初步知识角动量定理角动量守恒（单粒子）
角动量定理可表示为
begin{align}&frac{{d}{ {{L}} }}{{d}{t}} = {{tau}}&(1)\end{对齐}
即系统角动量相对于时间的变化率等于外力的合力矩。 该系统可以包括任意数量的随机选择的对象。
推导
推导类似动量定理。 我们已经知道了单个粒子的角动量，任何物体都可以划分为多个足够小的元素，每个元素都可以看成一个粒子。设第i个粒子的位置向量为{{ r}} _i，角动量为 {{L}} _i，力矩为 {{tau}} _i，单个粒子的角动量定理为
begin{align}&frac{{d}{ {{L}} _i}}{{d}{t}} = {{tau}} _i = {{tau }} _i^{输入} + {{tau}} _i^{输出}&(2)\end{对齐}
其中，{{tau}} _i^{in} 和 {{tau}} _i^{out} 分别为系统内其他粒子的矩和粒子 i 接收到的来自系统外的矩.对所有 i 求和该方程即可得到总角动量的变化率 {{L}}
begin{align}&frac{{d}{ {{L}} }}{{d}{t}} =sum_i frac{{d}{ {{L}} _i}}{{d}{t}} = sum_i {{tau}} _i^{in} + sum_i {{tau}} _i^{out}&(3)\ 结束{对齐}
现在我们只需证明粒子系统的总内矩为零
begin{align}&sum_i {{tau}} _i^{in} = sum_i left( {{r}} _i \times sum_j^{jne i} { {F}} _{jto i} right) = sum_{i,j}^{ine j} {{r}} _i \times {{F}} _{j 到 i}&(4)\end{对齐}
其中{{F}} _{jto i}是粒子j对粒子i的力。现在只考虑任意两个粒子点k和l，它们在求和中的贡献为
begin{align}&{{r}} _k \次 {{F}} _{lto k} + {{r}} _l \次 {{F}} _{kto l} equiv {{tau}} _{lto k}+ {{tau}} _{kto l}&(5)\end{align }
也就是说，k 施加在 l 上的力矩加上 l 施加在 k 上的力矩（两个粒子的内部力矩之和）。 因此，如果能够证明任意两个粒子的内矩之和为零，则粒子系统的内矩之和为零。
我们先看几何证明。 如图1所示，根据定义，力矩的大小等于力的模长乘以力臂的长度，一对相互作用的力的大小是相同的。 由于它们共线并且力臂也重合，因此两个力矩大小相等。 ． 然而，两个力矩的一个方向是顺时针方向（指向纸内），另一个方向是逆时针方向（指向纸外），因此两个力矩相互抵消，加起来为零。
图 1：两个粒子之间的相互作用力对总力矩的贡献为零。
我们再看一下代数方法：我们首先沿着连接两个物质的连线写出相互作用力 {{F}} _{lto k} = alpha( {{r}} _k - {点 {r}} _l), {{F}} _{kto l} = alpha( {{r}} _l - {{r}} _k)，直接计算和这两个时刻必须
begin{align}&{{r}} _k \次 ( {{r}} _k - {{r}} _l)alpha + {{r}} _l \次( {{r}} _l - {{r}} _k)alpha = 0&(6)\end{align}
证书完成。
实施例1 自行车车轮和转椅实验
小明一开始坐在固定的转椅上，双手握住自行车车轮的轴两端，自行车车轮在水平面上旋转。 这时，小明上下翻转自行车车轮（还在旋转）什么叫角动量守恒定律，问小明转椅会怎样旋转？
假设一开始轮子的角动量是向上的，那么翻转后轮子的角动量是向下的，即角动量增量是向下的。 由于角动量守恒，小明身体与转椅的角动量必然有一个向上的增量，因此转椅的最终旋转方向与轮子的初始旋转方向相同。
示例2 陀螺仪的进动
图2：陀螺仪的进动
如图2（左）所示，陀螺仪旋转时，如果其轴与垂直方向有一定的倾斜角度，则轴将绕垂直轴缓慢旋转。 这种现象称为进动。 为了分析方便，我们首先假设陀螺仪进动的角速度远小于陀螺仪自转的角速度。 这样，我们可以认为陀螺仪的角动量{{L}}平行于陀螺仪的轴。 显然，陀螺仪的进动意味着陀螺仪的角动量变化率方向 {d}{ {{L}} }/{d}{ {{t}} } 始终垂直到图中{r}}和{{L}}所在的平面。 根据角动量定理什么叫角动量守恒定律，施加在陀螺仪上的扭矩{{tau}}也具有相同的大小和方向。
那么这个扭矩是如何产生的呢？ 我们对陀螺仪进行力分析，如图 2（右）所示。 为了计算陀螺仪上的力矩，我们以轴的底端为原点。 假设陀螺仪的轴没有质量，则地面对陀螺仪的支撑力N产生的力矩为零，重力产生的力矩为 {{tau}} = {{r} } _0 \times (m {{g}} )，其大小为mgr_0sintheta，方向为垂直纸张朝内，正好满足陀螺仪进动的要求。
更违反直觉的是，施加在顶部的重力方向是导致顶部翻倒的方向。 然而，陀螺不但根本不会翻倒（如果不考虑摩擦力），而且它的重心还会向垂直于重力的方向移动。
