守恒量
在量子力学中，如果一个力学量的平均值不随时间变化，则这个力学量被称为“守恒量”。 守恒量有两个特点：
守恒量的平均值不随时间变化。 守恒量的概率分布不随时间变化。
守恒量的特点是，对于守恒量A什么情况角动量守恒，其算符满足
[帽子{A},帽子{H}]=0
即，A 用哈密顿算子交换。
有一个非常简洁的证明，可以证明概率分布不变：
【证明】
由于 hat{A} 和 hat{H} 是交换，它们有一个共同的特征基，即
hat{H}phi_n=E_nphi_n, hat{A}phi_n=a_nphi_n
那么A的状态函数可以表示为
|psi(bold{r},t)=sum _nc_n(t)|phi_n(bold{r})
那么 c_n(t)=\phi_n(bold{r})|psi(bold{r},t)
两边对时间的导数
frac{d}{dt}c_n(t)=\phi_n(bold{r})|frac{}{ t}psi(bold{r},t)
根据薛定谔方程，我们有
frac{}{ t}psi=frac{1}{ihbar}hat{H}psi 将其代入
frac{d}{dt}c_n(t)=frac{1}{ihbar}\phi_n(bold{r})|hat{H}psi(bold{r},t)
根据hat{H}之谜
frac{d}{dt}c_n(t)=frac{1}{ihbar}\hat{H}phi_n(bold{r})|psi(bold{r},t)
=frac{1}{ihbar} E_nphi_n|psi(bold{r},t)
=frac{E_n}{ihbar}\phi_n(bold{r})|psi(bold{r},t)
=frac{E}{ihbar}c_n(t)
这是cn关于t的一阶微分方程，其解为
c_n(t)=c_n(0)e^{-i/hcdot E_nt}
因为 |c_n(t)|^2=|c_n(0)|^2
所以状态函数 psi 不随时间变化。
对称性和守恒定律
根据著名的诺特定理，每一个对称性（时间、空间）都对应一个守恒量，也对应一个未知量。
[对称性的定义]
对称性可以简单地理解为“不变性”。 量子力学中的对称性定义为如果算子对波函数进行变换后仍然满足薛定谔方程，则该变换是对称的。
存在一个变换hat{Q}。 在hat{Q}的变换下，波函数psi变换为psi'，即
hat{Q}|psi=|psi'
有薛定谔方程
ihbarfrac{}{ t}|psi=hat{H}|psi
所谓系统关于 hat{Q} 的变换对称性就是要求
ihbarfrac{}{ t}|psi'=hat{H}|psi' (公式1)
这种对称性的条件可以从上面的公式推导出来； 根据上面的公式，我们有
ihbarfrac{}{ t}|hat{Q}psi=hat{H}|hat{Q}psi
hat{Q}ihbarfrac{}{ t}|psi=hat{H}hat{Q}|psi
两边同时乘以 hat{Q}^{-1} 得到
begin{align}hat{Q}^{-1}hat{Q}ihbarfrac{}{ t}|psi=hat{Q}^{-1}hat{ H}hat{Q}|psi\ ihbarfrac{}{ t}|psi=hat{Q}^{-1}hat{H}hat{Q} |psi\end{对齐}
将上式与薛定谔方程进行比较，我们可以得到
帽子{Q}^{-1}帽子{H}帽子{Q}=帽子{H}
现在
[帽子{Q},帽子{H}]=0
该式与式1等价。即只要Q和H可交换，则变换Q是对称的。
【对称变换对应一个守恒量】
下面解释为什么每个对称变换对应一个守恒量。假设变换 hat{Q} 是一个无穷小变换（例如系统旋转无穷小角度；时间做无穷小平移等），则 hat{ Q}可以分解为以下形式
hat{Q}=hat{I}+i\hat{F}
I是恒等变换，是小量，F是某个机械量算子。 显然，当Q无限接近恒等变换时。
那么只要[hat{Q},hat{H}]=0，那么[hat{F},hat{H}]=0。 力学量F是对应于变换Q的守恒量。
【证明】
有 [hat{Q},hat{H}]=0
begin{align}hat{Q}hat{H}-hat{H}hat{Q}&=0\ (hat{I}+i\hat{F})hat{H }-hat{H}( hat{I}+i\hat{F})&=0\ hat{I}hat{H}+i\hat{F}hat{H} -帽子{H}帽子{I}-i\帽子{H}帽子{F}&=0 \i\帽子{F}帽子{H}&=i\帽子{H} hat{F}\ [hat{F},hat{H}]&=0end{align}
