本文为2021年10月22日丘成桐院士在东南大学剑雄学院揭牌暨数学学科创建百年庆典上的讲话实录，发表于《数学人文》（订阅号：）未经许可不得转载。
今天我很荣幸能在东南大学吴健雄学院讲几句话。 一方面也纪念东南大学数学学科创建的百年历史。 东南大学在中国学术界一直具有举足轻重的地位。
1933年，曾向我的老师陈省身先生（1911-2004）传授射影微分几何的孙光远教授（1900-1979）离开清华大学，到东南大学任教授。 我的两个朋友程重庆教授和沉向阳教授都是东南大学本科生。 这表明东南大学在人才培养方面做出了重要贡献。 但毫无疑问，在东南大学的校友中，吴健雄先生（1912-1997）是被永远铭记的一位。
吴健雄
二十多年前，我在台湾中央研究院开会时，总会见到吴健雄先生和她的丈夫袁家骝先生（1912-2003）。 在与她夫妇聊天时，我钦佩她的知识，尤其是她在实验物理方面的工作。
袁家骝和吴健雄夫妇
1936年，她赴加州大学伯克利分校，师从物理学大师劳伦斯（1901-1958）。 我本人也在伯克利师从数学大师陈省身。 虽然那件事已经过去了33年，但我们的交流仍然很有趣。
她一生在β衰变物理学方面做了许多重要的工作。 最杰出的工作是1956年，她带领团队在极低的温度下利用强磁场极化钴60原子核的自旋方向来观察钴60。 原子核β衰变所发射电子的发射方向。 她的团队发现大多数电子以与钴 60 原子核自旋相反的方向离开。 这证实了弱相互作用中宇称不守恒，也验证了李正道和杨振宁同年提出的假设。
这个实验震惊了物理学界，李和杨获得了诺贝尔奖。 但令人惊讶的是，她并没有获得诺贝尔奖。 对于此事，学界不少人都为她感到委屈。 不过，她拥有了当时物理学界给予学者的一切荣誉，此生应该无悔。
吴建雄先生的工作主要集中在对自然的实验观察，特别是β衰变引起的各种现象。 这是西方文艺复兴时期和古希腊时期重要的科学方法。 爱因斯坦（1879-1955）曾在给斯维策（JE）（1953，收录于《爱因斯坦文集》（第一卷））的回信中说过：
“西方科学的发展基于两项伟大成就：希腊哲学家发明了形式逻辑系统（欧几里得几何学），以及通过系统实验发现因果关系的可能性（文艺复兴时期）。 在我看来，中国圣贤没有采取这些步骤并不奇怪。 但令人惊讶的是这些发现竟然存在。”
爱因斯坦的意思是，数学推理方法加上上述实验观察是现代科学方法的基础。 世人惊奇的是，宇宙是美丽而有序的，并且可以通过这些方法来理解。
观察天象并利用可控实验寻找展现自然真实本质的数据，确实是现代科学的第一步。 但如何在大量的观察和数据中找到关键点来解释我们所看到的现象，是现象学物理学家的重点工作。 一般来说，一种新现象出现后，大量学者开始建立各种模型来模拟我们所看到的现象。
模型当然可以建立，但往往太多，而且大多数都经不起时间的考验。 如何判断模型是否正确？ 一般来说，经过时间检验的理论将会发挥重要作用。 因为这些理论在不同的地方都被证明是有效的，所以是可以信赖的。 如果新模型在这些理论面前站不住脚，那么一般来说这个模型就有问题了！
然而，一种理论——无论它多么美丽，其内部结构必须是一致的，不能产生矛盾，否则就无法解释自然现象。 物理和工程的理论都是用数学来表达的，但物理学家和工程师经常直观地使用数学工具。 在很多细节上，他们没有注意到数学上的微妙变化比他们想象的还要复杂。 。 他们一开始认为是完美的理论，当他们深入研究时可能会充满缺陷。
一般来说，物理学家和工程师希望看到他们的理论迅速得到应用，就会突飞猛进，而不注意他们推理的严谨性。 数学家的严谨态度对科学理论和模型有很大帮助。 在众多可能的模型中，只有数学上兼容的模型才能生存。 当经典力学推向量子力学时，经常会出现数学上的不相容性，物理学家称之为异常现象（）。 这种异常帮助我们选择模型的正确性，在弦理论中，帮助我们选择规范群和时空维度。
无论如何，物理学家坚持认为正确的物理理论必须经过实验验证才能被认为是成功的。 这是一个非常正确的观点。 自然界的现象太复杂了，所以理论渐近地模拟了这些复杂的现象，所以重复的实验是验证理论的必要过程。
