一.RLC说明
RLC电路常见的有RLC串联和RLC并联电路，其原理是相通的，本次公式推论和电路说明以RLC串联电路进行说明。
二.RLC公式推论
RLC电路当然就是一个二阶电路，如右图为一个串联RLC电路：
其可用下列线性二阶常微分等式描述：
RLC串联电路的零输入响应和零状态响应都与微分多项式的系数即器件参数有关。
减振系数说明：
比如对于二阶系统，其特点多项式标准方式为：
为减振系数，ωn为无减振振荡频度。
的大小反映了减振的大小。
>1为过减振，系统特点根为两个负实根，不发生振荡；
=1，为临界减振；
减振系数：
谐振角频度：
方程式可以写为：
，
1）当
>1时，S1，S2均为不同的实根，u(t)响应是非振荡性，称为过减振响应。
2）当
=1 时，S1，S2为两个相等的负实根，称为临界状态。
3）当
三.零输入状态和零状态响应
零输入响应
零输入响应的RLC电路如图1所示，初始条件为电容电流UC等于U0，电感电压I等于0，之后开关从左向右拨，依照电路参数的不同，零输入响应有四种情况：
图1零输入响应RLC电路
（1）过减振，
>1，电路中的电压在放电过程中永不改变方向，电容在全部时间内仍然在非振荡放电，对应波形示意如图2所示；
图2过减振零输入响应波形
（2）临界减振，
=1，电容非振荡放电，波形与过减振类似，如图2所示；
（3）欠减振，
电容电流在零位附近做衰减振荡放电，电压也在零位附近做衰减振荡，对应波形示意如图3所示。
图3欠减振零输入响应波形
（4）无减振，R=0，电容电流按余弦规律做等幅振荡，振荡角频度为
，对应波形示意如图4所示，现实情况中减振R不可能为0，所以不存在此类现象。
图4无减振零输入响应波形
1.2零状态响应
零状态响应的RLC电路如图5所示，初始条件为电容电流UC和电感电压I均等于0，之后输入激励。与零输入响应类似，零状态响应也有四种情况：
图5零状态响应RLC电路
（1）过减振，
>1，电路中的电压在充电过程中永不改变方向，电容在全部时间内仍然在非振荡充电，对应波形示意如图6所示；
图6过减振零状态响应波形
（2）临界减振，
=1，电容非振荡充电，波形与过减振类似如图6所示；
（3）欠减振，
电容电流在电源电流值U0附近做衰减振荡充电，并且不会超过电源电流的2倍，电压在零位附近做衰减振荡，对应波形如图7所示。
图7欠减振零状态响应波形
（4）无减振，R=0，电容电流围绕着电源电流值U0按余弦规律在0~2倍的电源电流大小之间做等幅振荡，电压围绕零位附近做等幅的余弦振荡，振荡角频度为
，对应波形示意如图8所示，现实情况中减振不可能为0，不存在这些现象。
图8无减振零状态响应波形
三.RLC振荡浅显解释
我们晓得电容电流是连续不能突变的，电容公式I=Cdu/dt，变换可得du=Idt/C，依照物理中的行列式知识可得，连续函数在极值点的行列式等于0，因而电容电流值最大时，即电流行列式du=0时，Idt/C=0，可得电容电压I=0；同理，电感电压是连续不能突变的串联和并联的电流电压计算，电感公式U=Ldi/dt，电感电压最大的时侯，电感电流UL=0。
2.1零输入响应
从无减振零输入响应的波形图9开始剖析，初始条件电容电流为U0，电感电压为0，因为内阻R=0，由图1电路，依照基尔霍夫电流定理可知，无论何时，电感电流UL=电容电流UC。在0时刻，因为电容电流为U0，两边极板的电荷不平衡，极性为上正下负，所以电容开始放电，电路中的电压开始降低，流向为顺秒针方向，如图10所示。直至t1时，电容放电完毕，电流UC=0，因而电感电流UL=0。按照上述电感特点，此时电路电压I最大，电容两边极板电荷处于平衡状态。t1时刻似乎电容处于电荷平衡状态，并且因为电感电压不能突变，不能顿时从最大值变为0，只能渐渐减少，这就造成电容的电荷平衡状态被打破，电容重新被充电，极性与t0时刻相反，为上负下正，直到t2时电感电压I=0，按照上述电容特点，此刻电容电流达到最大值。t2时刻似乎电感电压I=0，并且此时电容两边极板的电荷又处于不平衡状态了，电容又要开始放电，只是方向与0~t1时间段内相反，为逆秒针方向，后续剖析与前述思路相同，不再赘言，整个过程种电容电流和电压相位刚好相差90°。
图9无减振零输入响应波形剖析
图10零输入响应电压方向
