量是不存在的。
当然，目前还无法通过实验来区分上述两种观点。
然而，如果有两枚“纠缠在一起”的量子币，情况就不同了。 （按照量子力学的观点，它是纠缠的，但传统力学不承认这种关系，所以这里“纠缠”加了引号，后续的推导不需要任何关于纠缠的假设）
两个币分别由 Alice 和 Bob 持有。 Alice会完全随机选择a或a'方向进行观察。 Bob 处于 b 或 b' 方向。
根据爱因斯坦的“隐变量”观点，可以得出以下结论：
左边的硬币，a和a'理论上都有一定的数值，右边的b和b'也是如此。 它们必须满足以下贝尔不等式：
|ab-a'b+ab'+a'b'|le2
因为这里a、a'、b、b'各有两个可能的值（1和-1），所以一共有2^4=16种情况。 将每种情况带入上述公式并计算。 ，我们可以验证贝尔不等式的正确性。
这里假设a、a'、b、b'都是确定值，所以没有什么可讨论的。
但因为有些隐变量是未知的，所以无法提前知道a、a'、b、b'的确定值，那又怎样呢？
总共只有16种情况，每种情况都符合上面的不等式。
所以通过实验，我们可以观察大量的观察结果，然后对它们进行平均。
更具体地说，设每种情况的可能性为p_i，对应的四个“理论确定值”为a_iquad a_i'quad b_iquad b_i'。
提前准备很多这样的“量子硬币纠缠对”，大量观察并取平均值。
可以计算一下这个结果：sum_{i=1}^{16}{p_i(-a_i'b_i+'+a_i'b_i')} 看看它的绝对值是否小于等于2。（实验过程稍后将更详细地描述）
如果你不明白为什么当p_i不确定时这里的值仍然不能大于2，那么用数学来证明一下：
|sum_{i=1}^{16}{p_i(-a_i'b_i+'+a_i'b_i')}|lesum_{i=1}^{16}{p_i|-a_i'b_i+'+ a_i'b_i'|}lesum_{i=1}^{16}{p_i cdot 2=}2
上面的公式使用了不等式|x+y|le|x|+|y|，大家可以自行验证。
为了更清楚地说明这个实验，这里我画一张图并说明一下步骤：
两人随机广泛观察，得到了N组ab，N组a'b，N组ab'，N组a'b'。 他们将所有结果相加，然后除以 N，最后看这个数字的绝对值。 是否大于2
第一步：向Alice和Bob分发大量量子币。
步骤2：对于每一枚硬币，Alice完全随机选择a或a'方向之一进行观察，并记录结果。 注意测量结束后，将硬币丢弃，不要重复测量。 Bob也是如此，他每次都会选择b或b'方向之一进行观察。
步骤3：所有观察完成后，Alice和Bob进行通信，将观察结果放在一起，将所有N组ab、N组a'b、N组ab'和N组a'b'相加。 然后除以N，看这个值的绝对值是否大于2。
事实上，当N很小时，得到的值确实可能大于2，但只要是完全随机的，从统计意义上来说就不会大于2，之前已经证明了。 有的读者可能觉得有点难以理解，这里举两个比较极端的情况来帮助理解：
第一种情况：每枚硬币的a a' b b'总是有一定的值，而且都是1。这种情况下，无论怎么测量，总是1。那么贝尔不等式左边计算为2、这恰好是到了上界。
第二种情况：a a' b b' 以 1/2 的概率完全为 1，以 1/2 的概率为 -1，并且彼此独立（彼此不相关）。 然后经过大量的统计，你会发现ab的平均值为0，其他a'b ab'a'b'的平均值也为0，所以贝尔不等式左边等于0，也小于或等于 2。
如果最后进行了大量的观察，平均后发现结果大于2，违反了贝尔不等式，这意味着什么？
这意味着Alice和Bob手中的量子币之间已经发生了“通信”。
为了便于理解，我们想象一下这样的场景：正常情况下a、a'、b、b'都是1。 这时候贝尔不等式左边应该是1-1+1+1=2，没问题。
Alice和Bob想同时观察自己手中的币，但“同时”毕竟只是理论上的，实际操作中总会有一点差异。
假设Alice先于Bob观察，Alice观察a'的方向，她会得到a'=1，这很快就会影响到Bob手中硬币的b，将b设置为-1。 这时候Bob再测量b，只能得到-1。 如果测量为b'，则不受影响，仍为1。