物理理论常常会推导出一些有趣的数学公式，甚至为数学家找到一些数学问题的答案。 然而，物理学家使用的工具从数学角度来看往往并不严格，例如量子场论，其数学结构本身仍然是一个谜。 然而，从量子场论中得到的数学结论可能只是数学家的梦想。
在弦理论中，大约三十年前，我的一位博士后布莱恩·格林（Brian）和我的朋友坎德拉斯（）等人在所谓的丘流形（-Yau流形）中引入了镜像对称性。 ( )的概念震惊了我们的几何数学家！ 当他们与我讨论这个想法时，我认为这种镜像对称不太可能存在。 但当他们用这个概念解决数学上的一个世纪难题时，我不禁对他们表示敬佩。
这个问题可以解释如下。考虑一个方程
我们正在寻找有理函数
满足上式。 该解称为有理曲线。 每条有理曲线都有一个度 ()。当度
当时，一百多年前，德国数学家舒伯特（1848-1911）计算出了2875条满足上述五阶多项式方程的有理曲线。
我的朋友卡茨大约四十年前就得到了答案。 度数越大，计算就越困难。 没有找到通用答案的好方法。 但通过镜像对称的方法，可以找到一个美丽的公式，它可以解答所有程度的问题。
1990 年，我在伯克利主持了一次汇聚了数学家和物理学家的会议。 数学家和物理学家为了这个公式发生了争吵！ 为什么？ 当时，两位挪威数学家通过严格的数学论证得出结论，次数等于3的有理曲线有条形，但上述物理学家得到的答案是条形。
这个矛盾引起了激烈的争论，数学家们很不服气，因为物理学家的推论并不严格，但物理学家却找不到他们推论中的错误。 三个月后，事情终于得到解决：两名挪威学者在计算时使用了计算机程序，过程中出现了错误。 错误被纠正后，结果与物理学家的答案一致，大家都松了口气。 语气。 从那时起，数学家们对弦理论有了新的认识！ 一大批杰出的数学家加入了这一领域的研究，为物理学家在弦理论方面做出了深入的贡献。
从这个时候开始。 理论物理学家和数学家的合作进入了一个新时代。 数学家利用几十年来发展的知识来推广物理学家的方法并获得许多重要的结果。
然而，对于数学家来说，量子场论产生的理论总是如雾里看花，不敢太相信。 有很多事情物理学家认为是显而易见的，但数学家需要重新定义它们才能理解其内容。 。 从弦理论中获得的物理直觉可以通过量子场论推导出许多重要的数学公式。 数学家们很羡慕，因为这些公式解决了他们几个世纪以来的问题。 但包括物理学家在内，没有人认为这些公式已经被证明。 我们有一种非常奇怪的感觉，我们正在由弦理论家领导来解决一些重要的核心数学问题！ 即使现在，我们仍然有这样的感觉。
1995年至1996年间，伯克利的（）和连文浩-刘克峰-I三人小组用纯数学方法验证了坎德拉斯公式，我们松了口气。
我们终于有了一个经过严格证明的数学定理，而且证明过程并没有使用物理学中的量子场论。 这是一件值得庆祝的事情，为什么呢？ 除了用数学方法严格解决一个百年难题之外，我们还证明了从弦理论直观得到的结果是正确的。
我们知道，到目前为止，弦理论还没有实验证明其正确性，但由它推导出来的数学公式已经被严格证明。 事实上，弦理论不仅引出了重要的数学公式，而且创造了许多深入的数学方向，整合了不同的数学分支。 而这些新的数学已经成为研究物理的重要工具！
当然，要充分证明弦理论是自然基础理论的一部分，仍然极其需要实验和观察。 但我们坚信，优美、简洁、深刻的数学理论一定是大自然的一部分。
我自己的看法是：
简单而美丽的数学，是大自然展现给人类最美的部分！ 素数、虚数、几何图形、基波、美丽的组合，谁说这些不是大自然的一部分？
我们越来越意识到这些听起来抽象的概念，也越来越意识到它们无处不在！
我们来谈谈对称的概念。 最简单的一种是镜像对称。 每个人照镜子的时候都会有这样的感觉。 任何有文化的国家都知道这种对称性。 古代中国有，古埃及有，古巴比伦有，古印度有，古希腊有物理学家修真，古波斯有。 这种对称性是如此明显，以至于当物理学家发现它并没有表现在弱力的β衰变过程中时，他们感到非常惊讶！
