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2016年,诺贝尔化学奖颁授给了三位英国科学家：戴维·索利斯（David）、邓肯·霍尔丹（）和迈克尔·科斯特格拉斯哥（），以嘉奖她们“在拓扑相变以及拓扑材料方面的理论”。
拓扑的直观意义
拓扑描述几何空间的整体性质，不感兴趣“点与点之间的距离”之类的数值，只感兴趣点之间的联接形式，即研究的是“连没连”、“怎样连”这样的问题。
举三维空间中二维曲面的拓扑性质为例，可以更为直观地理解拓扑。假如一个二维曲面不能被撕裂和粘贴，但可以犹如橡皮膜一样地被拉伸、弯曲或压扁，这个曲面是拓扑不变的，或则说拉伸前后保持同样的拓扑。为此霍尔效应(Halleffect)物理知识大全，拓扑也被人也称为“橡皮膜上的几何学”。
更为直观和有趣的是考虑二维闭合曲面。例如说，一个橡皮膜弄成的球面（图1左），通过拉伸及缩小可以变产生椭球面或其它各类形状，但却不可能弄成图1中图所示的蛋糕圈面的形状。类似地，蛋糕圈面形状的一个面团，可以抚摸成一个杯子形状。也就是说，蛋糕圈面的拓扑，与杯子表面的拓扑是一样的。
语文中将这一类“有限、无边界、有方向”的二维闭合面，用“亏格”来描述和分类。对实闭曲面而言，浅显地说，亏格就是曲面上洞眼的个数，即：球面的亏格为0，蛋糕圈面的亏格为1，如图1所示。
►图1：不同的亏格对应的不同拓扑
物质的千姿百“相”
高中的数学书上就告诉我们，物质有三态：气态、液态、固态。后来的说法再扩大了一些，加上了等离子态、波色-爱因斯坦汇聚态、液晶态等等。不仅“态”这个字之外，现代数学学中用得更多的是物质的“相”。物质不同“相”的种类比通常所说的“态”的种类要多得多。也就是说，对应于同一个态，还可以有许多不同的相。例如，水的固态是冰，但冰有好多种不同的结晶形式，它们便对应于不同的相，如图2（左）所示。据悉，高昂的砖石和钢笔中的石墨，同为碳的同素异型体，但因其晶体结构不同，也产生了特点迥异的物质相，见图2（右）。
►图2：同一物质不同的相。（左）雪花的不同结晶态；（右）碳的同素异型体
人们最开始对“固、液、气”三态的认识，是基于它们不同的表现形态：固体有一定的容积和形状；液体有一定容积，但形状不定；二氧化碳则容积、形状均不固定。而当物质的这三态相互转变时，也相应地伴随着容积的变化和热量的吸收或释放。化学学家们将这一类转换称作一级相变。这个“一级”，在这里有一个物理上的意义：在相变发生点，热力学中的热阻（例如物理势）不变化，而它的一阶求导（如容积等）则有变化。
为了解释实验中不断出现的各类相变，这个一级相变的概念也被延展下去。这么便有了二级、三级……等等用热力学量的N阶行列式来分辨不同级别的相变。不过，级别高的相变并不多，姑且还没有必要分得这么细致。因而，人们将不仅一级相变之外的更中级相变，也称为连续相变。
这么，怎么来定义化学中的“相”呢？在各类具体情况下可以有不同的定义，如同前面所举的雪花及碳的不同结晶“相”那样，与本篇主题有关的主要是“贝里相位”。
布里相位
化学学圆通常用“相位”一词来描述某种波动性质，例如说交流电的相位、振动弦的相位、量子热学中波函数的相位等等。布里相位是具体应用到电磁现象中的产物。在精典电磁学中，相位只有相对意义：两个波的相位差会产生干涉白色，但一束电磁波的绝对相位值，并不形成任何观测效应。在电磁的量子理论中，相位具有可观测化学效应，这便是布里相位。
►图3：通电缆线圈造成的相位因子φ是布里相位
考虑空间有一个通电螺线圈。假定线圈中有如图3b所示方向的电压，则会在螺线圈的内部形成向下的磁场。想像这个线圈绕得十分紧密，无限细又无限长的话，磁场只能被禁锢在Y轴上，而整个空间的其余部份电场和磁场都为0。从精典观点看，假如有电子绕线圈一周后，没有感遭到电磁场，对它的状态不会有任何影响，但实验结果却有影响。1984年，美国物理化学学家迈克尔·贝里爵士（SirBerry，1941-）从量子的观点引进“贝里相位”解释了这个现象。布里觉得，一个量子体系回到原先状态时，有可能会带来一个额外的，由于空间的几何性质而形成的相位因子，称之为几何（布里）相位【1】。假如电子路径不包括线圈时，这个相位为0。但若果电子路径包括线圈在内，布里相位便不为0，它具有可观察的的化学意义。不可将其忽略，布里诙谐地比喻说，如同不能将“小孩”与洗脚水一起倒掉一样。布里相位被量子热学和光学实验的观察所否认。
►图4：布里和他研究的“磁悬浮乌龟”
有趣的是，布里不仅因提出几何相而出名之外，还由于与安德烈·海姆研究“磁悬浮乌龟”获得2000年的恶搞诺贝尔化学奖（IgNobelPrizefor）【2】。海姆后来由于对石墨烯的开创性实验研究而获得2010年诺贝尔化学奖，布里也曾得到过沃尔夫数学奖等多种奖项。由此可见，恶搞诺贝尔奖也不仅仅是一种讽刺揶揄，可能更多的是彰显了一种诙谐，获奖者中也不乏创意之人，例如布里就应当可以算作一个。
