初步知识角动量
思路：根据一个力学量（测量量）的经典表达，可以写出相应的算子（这其实是量子力学的一个重要假设，课本上经常忽略它，直接告诉你可以这么做）
从经典公式到运算符
经典力学中粒子的角动量公式为
begin{align}&{{L}} = {{r}} \times {{p}}&(1)\end{align}
其中{{r}}是从参考点到物体的位置向量，{{p}}是粒子的动量。 或者在直角坐标系中写成组件形式（以原点为参考点）
begin{align}&L_x = y p_z - z p_y qquad L_y = z p_x - x p_z qquad L_z = x p_y - y p_x&(2)\end{align}
现在我们使用方程 2 来定义三个方向的角动量算子。 这时x,y,z,p_x,p_y,p_z也应该理解为运算符。 类似地，如果 {{r}} = x hat{{{x}}} + y hat{{{y}}} + z hat{{{z}} } 表示位置向量运算符，使用 {{p}} = p_x hat{{{x}}} + p_y hat{{{y}}} + p_z hat{{{ z} }} 表示动量向量算子什么叫角动量，角动量向量算子可以通过方程1来定义。我们还可以定义角动量平方（标量）算子
begin{align}&{{L}} ^2 = {{L}} \cdot {{L}} = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2&(3)\ 结束{对齐}
除了x、y、z三个方向上的角动量分量外，我们还可以将任意方向上的角动量分量表示为 hat{{{n}}} \cdot {{L}}运算符和所有与 {{L}} ^2 运算符进行交换。
begin{align}&L_n = n_x L_x + n_y L_y + n_z L_z qquad (n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 1)&(4)\end{align}
交换关系
对于角动量分量，理想的情况是如果特征方程可以解
begin{align}&{{L}} psi = {{l}} psi&(5)\end{align}
我们可以得到向量特征值{{l}}，那么测量{{L}}特征态的结果一定是{{l}}。 但事实上，{{L}}几乎从来不会单独使用，因为上面的公式无解。 为什么呢？求解上式，充要条件是psi存在，使得三个分量同时有解。
begin{align}&L_x psi = l_x psi qquad L_y psi = l_y psi qquad L_z psi = l_z psi&(6)\end{align}
不幸的是，L_x、L_y和L_z中的任意两个都不可交换，因此不存在公共特征函数（参见“算子交换和公共特征向量函数”）。可以证明，三个算子之间的交换关系为
begin{align}&[L_x, L_y] = {i} L_z qquad [L_y, L_z] = {i} L_x qquad [L_z, L_x] = {i} L_y&(7)\end {对齐}
事实上，我们只能同时知道三个分量之一（不确定性原理，通常我们选择求解 L_z L_z psi = l_zpsi 的特征方程。
幸运的是，L^2 与 L_x、L_y、L_z（或任何 L_n）可交换，因此必须存在一组特征函数，它们同时是 L_x、L_y、L_z 和 L^2 之一的特征函数。 我们习惯计算L^2和L_z的共同特征向量。
升高和降低算子和特征值
如果要求解L^2和L_z的共同特征函数，通常的方法是先将算子的表达式转换为球坐标，然后求解方程。 但是我们现在将使用一种更简单（但非常重要）的方法，即提升算子（已经在简单谐振子问题中看到）来绕过本征函数，直接求出公共波函数的简并性以及两个操作员。
由于没有办法找出升、降算子什么叫角动量，这里我们直接给出并证明L_z的升、降算子分别为
begin{align}&L_pm = L_x pm {i} L_y&(8)\end{align}
根据提升算子的一种定义，要证明它们是提升算子，只需证明 [L_z, L_pm] L_pm 即可。 结论是（证明见常用算子交换表）
begin{align}&[L_z, L_pm] = pm hbar L_ pm&(9)\end{align}
与简谐振子的提升算子类似，我们也需要一个归一化系数，使得 hat{{{L}}} _pm leftlvert l,m right = A_ pm left lvert l,m pm 1 right 成立（参见轨道角动量升落算子归一化）。结论是
begin{align}&hat{L} _pm leftlvert l, m right = hbar sqrt{l(l + 1) - m(m pm 1)} leftlvert l , m pm 1 right&(10)\end{align}
由于 leftlvert l,m right 也是
（已撤消）
