然而，这种思维在定义点、线、面时会产生问题。 毕竟，如果给你一个点/线/面，你就不能直接用它做任何事情。 如果单独放置一个点/线/面，它实际上会做什么？ 不。坚持这个想法你会得到类似“点没有长度”/“直线是只有长度的物体，可以在同一方向上无限延伸”或“直线是由点向同一方向的运动。“轨迹”纯粹是修辞性的描述。
此时你会觉得有些奇怪：但这不对啊！ 如果点/线/面什么都不是，那么我们在几何学中做什么？ 几何命题当然不是纯粹修辞意义上的结果。 仔细回顾一下，我们在几何中讨论的命题实际上是点/线/面之间的关系。 例如，我们需要在推理中要求
通过两个不同的点，只有一条直线。
或要求
通过直线外一点，存在且只有一条与已知直线平行的直线。
我们的推理是通过这些所谓的公理来促进的。 这些公理实际上描述了点/线/面之间的关系。 那么可以考虑的一个解决方案就是指定点/线/面之间的关系。 确定“点/线/面”代表什么。 也就是说，通过“调用相互关系R(A,B)、R(B,C)、R(C,A)(某一类型)满足属性P的对象实现A、B的定义什么叫一条线段， C”。 您可以看到，这无非是对原始解决方案的概括。
我们现在需要描述点/线/面之间的关系，例如“一点在一条直线上”/“两条直线相交于一点”。 这时，几何公理告诉我们这些关系满足什么性质，比如“通过不同的两点，存在且只有一条直线”等等。所以我们可以对点/线/面进行封装和定义以及它们之间的关系，类似于以下方式：
几何系统由以下部分组成：对象为A、B、C，关系为R(A,B)、R(B,C)、R(C,A)，使得这些关系满足一系列公理P1 ，P2什么叫一条线段，...，Pn。
在几何学中，这个框架被实现为几何公理系统：希尔伯特公理_百度百科，'s。
当然，有了这样的定义之后，还需要验证这个定义是否良好，即公理之间的兼容性等（保证公理之间不互相矛盾）。 本系列内容可参见《The of》（有中译本《希尔伯特几何基础》）。
这个时候，很多读者可能还是一头雾水：说了这么多，你还没告诉我什么是点/线/面呢！
这是一个很常见的问题。 而我实在无法告诉你什么是“点/线/面”。 一个原因是你定义的时候一层层往回走，总有一些原来的概念很难理解。 这是通过直接告诉您它是什么来实现的。 我们在数学中所做的就是告诉你这些概念之间的关系是什么。 有了概念之间的关系，就可以完成推理。 本质上，对象本身“是什么”其实并不那么重要，重要的是它们之间的关系。 对于数学家来说，你把“空气”/“土地”/“水”当作“点”/“线”/“面”也没有问题（大概），只要推理规则不变，数学大厦本身没有影响。
当然，并不是所有人都支持关于数学基础的形式主义。 还有人对数学基础提出了直觉主义等观点。 然而，这可能不是一个数学问题（而是一个数学哲学问题）。 现在，我选择不谈论这个问题。
（PS我开始刷屏，中途点了提交，尴尬了。）