如果机械量算子 hat{F} 和 hat{H} 交换，则机械量 F 守恒。
而且，F是灾难，Q是酉算子，这是可以证明的。
[各种对称性]
1、空间均匀性和动量守恒：
当整个系统在空间平移一定距离时，其哈密顿量H保持不变（满足薛定谔方程），即仅取决于系统粒子的相对位置而不是绝对位置； 空间中不存在特殊点的情况称为空间具有“均匀性”。 此时，平移变换对应的动量p守恒（[hat{p},hat{H}]=0）。 ,
2. 空间各向同性和角动量守恒：
假设有一个轴定义系统的角动量，那么整个系统绕该轴进行旋转变换对称，其角动量守恒。 该系统不特定于该空间中的任何方向，并且该空间被称为“各向同性”。
3、时间均匀、能量守恒：
对系统进行时间平移变换（让波函数滞后一段时间hat{Q}psi(bold{r},t)=psi(bold{r},t-Delta t )) 对于对称系统 具有时间均匀性，此时能量守恒。
4.交换对称性和相同粒子多重系统：
假设多粒子系统中有两个相同的粒子（静质量、电荷、自旋、寿命等相同的粒子），则交换变换 hat{P}_{ij} (hat{P}_ {ij }psi(bold{r}_1,…,bold{r}_i,…,bold{r}_j,…,bold{r}_n)= psi(bold{r}_1 ,… ,bold{r}_j,…,bold{r}_i,…,bold{r}_n) psi 是系统的波函数) 对称系统具有“交换对称性”。 其中，变换Pij只有两个特征值pm 1，交换不变性不会随时间变化。
这个相同粒子系统由自旋为 hbar 整数倍的玻色子组成，适用于玻色-爱因斯坦统计。 自旋为 frac{1}{2}hbar 整数倍的费米子不可能相同（泡利不相容原理），并且它们符合费米-狄拉克统计。 由于量子力学中无法区分两个相同的粒子，即波函数和内蕴值完全相同的两个粒子，无法区分也没有必要区分，因此它们的描述在数学上可以更简单（参考二次量化）。
5、空间反射不变性和宇称守恒：
定义反射变换（ hat{P}psi(x,y,z)=psi(-x,-y,-z) ）。 如果 P 是对称的（即 [hat{P},hat{H}]=0），则“奇偶性守恒”。 则任意守恒量F（[hat{F},hat{H}]=0）与P和H具有相同的恒等式，则F可以用P的基（宇称基）来表示。P的特征值ispm 1。对于一维，两个基是
|phi_+=cos kx （偶校验）
|phi_-=sin kx（奇校验）
系统波函数
对于n个费米子系统，系统波函数可表示为
psi(bold{r}_1,…,bold{r}_n)=frac{1}{sqrt{n!}}begin{}phi_1(bold{r}_1)&…& ...&phi_1(bold{r_n})\ phi_2(bold{r}_1)&...&...&phi_2(bold{r_n})\...&...&...&...\ phi_n (bold{r}_1)&…&…&phi_n(bold{r_n})end{}
phi_n 是系统哈密顿量的 n 个特征函数，分别是 n 个粒子的状态函数（可证明），1/sqrt n 是归一化因子。 上面的公式称为公式，其正确性可以通过变分法或薛定谔方程来证明。 它已经是一个很好的近似，更准确的近似是多个行列式的线性组合。
对于 n 个玻色子系统有
psi_{k_1,…,k_n}(bold{r_1},…,bold{r}_n)=sqrt{frac{Pi_{i=1}^n k_i}{n!}}[ phi_{k_1}(bold{r_1})…phi_{k_n}(bold{r}_n)]
psi 是玻色子系统。 其中，kn个粒子处于n态（这些粒子是相同的）。 P是替代符号。
旋转
一些实验现象的无法解释导致了粒子“自旋”理论的提出。 著名的斯特恩-表明粒子具有磁矩，而这个磁矩并非来自轨道角动量，而是由粒子本身的性质引起的，因此就有了自旋角动量和自旋磁矩的假说。 这个磁矩的大小称为玻尔磁子（ mu_B=frac{ehbar}{2m} ）。
【自旋假说】
根据斯特恩实验，一束原子（对外呈电中性）穿过磁场，有的原子向下偏转，有的原子向上偏转； 这说明原子本身具有磁矩，并且磁矩有两种（不同方向）。 方向），使一些原子向上移动，一些原子向下移动。
假设原子具有某种称为“自旋”的内在属性，可以将其与围绕粒子中心轴旋转的电荷进行比较（实际上并不存在，只是理解这种现象的类比。），产生类似的现象到轨道磁矩，使粒子具有磁矩。
对于这个假设，有以下定义：