对称思想一直是贯彻数学中心思想的重要概念。 这似乎是显而易见的，但它真正发展成为数学中的重要工具始于 19 世纪初期的伽罗瓦理论。 伽罗瓦（É，1811-1832）使用置换群解释了用根式求解一个变量的多项式方程的充要条件。
伽罗瓦
事实上，自从意大利人塔尔塔利亚（ò，1500-1557）发现三次方程的根式解公式（又称卡尔达诺公式）以来，大家都认为所有方程都有根式解。 伽罗瓦为每个多项式引入了一个群（伽罗瓦群），他证明了多项式方程有根式解的充要条件是该群可解（）。 对于一般大于五次的多项式方程，该群是不可解的。 因此伽罗瓦得出结论，当次数大于五时，一般多项式方程没有根式解。
将问题转化为群问题是现代物理学家常用的方法。 1854 年凯莱（，1821-1895）和 1856 年戴德金（，1831-1916）定义了抽象有限群。 从那时起，我们就看到了各种各样的对称现象。
经过150多年的努力，数学家终于得到了有限群的分类结果，基本了解了有限群的内部结构。 最基本的组是简单组。 除了少数“经典简单群”外，简单群的数量有限。 它们极其复杂，但又极其美丽。 有很多群理论家参与这项工作，其中之一是密歇根大学的格蕾丝（路易斯），她是我的朋友。 1980年，当他宣布第一个重要成果时，他正在普林斯顿高等研究院。当时我也在普林斯顿高等研究院，这令人兴奋！
这个群最初被称为“群”，但是当1982年论文发表时，它被更名为“巨人”。这个群的元素数量大约是
，太阳系中的原子数量约为
。 如果使用矩阵变换来表示，则需要一维空间。
后来，博尔切兹（）发现了幻群、模函数和弦论之间的关系。 对称的概念不再只是一种普遍的感觉。 其背后有深刻的数学理论。
这些抽象的有限群如何在具体的物理现象中表现出来，称为群表示论。 我们还没有理解有限群的所有表示论，但是获得的结果是丰富的。 有限群在数论、几何、经典力学和量子力学中发挥着重要作用。 我们看到的对称性不再是简单的交换对称性，它比镜像对称的概念要复杂得多。
事实上，中国人引以为傲的《易经》使用了大量对称概念，但与普通有限群的结构相比，却简单得多。 再加上深入的群表示理论，我们可以梳理复杂的自然和数学现象，得到许多令人惊奇而美丽的定理。
19世纪中叶，数学家引入了另一个划时代的工具——连续群。 为了纪念它的创始人挪威数学家索菲斯·李（Lie，1842-1899），我们将其称为李群。 李是一位几何学家，而李群本身就是一个微分流形。 它被提出后，很快被数学家们发展起来。 同时期的重要学者还有基林（1847-1923）、菲利克斯·克莱因（1849-1925）等人。 与有限群相比，连续对称群对于几何和物理现象更为重要。 因为在研究连续对称时，可以引入大量的微积分工具！
1872年，克莱因在德国（）公布了“埃尔兰根纲领”，利用连续群的对称性对几何进行分类，影响了二十世纪几何学的发展。 克莱因还引入了离散群的概念。 在庞加莱（Jules Henrié，1854-1912）的帮助下，离散群成为几何学中描述几何结构内部对称性的又一工具，也为数论学家提供了重要的方法。
紧连续群的结构理论最终由嘉当（Élie，1869-1951）领导的一批数学家在二十世纪初完成，其表示论则由伟大的数学家韦尔（Weyl，1885-1955）完成。 ，从而成为二十世纪最重要的数学工具——数论、几何和物理学都以这些知识为主要研究工具。
与克莱因的埃尔兰根纲领类似，现代理论物理学是按李群分类的。 连续群很早就起源于物理学，由德国女数学家诺特完成（艾美奖，1882-1935）。 物理学家常说，对称性的概念是爱因斯坦在研究广义相对论时引入的。 这种说法与事实相去甚远！ 广义相对论（）的工作原理完全是由希尔伯特（大卫，1862-1943）引入的，与爱因斯坦无关！ 但希尔伯特却受到了诺特的影响！ 1915 年，她正在考虑连续对称性如何生成物理运动方程。 诺特的文章发表于1918年，成为一百年来理论物理学家研究场方程的主要工具。
诺特
自从诺特的工作以来，物理学家迷信地认为所有自然现象都必须具有基本对称性。 事实上，诺特的理论需要连续对称群的作用，但没有考虑离散群的作用。 所以从数学的角度来看，弱力没有必要遵守宇称守恒定律。 一个有趣的问题是，为什么强力遵守宇称守恒定律？
