牛津大学数学家 Kim Min-hyun 对找出哪些有理数解特定类型的方程特别感兴趣。 这个问题困扰了数论学家数千年。 他们在解决问题方面几乎没有取得什么进展。 当一个问题被研究了很长时间却没有得到解决时，我们可以得出结论，唯一的解决方案就是有人想出一个全新的想法。 这正是金正恩所做的。
在过去的十年中，金描述了一种在看似无模式的有理数世界中寻找模式的全新方法。 这并不是基于纯粹的数字世界，而是借用了物理学的概念。
古老的挑战
方程的有理数值解对人类思维具有强烈的吸引力。 它们是许多最著名的数学猜想的主题。
有理数包括整数和任何可以表示为两个整数之比的数字，例如 1、-4 和 99/100。 数学家对解所谓“丢番图方程”（著名的丢番图方程，从古至今研究的最有趣的“世界问题”）的有理数特别感兴趣，比如 x^2 + y^2 = 1 。 这些方程以丢番图命名，他于公元三世纪在亚历山大研究了这些方程。
有理数解很难以任何全面的方式找到，因为它们不遵循任何几何模式。 考虑方程 x^2 + y^2 = 1。该方程的实解形成一个圆。 去掉这个圆上所有不能用分数表示的点，剩下的就是所有有理数解。 有理数解似乎随机散布在圆的圆周上，根本没有任何图案。
通常很容易找到一个或多个合理的解决方案。 但数学家更感兴趣的是寻找所有有理解。 这是非常困难的，即使是证明一个可理解的量的最简单的陈述也足以让你成为数学名人。 1986年，格尔德·福廷斯获得了数学界的最高荣誉菲尔兹奖，主要是因为他解决了一个叫做莫德尔猜想（）的问题，并证明了某些数学问题。 Fantu 方程只有有限个有理解。
福廷斯的证明是数论中的一个里程碑。 这也是数学家所说的“无效证明”，意思是它实际上没有计算有理解的数量。 有理数点看起来就像方程图上的随机点。 数学家希望，如果他们改变思考问题的方式，这些点将开始看起来更像一个他们可以用某种精确方式描述的“星座”。 问题是已知的数学领域没有提供这样的工具。
目前，关于这个新想法可能有两个主要建议。 其中之一来自日本数学家望月新一（ ）。 2012年，他在京都大学教员网站上发表了数百页详细而新颖的数学论文。 另一个新想法来自 Min-Hyun Kim，他试图在扩展的数字环境中思考有理数，其中隐藏的模式开始显现出来。
对称解
数学家常说，物体越对称，就越容易研究。 考虑到这一点，他们希望将丢番图方程的研究置于更加对称的环境中。 如果他们能做到这一点，他们就可以使用新的相关对称性来追踪他们正在寻找的有理数点。
要了解对称性如何帮助数学家解决问题，请画一个圆圈。 也许您的目标是找到圆上的所有点。 对称性很有用，因为它创建了一个“地图”，允许您从已知的点导航到尚未发现的点。
假设你已经找到了南半圆上的所有有理点。 由于圆具有反射对称性，因此您还找到了北半圆上的所有有理点。 事实上，即使你只知道一个点的位置，结合圆的对称性知识，你也可以找到圆上的所有点（只需将圆的无限旋转对称性应用到原点即可）。
但是，如果您正在研究的几何对象非常不规则，您将必须努力识别每个单独的点（不存在允许您将已知点映射到未知点的对称性）。
一组数字也可以具有对称性数学家和物理学家，一组数字越对称，就越容易理解（对称关系可以用于发现未知值）。 具有特定对称关系的数字形成一个“群”，数学家可以利用群的性质来理解它所包含的所有数字。
方程的有理解集不具有任何对称性，也不能形成群，这使得数学家面临着一次不可能发现一个解的任务。
从 20 世纪 40 年代开始，数学家开始探索如何将丢番图方程置于更加对称的环境中。 数学家克劳德·查伯蒂 ( ) 发现，在他构建的一个更大的几何空间中数学家和物理学家，有理数形成了自己的对称子空间。 然后他将这个子空间与丢番图结合起来。 两者相交的点表示方程的有理解。
20 世纪 80 年代，数学家 ( ) 改进了 的方法。 此后的几十年里，科尔曼-夏伯蒂方法一直是数学家寻找丢番图方程有理解的最佳工具。 然而，只有当方程的图形与较大空间的大小成特定比例时，它才有效。 当比例失调时，很难找到方程曲线与有理数相交的精确点。
如果环境空间中有一条曲线，并且有太多有理点，那么有理点就会聚集在一起，很难区分哪些点在曲线上。
为了扩展查伯蒂的工作，金想要找到一个更大的空间来思考丢番图方程——一个有理点更加分散的空间，使他能够研究丢番图方程的更广泛的交集。
空间中的空间
如果您正在寻找更大类型的空间以及有关如何使用对称性“导航”的线索，物理学是一个不错的选择。
