* 第 5 章 粒子（系统）角动量守恒定律 5.1 粒子系统角动量定理 5.2 粒子系统角动量定理 5.3 角动量守恒定律* 在自然界中，我们经常会遇到围绕着一个粒子的粒子。某个中心。 运行条件。 例如行星绕太阳公转、人造卫星绕地球自转、电子绕原子核自转、刚体自转等。在这些问题中，动量定理及其守恒定律可能并不适用。 这种情况下，用角动量的概念来讨论问题会更方便。 角动量也是一个重要的概念。 □ * 对于匀速直线运动的质点，可以用动量或角动量的概念来描述。 假设粒子沿AB 方向匀速直线运动。 在相等的时间间隔Δt内，行驶的距离ΔS=vΔt是相同的。 由于每个三角形都有一条共同的高度线 OH =d，因此表面掠射速度相等。 于是有：选择O为原点，将位置向量从O引导到粒子。 单位时间内扫过的面积称为表面掠射速度。 d 5.1 质点角动量定理-质点角动量* 由上式可得： 写成矢量公式： 称为质点（关于O点）的角动量。 相对于固定点沿均匀直线运动的质点的角动量是恒定的。 * 让我们看一下精神力场的简单情况。
质点在向心力的作用下做匀速圆周运动。 此时，由于速度方向不断变化，动量不守恒。 但粒子的位置矢量和动量的矢量积是一个常数矢量，其方向始终垂直于纸的外侧。 它是质点（关于O点）的角动量，其大小为，显然，位置矢量的掠面速度vr/2在圆周上的所有点处都相等。 绕圆心做匀速圆周运动的质点的角动量是恒定的。 * 从上面两个例子可以看出，动量守恒只适用于沿均匀直线运动的粒子，而不适用于沿中心力场运动的粒子。 但在这两种情况下，位置矢量相对于某一点O的掠面速度是相等的，并且有相应的守恒量，即角动量。 因此我们引入角动量的概念。 角动量的概念与线动量类似，但它是描述粒子绕固定参考点旋转状态的物理量。 角动量有时也称为动量矩。 □ * θ 0 （矢量）的大小为： 和 之间的角度为θ，方向： 由 和 根据右手螺旋定则确定。 角动量的定义：角动量是一个状态量； 它是描述粒子相对于固定点的旋转状态的物理量。 * 关于角动量 ① 角动量与位置矢量有关，位置矢量与参考点有关。 当谈论角动量时什么时候角动量守恒，必须指定它所指的是哪个参考点。 ②粒子作圆周运动时，θ=π/2。 角动量的大小为： 当质点在一般平面上运动时，角动量为： 讨论* ③在笛卡尔坐标系中，角动量在各坐标轴上的分量为： ④ 角动量的单位为：公斤 ？ m2/s * 示例 1：沿直线运动的质点的角动量。
解决方案：粒子位置矢量的方向发生了变化——旋转。 广义自转：**地球公转（圆形轨道）的角动量。 解： 例2：地球的轨道半径就是它的质量。 因此可以得出，它绕太阳的角速率就是地球每年自转一周，因此地球绕太阳公转的角动量为*嫦娥二号卫星飞行路径*嫦娥二号卫星质量为2480公斤，绕月圆轨道高100公里，周期118分钟。 月球直径约为3476公里，质量约为7.349×1022千克。 测得嫦娥二号卫星绕月旋转的角动量为7.4351×1012 kg·m2/s。 %嫦娥二号卫星质量kg·m=2480； %绕月圆轨道高度km h=100； %月球轨道周期T=118； % 月球直径约公里 D=3476； % 月球角速度 rad/sw = 2 *pi / (T * 60); % 绕月球旋转的角动量 kg?m2/s L = m*((D/2+100)*10^3)^2 * w; L = 7.4351×1012 解： w = 8.8746×10-4 rad/s * 类比粒子的动量定理，考察粒子角动量的变化率： 那么旋转状态变化的原因是由于力矩的影响： 设 ─ 两个粒子的角动量定理* 力矩和角动量必须大约位于同一固定点。