当电路中的减振内阻R≠0时，波形如图11所示，因为内阻R存在压降UR，电感电流UL就不等于电容电流UC了，而是如下关系：UC=UL+UR。在0时刻，电容放电，电容电流UC增长，电压I降低，内阻电流UR降低，直至t1时刻，电容电流UC和内阻电流UR相等，即UC=UR=IR时，此时电感电流UL就等于0，电压I达到最大值，I=UC/R，其大于无减振状态下的电压最大值。t1时刻电容仍未放电完毕，因而在t1~t2时间段内，电容继续放电直至t2时刻放电结束。而电感电压在t1时刻达到最大值后开始回升，但电压方向不变，到t2时，电容电流放电完毕，电感电压开始给电容充电，电容极性变为上负下正串联和并联的电流电压计算，直至t3时刻，电感电压I=0，电容电流UC达到最大值。从剖析中可知，因为内阻R的存在，电感电压在电容仍未放电完毕时就早已达到最大值，内阻R越大，电压最大值I=Uc/R就越小，电压达到最大值的时刻也越早，当
时，电压与电容电流分别都在同一时刻达到0不再振荡，产生非振荡放电。
图11欠减振零输入响应波形剖析
2.2零状态响应
零状态响应同样从无减振的波形图12开始剖析，初始条件电容电流UC和电感电压I均为0，激励电流为U0，因为内阻R=0，由基尔霍夫电流定理得，无论何时，U0=UC+UL。在0时刻，电容开始充电，电容UC和电压I开始降低，直至t1时刻，电容电流UC上升到U0，此时电感电流UL=0，电感电压I达到最大值。t1时刻后，电压I开始增长，但方向不变，电容继续充电，直至t2时刻，电压骤降到0，电容电流UC达到最大值2U0。t2时刻后，电容开始放电，电压方向改变为相反方向，电压开始反向减小，直至t3时刻，电容电流UC增长到U0，此时UL=0，电感电压达到反向最大值。后续剖析类似，不再赘言。
图12无减振零状态响应波形剖析
当电路中的减振内阻R≠0时，因为内阻存在压降，故U0=UR+UC+UL，波形如图13所示。在0时刻，电容开始充电，电容电流UC和电压I开始降低，直至t1时刻，U0=UR+UC，UL=0，电压达到最大值I=（U0-UC）/R，大于无减振状态下的电压最大值，随后电感电压开始增长。此时UC因为电压方向相反，此刻UR值为正数），电压达到反方向最大值，此时UC>U0，电容电流还未回升到U0，t3-t4时刻，电压从反向最大值逐步减少到0，t4时刻，电压为0，电容电流达到最小值，此时UL=Ldi/dt>0,UR=0,U0=UL+UC,U0>UC，因为电感电压不能突变开始对电容充电，并且因为每次充放电在内阻里面耗损了能量，所以电压峰值越来越小，从剖析中可知，内阻R越大，按照减振系数公式
，减振会越大，而减振有使电路从振荡回到稳定的状态的作用，电压最大值I=（U0-UC）/R就越小，电压达到最大值的时刻也越早，电容电流所能达到的最大值也越小，当
时，电容电流在电压为0时达到的最大值接近等于U0，因为电容电流和激励源U0没有压差，难以再充放电，最终产生非振荡充电。
图13欠减振零状态响应波形剖析
四.总结
前述剖析中可知，RLC电路才能振荡的初始条件是电容或电感处于不稳定状态，即电容有充电或则放电的条件，流过电感的电压不为0，最终稳态必然是电容不具备充放电的条件，同时电感电压为0。
五.拓展
减振和内阻的区别联系
减振是一个极其庞杂的概念，并不局限于热学。在知网百科搜索减振的定义可以查出一堆，尽管各定义不同，但简而言之，减振反映了对震动的衰减作用。内阻是一个热学概念，同样也可以查出一堆定义，但简而言之，内阻反映了对电压的制约作用。
两者概念不同，区别是显而易见的。因为减振和震动系统有关，所以内阻和减振只有在可能发生振荡的电路中就会有联系，而这些联系无非存在两种情况：1、电阻越大，对振荡的衰减作用越大，即内阻减小而减振减小；2、电阻越大，对振荡的衰减作用越小，即内阻减小而减振降低。
千万不要以为：因为内阻是消耗能量的，所以减小内阻就一定会降低减振。事实上，降低内阻对振荡可能起到消弱作用，也可能有减缓作用，这和电路的具体拓扑有关。
比如，对于RLC串联电路（如右图），当R=0时，相当于纯LC振荡电路，它的零输入响应（在初始状态不为0的情况下）是无减振振荡，振荡不会衰减，减振为0；而当R为无穷大时，相当于断路，振荡根本不会发生，或则说振荡在顿时衰减为0，减振无穷大。在这些情况下，R越大，减振越接近无穷大；R越小，减振越接近0。
而对RLC并联电路（如右图），情况刚好相反，当R为无穷大时，电路为纯LC振荡电路，减振为0；而R=0时，LC被漏电，电流被强制为0，不会发生振荡，减振为无穷大。在这些情况下，R越大，减振越接近0;R越小，减振越接近无穷大。
2、从里面的反例可以看出，内阻大小和减振大小的关系必须结合具体的电路能够确定，不能简单用内阻大小表示电路的减振大小。
3、至于电路中减振的有无和内阻的有无之间的关系，要看你说的“电阻有无”具体是哪些概念了。假如你觉得不消耗电能的内阻（0或无穷大电阻）是无内阻，而只有电路中有消耗电能的内阻才算有内阻，而且电路中被漏电、断路的大道都忽视掉后依然可以振荡，这么可以说有阻值的振荡电路是有减振的，无内阻的振荡电路是无减振的。