同样，如果Bob先观察并测量b，结果是b=1，那么Alice手中的硬币a'很快就会变成-1。
那么贝尔不等式左边第二项-a'b就会从-1变成1，整体变成1+1+1+1=4，大于2。
当然，即使按照量子力学的预测，上述情况也不会发生。 我设计这个情况只是为了方便理解“贝尔不等式大于2时意味着什么”。
现在，我们要避免这种观察一侧“快速影响”另一侧的现象。 我们应该做什么？
答案是：如果观察的影响从一端传递到另一端需要时间，那么将Alice和Bob（他们手中的量子币）分开，让他们分开足够远，然后测量它们，并且尝试同时测量它们。
这样，无论Alice还是Bob哪一方先测试，在观察的影响从一端传输到另一端之前，另一端就已经完成了测量。
当然，这样做的前提是观测造成的冲击力的传播速度不是无穷大，而是小于某个值，比如光速。
因此，只要最终发现实验结果不服从贝尔不等式物理学家猫，就可以证明，如果隐变量存在，“观察”动作的影响可以以大于一定的速度传递到远处。速度（例如光速），或“非本地”。
更简洁地说：局部隐变量（Local，LHV）的假设是错误的。
尽管爱因斯坦等人支持并认为这一假设符合现有的经典力学理论和物理学常识，但它是错误的。
最后，在量子力学的框架内，贝尔不等式的左边最大可以达到2sqrt{2}。 虽然具体证明并不困难，但需要一些量子力学的基础知识，而这些基础知识是普通高中生没有学过的。 因此，本文不予介绍。
出于同样的原因，本文没有给出量子纠缠的严格数学定义，因为这也需要用到量子力学。
根据量子力学的推论，并不是所有纠缠的量子币都会违反贝尔不等式，但违反贝尔不等式就一定意味着它们是纠缠的。
后来的大量实验表明，贝尔不等式确实可以被打破，并且与量子力学的计算结果一致。
虽然这些实验经常被指出存在这样或那样的小漏洞（主要是早期版本），但总的来说，贝尔不等式是可以被打破的，现在已经成为科学界的共识。
然而，虽然实验证明了“局部隐变量”的假设是错误的，但是否可以反过来证明量子力学的解释一定是正确的呢？
不确定。
如果“局部隐变量”的假设有问题，那么改成“全局()隐变量”，即去掉“不能超过光速”的设置，那么隐变量可能仍然存在。
但现有的量子力学理论可以解释各种实验，而且是自洽的，所以大家还是相信玻尔的“隐变量不存在”的描述。
因此，如何理解“薛定谔的猫”以及猫是否真的可以处于“生与死”的叠加状态。 这种问题恐怕还会继续争论下去……
最终章：大错误
在物理世界中，“根据常识和直觉猜测答案”可能是考试的好技巧。
但对于科学研究来说，这个技能却不一定可靠。
大多数时候，违背直觉和常识的尝试都会失败。
但一旦成功，它可能会掀起一场物理学革命。
100 多年前，牛顿的绝对时空观主导了整个物理学——直到 1905 年的某一天。
一位年轻的专利局职员举起双臂喊道：“物体的移动速度不能超过光速”、“不同参考系的时钟运行方式不同”。
这种反直觉、反直觉的观点遭到了当时几乎所有主流“老派”物理学家的反对或忽视。
然而，最终的实验表明年轻人是对的。
真相确实掌握在少数人手中。
这位专利局的职员最终成为300多年来唯一一位能够超越牛顿的物理学大师。
是的，他就是爱因斯坦。
当时的爱因斯坦大概不会想到，30年后，几乎同样的故事会在物理学的舞台上再次上演。
一位年轻的足球守门员挺身而出，再次挑战常识和直觉，并再次遭到老派物理学家的反对。
只是这一次，这位保守的老人变成了爱因斯坦本人。
让爱因斯坦引以为豪的成就：比如相对论中“物体运动速度不能超过光速”的结论，
现在它已成为新思想的监狱。
“与邪龙战斗太久，你自己也会变成邪龙。”
——有些人可能会这样描述这个故事中的爱因斯坦。
爱因斯坦确实错了，但这个错误并没有成为爱因斯坦的污点。
他本人连阻碍科学进步的“恶龙”都算不上。
无论如何，是爱因斯坦（实际上是薛定谔），而不是其他任何人，指出了量子纠缠的本质并将其呈现给世界。
他们与玻尔辩论的过程本身就是一个值得载入物理学史册的贡献。
总而言之，量子纠缠诞生的背后是爱因斯坦犯下的一个巨大错误。
但这个巨大错误对物理学的贡献远大于1000个平庸的正确性。
