2.,(122所以如果曲面方程为 那么如果曲面方程为),(),(则曲面的面积,则曲面的面积S为),(),(122解释: ),( ),( ),(),(则表面积为表面积 S： 如果曲面方程为 如果曲面方程为),(),(122 如果曲面方程为 如果曲面方程为 则有a 公式： 则有公式： ),(), (122 示例 示例 1 求圆锥 在圆柱 xyx 22 内的圆柱部分面积内求圆锥 22yxz 的面积。求解曲面与您想要求的面积的方程。您想要的面积的曲面是
3. 的方程为 22yxz xyxD 22:, , 所以 42 个例子。 计算圆柱体截取的双曲抛物线 yxz 的面积 A： 曲面在 xoy 曲面上的投影为： 则)1)1(. 假设空间中有 n 个粒子， ), (, ), 2, 1 （尼米。从力学可知，从力学可知， 、 、 11 、 11 分别位于各自的质量处。它们的质量分别是质点群。
4、粒子群的重心坐标为二。 二、重心是空间物体。 设有一个空间物体V，有连续密度函数，有连续密度函数。），（zyx采用“除法”，用近似代替近似，“求和求和，取极限xy平面上的转动惯量相加，取极限”可以推导出来，它的重心坐标公式可以推导，V的重心坐标的重心坐标公式。将V分成n小块， ），（kkk将第k个块视为集中在点。第 kk 个块被视为集中在该点上的质量。物体的粒子的质量就是它的质量。取第 i 个块上的任意点（取块上的任意点），()、(kkk
5. kkvm ), (令每个小区域的最大直径, 0|T ), (ddd), (即得到其中m为物体V的质量，质量， ）。 面积表示面积V的体积。如果物体被占据，则xoy平面被占据。
6、当上面积面上D面积的平面切片的平面切片， ), (yx ), (dd), ( , 常数，(SD为D的面积)，则其重心坐标那么它的重心坐标是它的面密度，它的面密度是), (dd), ( , 4个例子。求位于两个圆之间的均匀片材的重心。求重心位于两个圆之间的均匀片 sin2 r sin4 r 和 .D 解： 利用对称性，我们可以知道 利用对称性，我们可以知道 0 x 和 Drrr 2956 37 43 2
7. 12 2oyx 粒子 A 转动惯量 J 为轴绕轴 l 的转动惯量 转动惯量可通过积分计算。 粒子群的转动惯量等于每个粒子群的转动惯量。 粒子群的转动惯量等于每个粒子与A和旋转轴之和。 距离r与距旋转轴l的距离的平方的乘积，即2mrJ 3。 3.转动惯量之和的转动惯量之和惯性矩，所以连续体的旋转就是连续体的旋转 r 等于 A 质量的质量 m（假设），（当物体位于 (x, y, z) 时，zyx 取一个微元，并在该位置取一个微元，),()(22 因此，该物体因此具有绕 z 轴的惯性矩： ),()(22
8、z轴的转动惯量为22yx，其体积为dV，其质量为dV，其质量为Vzyxd），（到z轴的距离为22yx，所以它是空间物体空间物体V的密度函数。求密度函数，求V相对于z轴转动惯量轴的转动惯量。), (zyx类似，可类似得到： ), ( ) , ( ), ( ) (22zy )(22zx )( 对于绕 x 轴的转动惯量、绕 y 轴的轴转动惯量、绕原点的轴转动惯量、力矩关于原点的惯性，一般来说，如果 一般而言，如果 V 中的点 (
9. x , y , z ) 到旋转轴到旋转轴 l 的距离为 ，则转动惯量为 坐标平面的转动惯量分别为), ( ), ( 2z2x 对的转动惯量平面相对于xy平面的转动惯量），（2y对平面相对于xz平面的转动惯量），（如果物体如果物体 D 是平面片材 是平面片材，面密度为 Dyxyx), (), ( ), ( 则转动惯量表达式为
10、二重积分：转动惯量的表达式是二重积分。 一般来说，如果D中的点(x,y)到旋转轴l的距离为，则转动惯量为 环面中心轴的转动惯量 中心转动惯量axis zyx 解 解 假设圆环 D 为 ，密度为 ，则 D 中任意点 ( x , y ) 与旋转轴的距离为 ，旋转轴之间的距离为 22yxxy平面上的转动惯量相加，因此转动惯量为那么转动惯量 DyxJ d)(22)(
11. r )( )(例：求半径，求半径为a的均匀半圆片的直径。求解均匀半圆片的直径：建立如图所示的坐标系。建立坐标系Drrr 441a 241aM 半圆形片材 半圆形片材的质量 221aM 惯性矩 2212. 481a 设片材的密度为 设片材的密度为 则 则例 6. 假设球体的密度与距球心的距离成正比 假设球体的密度与距球心的距离成正比 的密度与距球心的距离成正比球体的转动惯量 求其相对于切平面的转动惯量 求其相对于切平面的转动惯量 解 建立如图所示的坐标系 建立如图所示的坐标系 设球体为，密度为球体。
12. k 次是比例常数。 切平面的方程为 z = R, )(2222)cos(dd)(dd。则球体相对于切平面的转动惯量为。则球体相对于切平面的转动惯量为切平面 的转动惯量为 V), (zyx)。 要求密度，请求密度为 F 的物体的物体 V 的引力。物体的外部质量是外部质量为 1 的物体的单位粒子 A 的引力。对象位于 对象位于 (x, y, z)。 取一个位置并取一种微量元素。 其体积记录为微量元素，其体积记录为 dV，其质量为，其质量为），（d 相对于粒子 A。
13.万有引力是。 假设A点的坐标为， 的投影为), (1d1d2 ), (d), (3 其中k是万有引力常数， 是万有引力常数， 222)()()( 所以求力的投影在坐标轴上分别为 所以求力为 在坐标轴上的投影为 V), ( ), (zyxr so so), (例 7. 求均匀球体的密度。求均匀球体 V 的密度: )(), 0, 0(RaaA 的单位质量粒子就是单位质量粒子的引力。解：利用对称性可知引力分量。利用对称性可知引力分量 0 yxFF zF )(23222) ( )(对位于点 point)(ddzD)( 2222: )( k2 k2 RRaza )( R2 )( )( )21(22 k2