比较——角动量定理的微分形式与动量定理在形式和结构上是一致的。 ——角动量定理、冲激矩和冲激粒子上的合力矩的积分形式等于其角动量相对于时间的变化率。 粒子角动量的增加等于作用在粒子上的冲量。 * 0，其中 θ 是固定点上角力力矩的大小什么时候角动量守恒，等于该力与力臂的乘积。 三个力矩 * 下落运动中粒子相对于同一参考点的角动量和力矩。 问题：企鹅从A点自由落体运动时，O点的角动量是多少？ * — 力偶力矩是一对大小相等、方向相反的力作用于对称中心的力矩。 解： 例3： * ③向心力作用于力心的力矩为零。 ②在笛卡尔坐标系中，力矩在各坐标轴上的分量为： ①力矩的单位为：N·m 上式关于力矩的公式也称为力在轴上的力矩。 总是指向固定点的力称为中心力，该固定点就是力的中心。 讨论* 粒子系统的角动量是每个粒子相对于同一固定参考点的角动量的矢量和。 单粒子系统相对于不动点的角动量 5.2 粒子系统的角动量定理* 二粒子系统的角动量定理的研究方法：首先对每个粒子应用角动量定理，然后求和上所有的颗粒。 将角动量定理应用到粒子 i 上：将粒子系统中的所有粒子加起来，则有 fij fji ri rj Fi Fj O - 方程左边 - 方程右边* - 的向量和每个粒子的外部力矩。
——每个粒子上的内部力矩的矢量和。 检查一对内部矩的矢量和。 内力成对出现且共线，矢量积为 0。因此，所有内力矩的矢量和为 0。 □ ri-rj fij fji ri rj Fi Fj O * 所以对于粒子系统： 力矩等于其角动量相对于时间的变化率。 ——粒子系统角动量定理*：如果在固定参考点上作用在粒子（系统）上的外力的力矩矢量之和为零，则粒子（系统）在该点的角动量固定参考点被保留。 —角动量守恒定律 根据动量定理： 如果 5.3 角动量守恒定律 - 角动量守恒定律* 粒子（系统）所受的净外力为零； 净力矩为零。 在中心力的作用下，质点（系统）相对于力中心的角动量守恒； 相对于任何固定点进行匀速直线运动的质点（系统）的角动量是守恒的。 □ 守恒条件讨论*2 开普勒第二定律的证明 连接行星和太阳的连线在同一时间内扫过相等的面积。 动画中，行星在一段时间内从A点移动到B点，位置矢量扫过的面积为ds1； 当在另一个相同时间间隔内从C点移动到D点时，位置矢量所扫过的面积为ds2。 开普勒观测的结果是ds1=ds2。 * 开普勒发现行星围绕太阳的轨道是椭圆形的。 他总结了20多年来观察到的数千个数据，提出了开普勒三大定律。 开普勒对此欣喜若狂。
只是开普勒还不明白，他发现的三个定律已经传达了重要的“秘密”。 由于角动量与位置矢量的平面掠射速度成正比，因此开普勒第二定律意味着角动量守恒。 * 行星在太阳引力的作用下沿椭圆轨道运行。 由于重力方向在任何时刻始终与行星相对于太阳的位置矢量反平行，因此行星对太阳施加的引力为零。 角动量的方向保持不变，表明由位置矢量和速度确定的平面的方向保持不变。 行星在这个平面上运动，其轨道是二维的。 因此，当行星移动时，其朝向太阳的角动量保持不变。 证明：假设在t时刻，行星位于A点，经过dt时间移动到该点， * 在这段时间内，扫过的面积为 。 □ 行星的角位移， * 用绳子绑一个小球，使其在光滑的水平面上做匀速圆周运动。 其半径为r0，角速度为ω0。 现在慢慢地将绳子从圆心的小孔向下拉动，逐渐减小半径。 求半径缩小到r时的角速度。 解：例4 m r0 ro 以小孔o为原点，绳子对球的拉力为向心力，则球在o点的角动量守恒。 其扭矩为零。 *