自旋角动量： S_i=pmfrac{hbar}{2} ，(i=x,y,z){S} 是自旋角动量
自旋磁矩： {mu_s}=g_s{S} , g_s=-frac{e}{m}
粒子的自旋角动量只能取两个值，即+-h/2； 并且自旋磁矩的定义与经典轨道磁矩不同（对于轨道磁矩 g_l=-frac{e}{2m} ），即 gs 是 gl 的两倍。
加上自旋假设并代入哈密顿量后，SG实验现象就可以得到完美的解释。 然而，认为这种自旋完全等同于经典轨道旋转是完全不合理的。 如果粒子的磁矩要达到玻尔磁子，那么绕粒子中心轴旋转的虚电荷的线速度将远远超过光速（超过光速的300倍），这显然违反狭义相对论； 而且，从经典的角动量概念中无法推导出g等于两倍的结论。 因此，自旋必须单独理解。 它是粒子的固有属性，并不是真正的角动量或旋转。
事实上，在量子场论中，狭义相对论可以用来解释自旋效应，这完全是一种相对论电磁效应。
【自旋态与泡利矩阵】
量子力学中对自旋粒子的描述使用“自旋态函数”。
自旋状态函数： |Psi(r,S_i)=begin{}psi(r,hbar/2)\psi(r,-hbar/2)end{}
为了便于理解，讨论了自旋 z 轴的自旋状态函数 |Psi(r,S_z)。 其含义是：
|psi(r,hbar/2)|^2 是粒子在位置 r 处沿 z 轴正方向（向上）旋转的概率密度。
|psi(r,-hbar/2)|^2 是粒子在位置 r 处沿 z 轴相反方向（向下）旋转的概率密度。
归一化条件为：
\Psi|Psi=int d^3r |psi(r,hbar/2)|^2+ |psi(r,-hbar/2)|^2=1
自旋态函数可以分解为： Psi(r,S_z)=phi(r)chi(S_z)
其中，chi(S_z)=begin{}a\bend{}称为“旋量”。 它可以等效于 Psi 来描述自旋的属性（不包括粒子位置属性）。 自旋量X的所有值的空间称为粒子的“自旋态空间”，它可以由一组标准基来跨越。
泡利矩阵：
假设自旋角动量算子 hat{S} 满足 \psi(r)|hat{S_i}|psi(r)=pmhbar/2。 波函数psi经过变换即可得到对应i方向的自旋角动量。其分量算子hat{S_i}与轨道角动量算子类似。 有
[hat{S_i},hat{S_j}]=ihbarhat{S_k} ( i,j,kin{x,y,z};ine jne k )
任意 hat{S_i} 的特征值为 pmhbar/2，即
S_i=m_shbar;(m_s=pmfrac{1}{2})
ms 称为“自旋量子数”。
为了方便起见，引入泡利算子 hat{S_i}=frac{hbar}{2}hat{}； 泡利算子具有以下性质：
[hat{},hat{}]=ihat{} ( i,j,kin{x,y,z};ine jne k )
帽子{}^2=帽子{I}
运算符的矩阵是“泡利矩阵”，其中 hat{} 具有相对于系统公共特征基的对角矩阵：
泡利矩阵： hat{}=begin{}0&1\1&0end{},space hat{}=begin{}0&-i\i&0end{},space hat { }=begin{}1&0\0&-1end{}
[总角动量算子的本征态]
粒子的总角动量算子定义为
hat{J_i}=hat{L_i}+hat{S_i}
也满足类似的交换关系。
存在完整的守恒量集合（H，L^2，J^2，J_z），并且可以找到它们的共同特征值和特征函数。
特征值是：
begin{align}特征值 (L^2)&=l(l+1)hbar^2;space l=0,1,2,...\特征值(J^2)&=j(j+1) )hbar^2;space j=lpmfrac{1}{2}\ eigen(J_z)&=m_jhbar;space m_j=-j,-j+1,…,j-1 ,j end{对齐}
[泡利方程]
泡利方程（泡利-薛定谔方程）是描述自旋为 1/2 的粒子系统的运动方程。 它将粒子自旋融入其中。 它是介于薛定谔方程和狄拉克方程之间的方程，适合处理粒子。 电磁场下的运动是薛定谔方程的修改版本。
泡利方程： [frac{1}{2m}(hat{{sigma}}cdot(hat{{p}}-q{A}))^2+qphi]| Psi=ihbarfrac{}{ t}|Psi
hat{{sigma}} 是泡利算子，p 是动量算子，A 是矢量势，phi 是标量势，q 是粒子电荷，Psi 是自旋状态函数。 显然什么情况角动量守恒，哈密顿量的左项包含磁势、自旋磁势和动能，右项是电势。
（书：《量子力学（上）》，曾金燕着）