事实上，直到20世纪60年代末，高能物理所使用的数学工具仍然是微扰法：改变某些已知解附近的某些参数，看看解如何变化。 这种精神起源于数学的变分法，以欧拉（Euler，1707-1783）和拉格朗日（，1736-1813）为主要创始人。 拉格朗日分析方法至今仍在使用。 当物理宏观环境尚不明确时，摄动方法仍是主要工具。 一般来说，扰动中使用的物理对称群是连续群。 20世纪50年代之前的物理学，主要工具是微扰法，主要是诺特流（ flow）。 在这个框架中，有限对称群的出现不一定是自然的。
另一方面，更大的对称性思想源自经典力学和电磁学。 拉格朗日在研究力学时引入了极其重要的势（势）概念，而拉普拉斯（-西蒙，1749-1827）则利用引力场的势写下了牛顿引力方程。 拉普拉斯方程影响了数学近三百年。 例如，广义相对论中的爱因斯坦方程就是在牛顿方程的基础上构建的，并添加了狭义相对论和等效原理。 但潜力并不是唯一的，并且可以相差一个常数。
19世纪，电磁学成为物理学的一个重大问题。 麦克斯韦（詹姆斯·克拉克，1831-1879）通过法拉第（1791-1867）等人的著名实验，完善了高斯和黎曼的概念，得到了麦克斯韦方程组。 。 电和磁都有势，相位差是函数。 这就是规范概念的雏形。
同一时期，黎曼（1826-1866）开始提出黎曼几何的概念。 该几何图形背后的对称群是通过所有坐标变换获得的。 这种观点可视为物理学的等效原理。 这一事实成为爱因斯坦广义相对论的基础。
爱因斯坦方程 1915年爱因斯坦成功完成广义相对论方程之后，他希望将所有物质置于广义相对论的框架内。 许多几何学家参与了这项工作，其中列维-奇维塔（Levi-，1873-1941）是其中重要的一位。 他推广了黎曼几何中平行运动的概念，并允许扭转（）。
基本上，从几何角度来看，他已经向通用规范场迈出了一步。 1918年，外尔在其著作《空间、时间、物质》（Raum，Zeit，）中正式引入了规范场的概念，但他的规范群是正实数群。 爱因斯坦非常喜欢他的建议，但他也指出，这个群使得平行移动时长度无法保证，不符合物理学的要求。
量子力学诞生后，伦敦（Fritz，1900-1954）等人于1926年将规范群改为圆形。长度得到了保证，韦尔由此推导出麦克斯韦方程组。 韦尔声称规范场与重力没有直接关系，但却是物质世界的主宰。 具有物理意义的量必须是规范不变量。 因此，他建立了管理各种物理力的规范理论。 由于当时发现的粒子不多，因此没有必要将规范群推广到非交换的情况。
从几何的角度来看，嘉当早在1926年就开始了非交换群规范场论的研究，他的学生查尔斯·埃雷斯曼（ ，1905-1979）和陈省身将这些理论发扬光大。 当规范群是酉群时，陈省身定义了影响现代几何和物理学的声明类（Chern，1946）。
埃雷斯曼·外尔-嘉当( Weyl-)的规范场理论被用于所谓的同位旋( )理论上。 然而，直到十几年后，经过一群物理学家提出了对称破缺（）、重正化（）等几个重要理论后，这些经典理论才成为我们现在看到的标准模型。
泡利和吴健雄
标准模型凝聚了一大群物理学家、数学家数百年的智慧，可以说是人类的瑰宝。
标准规范场的对称群就是规范群，它像广义相对论一样是无限维的，但与李群密切相关。 直到 20 世纪 90 年代，物理学家还假设李群是相连的物理学家修真，并没有考虑李群的离散部分。
当物理学家发现非微扰宏观物理时，他们很快就发现了规范群离散部分的重要性。 当然，宏观几何和拓扑开始大规模进入非微扰物理学。 物理学中存在三种重要的离散对称性（不是从连续群导出的）：
电荷共轭对称性或C对称性（ ），与物质和反物质的对称性有关；
宇称或 P 对称性 ( )，空间离散对称性；
时间反演对称性或T对称性（时间），时间离散对称性。
当它们放在一起时，可以证明一般量子场论中的守恒性 - 称为 CPT 定理。
