均质圆轮的半径为R，质量为m，圆轮绕旋转轴的转动惯量为JO。 圆轮在重物P的带动下绕固定轴O旋转，已知重物的重量为W。 FOy?FOxO 应用动量定理PvWmg例11-1求：重物下落的加速度。 解：以系统abdc为研究对象。 水流通过固定导叶进入叶轮。 入口和出口处的流速分别为v1和v2。 两者等于 叶轮外周和内周切线之间的夹角分别为θ1和θ2。 水的体积流量为qV，密度为ρ。 叶轮进水口和出水口半径分别为r1和r2。 叶轮水平放置。 求：水流作用在叶轮上的驱动力矩。 例11-2 重力——由于涡轮机水平放置，O轴上的重力矩等于0； 邻近水流的压力——忽略； 解：在dt时间间隔内，当水流ABCD截面的水流运动到abcd时，所以 叶轮所受的力及其在O轴上的力矩： 叶轮的反作用力矩大小相等与水流作用在叶轮上的驱动力矩相反。 假设总共有两个叶片，每个相邻叶片之间的体积流量为？oDACB？mgmg？DC。球通过绳子连接，系统绕z轴旋转。 求去掉琴弦后系统的速度（如右图所示）。 例11-3的解法：以系统为研究对象，是否存在强弱之分？ - 刚体在 z 轴上的转动惯量 §11-3 刚体绕定轴旋转的微分方程★ 刚体绕定轴的转动惯量 与角加速度的乘积等于作用在轴上刚体上的主动力的力矩代数和。
★ 转动惯量- 是刚体旋转时惯性的量度。 Oa?C 摆进行小幅摆动，期间为：mg。 该方程的通解已知：m、a、JO。 例 11-4：求小振荡的周期。 解：以摆为研究对象FFNO？ 0.已知：JO，？ 0、FN、f。 例11-5：求制动所需的时间。 解：以飞轮为研究对象，解为ⅡM2ⅠM2M1?′F′?1M1。 已知：J1、J2、R1、R2、i12 = R2/R1 M1、M2。 例11-6：求I轴的角加速度。 解：分别以I轴和II轴为研究对象。 解：§11-4 刚体绕轴的转动惯量 刚体绕旋转轴的转动惯量。 转动惯量是刚体旋转时惯性的量度。 转动惯量的大小不仅与质量的大小有关，还与质量的分布有关。 它在国际单位制中的单位是kg·。 简单形状物体转动惯量的计算 (1) 均质细直杆 (2) 均质环 d??OR (3) 均质圆板 2. 惯性半径（或回转半径） 2. 平行轴定理★两轴必须相互平行★ JZC 必须通过质心？ 解：已知：m什么时候用动量矩定理，R。例11-7：求O处的动态约束反力。解：以圆轮为研究对象，利用质心运动定理例11-8。 已知滑轮的半径为r，重量为G，将其视为一个环。
物体A的重量为P，物体B的重量为Q，并且P>Q。 求：两个重物的加速度和轮子的角加速度。 解：研究对象是轮子，物体A和B。？将粒子系统的动量矩定理应用到O点？ 分析力，并分析运动 OGB。 然后我们有 AQP。 由例11-9可知，均质圆柱体的半径为r，质量为m。 圆柱体放置在墙角处。 初始角速度为θ0，由于摩擦阻力，旋转速度减慢。 求摩擦因数f：气缸停止所需的时间。 ?应用刚体定轴旋转微分方程的解： ?受力分析？运动分析：绕质心旋转，质心不移动。 数量未知？ 补充方程，利用质心运动定理求解代入方程（1）即可得到未知量的积分。 例11-10 已知杆OA的长度为l，重量为P。可绕过O点的水平轴在垂直平面内旋转。 杆的 A 端铰接到一个半径为 R、重量为 Q 的均匀圆盘。如果 OA 杆在初始时刻处于水平位置，则系统是静止的。 忽略各处的摩擦力，求角速度 ? OA杆旋转到任意位置时的角加速度a（用θ角表示）。 P解决方案： ? 受力分析？ 运动分析 P 研究整体，将动量矩定理应用到 O 点 以圆轮为研究对象，受力如图所示，JAa=0，故 ?=?0=0，式中杆向下摆动的过程中，圆盘是否平移？ 求杆 OA 的角加速度 a。 写出系统在 O 点的动量矩。应用上式中的动量矩定理 P 来求解 Q？ 求杆 OA 的角速度 w。 分离变量并积分以获得 miC。 根据动量矩定理，§11-5 粒子系统相对于质心的动量矩定理——关于任意点 O 的动量矩与关于质心的动量矩之间的关系。
miCO 粒子系统相对于质心的动量有两种定义。 这说明计算粒子系统相对于质心的动量矩的结果等于粒子系统的相对速度或绝对速度。 获得了 miCO 粒子系统相对于任意点的动量矩。 这说明粒子系统相对于任意O点的动量矩等于粒子系统以质心平移时粒子系统相对于O点的动量矩加上粒子系统的动量矩相对于质心。 粒子系统相对于质心的动量矩定理。 最后，对于在平面上运动的刚体，应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，我们得到 或 - 刚体平面运动微分方程§11-6 刚体平面运动微分方程解： 1、考虑第一种情况，进行受力分析和运动分析，如图所示。 刚体平面运动微分方程的应用实例11-114kg的均质板静止悬挂。 求：B点绳子或弹簧被切断瞬间质心加速度为多少。 初始瞬间？ = 0，则由(1)可知acx = 0，故(4)联立解 (2) (3) (4) 方程2。考虑第二种情况，受力分析如下，初始瞬时弹簧仍为在没有变形的情况下，根据平面运动微分方程m/s2，由式(2)求得弹簧力为τCaCmgτFN。 已知：m、R、f、?。 例11-12分析了以下情况下圆盘的运动和力。 (a) 斜面光滑解：以圆轮为研究对象什么时候用动量矩定理，进行圆盘平移运动??FN： (b) 斜面足够粗糙，满足纯滚动条件：??FN (c) 斜面位于上述两者之间 圆盘既滚动又滑移 CF。 对于板： ? 对于圆轮：′′ 解：FN1 已知：m1、m2、R、f、F。求：板的加速度。例11-13解：以板和圆轮为研究对象