一般来说，在数学意义上，“空间”是具有几何或拓扑结构的任何点的集合。 随机分布的一千个点不会形成一个空间（因为没有结构将它们连接在一起）。 但球体是一个特别连贯的点排列，它是一个空间。 对于环面、二维平面或我们生活的四维时空来说也是如此。
除了这些空间之外，还有更多奇异的空间，你可以把它们想象成“空间中的空间”。 举一个非常简单的例子，假设你有一个三角形（这是一个空格）。 现在想象一下所有可能的三角形的空间。 这个大空间中的每个点都代表一个特定的三角形，其坐标由它所代表的三角形的角度给出。
这种观点在物理学中很有用。 在广义相对论的框架中，空间和时间是不断演化的，物理学家认为每一个时空构型都是所有时空构型空间中的一个点。 空间中的空间也出现在称为规范理论的物理学领域，该领域涉及物理空间中的场。 这些场描述了当您在空间中移动时电磁力和重力等力如何变化。 您可以想象这些场在空间中的每个点都有稍微不同的配置，并且所有这些不同的配置一起形成高维“所有场空间”中的点。
这个物理场的空间与数论中King提出的“数扩展空间”非常相似。 要理解其中的原因，请考虑光束的示例。 物理学家想象光在高维场空间中移动。 在这个空间中，光所遵循的路径遵循“最少作用原理”（即从 A 到 B 所需时间最少的路径）。
物理学中出现的这些较大的空间具有它们所代表的任何空间中所不存在的附加对称性。 这些对称性引起人们对特定点的注意，例如强调时间最小化路径。 在另一种情况下以另一种方式构建，这些相同类型的对称性可能会强调其他类型的点，例如与方程相对应的理解点。 这一原理解释了为什么光从一种材料移动到另一种材料时会发生弯曲（弯曲的路径可以最大限度地减少所需的时间）。
将对称性与物理学联系起来
数论没有可追踪的粒子，但它确实有空间和时间之类的东西，而且它还提供了一种绘制路径和构建所有可能路径的空间的方法。 根据这个基本对应关系，金正在设计一个方案，其中寻找光的轨迹和寻找丢番图方程的有理解的问题是同一问题的两个方面。
丢番图方程的解形成空间（这些是方程定义的曲线）。 这些曲线可以是一维的，例如圆形，也可以是更高维的。 例如，如果绘制丢番图方程 x^4 + y^4 = 1 的（复）解，您将得到一个三孔环面。 这个环面上的有理点缺乏几何结构（这就是它们很难找到的原因），但它们可以对应于高维空间中具有结构的点。
King 通过在圆环上绘制环的思考，在高维空间中创建了这个空间。 绘制路径的过程如下。 首先，选择一个基点，然后从该点到任何其他点绘制一个循环，然后再返回。 重复此过程以绘制将基点连接到环面上其他点的路径。 这些循环在基点开始和结束。 这组循环是数学中一个重要的中心对象——它被称为空间的基本群。
环面上的任何点都可以用作基点。 每个点都有一条从它延伸出来的独特路径。 这些路径集中的每一个都可以表示为高维“所有路径集的空间”中的一个点（就像所有可能的三角形的空间）。 这个空间中的空间在几何上非常类似于物理学家在规范理论中构建的“空间中的空间”（当从环面上的一个点移动到另一个点时，路径集的变化方式与真实空间中的相同）当从一个点移动到另一个点时，会以非常相似的方式发生变化）。 该空间内的空间具有环面本身不存在的附加对称性。 虽然环面上的有理点之间存在不对称性，但如果进入所有路径集的空间，就会发现与有理点相关的点之间存在对称性。 你获得了以前看不见的对称性。
这些路径中存在一种“隐藏的算术对称性”，这与规范理论的内部对称性非常相似。
正如查伯蒂所做的那样，金通过思考他所构建的更大空间的交叉点找到了合理的解决方案。 他利用这个空间的对称性来缩小交集。 他希望开发出一个能够准确检测这些点的方程。
在物理环境中，您可以想象一束光可能经过的所有路径。 这是您的“完整路径空间”。 物理学家感兴趣的空间点是那些与时间最小化路径相对应的点。 这些点对应于有理数点生成的复杂路径，并且具有相同的属性。 也就是说，这些点最小化了当您开始思考丢番图方程的几何形式时出现的某些属性。
不确定的未来
今天，物理学语言几乎完全脱离了数论的实践。 这几乎肯定会改变。 四十年前，物理学与几何学和拓扑学之间几乎没有联系。 然后，在 20 世纪 80 年代，一些数学家和物理学家（现在都是伟大的思想家）准确地弄清楚了如何使用物理学来研究形状的属性。
如果不了解物理学，就几乎不可能对几何和拓扑感兴趣。 我有理由相信数论将在未来几十年内实现这一目标。 这种联系是如此自然。