李、杨的著名著作指出，宇称不守恒可能会产生某种物理现象。 他们建议的实验是由吴健雄领导的一个小组完成的。 但直到今天，物理学家仍然无法解释为什么宇称在弱相互作用中不守恒，而在强相互作用中却守恒。
近年来，物理学家考虑了另外两种重要的离散对称性：
费米性质对称性 (
), 区分玻色子 ((+1)) 和费米子 ((-1))
-结构。
BL对称性，重子数()减去轻子数()也可以具有离散对称性（从U(1)分解为
）。
这些对称性有不同的组合，可以形成相对较大的动作群。 它们在非微扰量子物理中发挥着重要作用，并与宏观几何相结合。 预计流行了五十年的基础物理标准模型将会有新的突破！ 我在哈佛大学的博士后Juven Wang正在朝这个方向进行探索，并取得了一些成果。
标准模型方程
数学是所有学科中最严谨的，但它必须有丰富的内容才能成为一门有趣的学科。 它还描述了自然，所以必须要做实验！ 要做实验，你需要仪器。
如果你问数学家做了什么实验，古希腊数学家喜欢用圆规和尺子来画几何图形。 事实上，平面几何中的一个重要问题就是研究哪些几何图形可以用圆规和尺子构造出来。 这个问题困扰了学者近两千多年，直到十九世纪初才得到彻底解决。 在这一探索过程中，代数和群论得到了极大的发展，可以说是仪器仪表影响理论科学的第一个重要例子。
至于古代数学中最常见的工具，大概是纸和笔，其次是黑板和粉笔。 当然，很多人也会提到算盘。 事实上，数学家很少使用算盘。 一般来说，能用算盘算的数学，也能用笔算。 同时，你可以通过书面计算对数字有更深入的了解。 欧拉、卡尔·高斯（1777-1855）、黎曼等伟大的数学家都是通过大量的书面计算发现了重要的定理。 欧拉和高斯甚至发明了各种快速算法，奠定了现代计算科学的基础。
到了20世纪，许多复杂的自然现象，例如湍流、天气预报等，已经无法使用笔计算以期望的精度进行计算，因此数学家开始使用计算机进行大规模计算。 第一台重要的大型计算机在第二次世界大战期间用于原子弹的研制。 电脑很大。 据说IBM的崛起与这款计算机有关。
80多年前的计算机的指令周期和存储容量远远不如我们今天拥有的智能手机。 除了解方程之外，计算机还广泛应用于其他学科，甚至被用来证明数学定理。 图论中四色问题的解决就是一个突出的例子。 这是一个著名的组合问题，其证明依赖于机器。 直到今天，数学家们仍然对此感到担忧，希望找到不依赖机器的证明。 造成这种情况的原因当然有很多，其中之一就是计算机计算程序可能存在错误。 这种现象在计算方程的解时尤其明显。 毕竟机器只能存储有限数量的数字，因此错误是不可避免的。 经过数十亿次乘法和除法运算后，错误会累积并变得越来越大，从而导致错误的答案。 也就是说，即使计算机显示的数字是收敛的，但得到的答案并不意味着它是正确的。 这是一个严重的问题，并催生了一门称为数值分析的学科，该学科研究最终答案中的错误。 该分析的有效性基于对方程本身的透彻理解。 无论如何，电子计算机已经成为科学家最重要的工具，尤其是在无法进行实验的情况下。
现代计算机的基本原理是由英国数学家艾伦·图灵（1912-1954）发明的。 图灵一直说“我们想要的是一台能够从经验中学习的机器”，“让机器改变自己的指令的可能性为此提供了一种机制”。 他在1936年提出了存储程序的概念（-），后来大家把这台机器称为“通用图灵机”（下）。 他还表示，希望打造一个像人脑一样运作的人造大脑，而不仅仅是知道如何计算； 他对生成大脑活动模型的可能性比对计算的实际应用更感兴趣。 可见图灵很早就注意到了人工智能。
从1938年到1939年，英国工程师托马斯·弗劳尔斯（ ，1905-1998）开始使用真空管来传输数字数据，美国人约翰·阿塔纳索夫（John ，1903-1995）也开始使用真空管做简单的事情。 计算。 战后，英国人马克斯·诺伊曼（Max，1897-1984）在曼彻斯特大学建立了英国皇家学会计算实验室（Royal）。 他与图灵以及美国人约翰·冯·诺依曼（1903-1957）都有密切的交流。 美国第一台计算机出现在宾夕法尼亚大学摩尔电气工程学院，与陆军有关。
摩尔电气工程学院操作 ENIAC 主控制面板的程序员