拓扑怎么步入化学学中？
1982年，早于布里在研究量子混沌时提出的“贝里相位”，英国芝加哥学院化学学家索利斯等人，为了解释整数量子霍尔效应，早已将物理中的拓扑概念与电子波函数的“相位”联系上去。两组人马从不同的课题来研究量子电磁现象，却得到了类似的推论，大有异曲同工之妙。
索利斯与布里的共同推论是：量子态与空间的整体拓扑性质有关。
首先从图3实验中的布里相位说起，电磁势积分一圈后的额外相位因子φ的症结来自于狭长的螺线线圈。其实线圈在外边空间中形成的电场和磁场处处为0，并且在Y轴上的铁损量却改变了空间的拓扑性质。没有这个磁场时，空间是乏味的、单连通的普通三维空间。而通电螺线管的存在相当于在电子运动的三维空间中挖了一个洞，使空间弄成了非乏味的，具有了不同的拓扑性质。或则可以作如下类比：没有通电螺线管的空间类似于球面拓扑空间，加了通电螺线管以后，有了一个洞，弄成了蛋糕圈面的拓扑空间。
霍尔效应也有精典与量子之分，量子霍尔效应中又包括整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应。因而，量子霍尔效应中涉及到不同的、离散的量子态，构成不同的“相”，相互转变则为“相变”。
在表征量子化霍尔效应的参数中，有一个填充因子n，索利斯由n出发，引入了一个称为TKNN的拓扑数，并由此而对电子波函数的拓扑性质进行分类【3】，这是第一次将物理上的拓扑概念应用于与“相”有关的汇聚态理论中，它是基于索利斯和2016年另一位化学奖得主科斯特伯明翰初期的工作【4】。
量子霍尔效应，研究的是二维系统中电子在均匀磁场中的运动。若果将电子运动和磁场都进行量子化，得到的填充因子n，可以被理解为电子数N与磁路量子数Nφ的比值。
►图5：用电子和磁路量子表示量子霍尔效应
可以浅显地用白糖葫芦的图象【5】来比喻量子霍尔效应中电子与磁路量子数量的分配关系。
如图5图（左）所示，将一个电子表示成一个无花果（图中的红色圆饼），穿过电子的磁路量子用一根木棍表示（图中的红色箭头）。从左图可见，整数量子霍尔效应中每位磁路量子所穿过的电子数，便等于填充因子n。
当n=1的时侯，对应于一个磁路量子穿过一个电子的情形。当n=2时，有两个子能带被塞满，因而，一个磁路量子穿过两个电子。之后，可以以这种推下去。
图5（中）是分数量子霍尔效应的情况。对应于木棍太多，大枣不够，即磁路量子数太多，电子数量不够分配，因此出现几个磁路量子共用一个电子的情形。假如两个磁路量子共同穿过一个电子，n便成为了分数：n=1/2；倘若三个磁路量子穿过一个电子，则n=1/3。还有更为复杂一些的情形，例如：假如是五个磁路量子穿过两个电子，则有：n=2/5。
为此，填充因子n可以用小麦态（相）的分类标签，每一个不同的n都代表一种不同的量子态：n为整数时，对应整数量子霍尔态；n为分数时，对应量子流体分数霍尔态。
不同的n值代表的不同量子态，无论是分数还是整数，都须要由系统波函数内在的拓扑性质来描述。
比如，分数量子霍尔效应之间的不同，可直观地用这种能级简并电子集体运动模式的不同来描述。好比是那些电子在跑着各类复杂的集体舞。每一种分数量子霍尔态对应一种集体舞模式，每种模式可以用本文一开始介绍的拓扑中的亏格来表征，见图6。
►图6：分数量子霍尔态对应的不同拓扑
几乎与索利斯解释整数量子霍尔效应同时，加拿大耶鲁学院的数学学家霍尔丹将拓扑的概念用于一维载流子链【6】，霍尔丹以后对汇聚态化学做出一系列重大贡献，包括分数量子霍尔效应等。1988年，霍尔丹第一个预言了没有磁场的（反常）量子霍尔效应【7】。
纤维丛和陈数
让我们再将拓扑的概念介绍得更深入一些。
布里相位提供了一个具有拓扑结构的最简单数学系统的事例，但事实上数学中常常说到的“空间”，远不是三维空间。量子理论中通常用希尔伯特空间来描述量子态。假如考虑一个在真实的三维空间中运动的电子，对应于电子轨迹的每位点，都存在一个与波函数相应的无穷维的希尔伯特空间。由此我们可以构建一个物理模型，将电子真实运动的空间作为基空间，希尔伯特空间作为切空间，这么就构成了一个物理家称之为“纤维丛”的东西。假如来个浅显比喻的话，纤维丛可以直观地理解为如图7左图所示的图象：一根作为基底的铁丝上缠绕着许多根纤维（毛线），或则是想像成凹凸不平的泥土地上长满了长长短短的杂草。这样一来，量子理论中提到的空间，指的是这个复杂的“纤维丛”空间，包含了基空间、纤维、还有纤维丛（乘积空间）两者的性质：铁丝弯曲成了哪些形状？泥土地是平面还是球面？毛线或杂草，是简单而乏味的形态，还是某种蜷曲、打结等奇特的样子？还有纤维丛本身，也可能是整体非乏味的，像图7下图所示的莫比乌斯带那个。有关纤维丛的更深入介绍，可见参考文献【8】。
从纤维丛的观点看，汇聚态数学中不同的量子态对应的不同拓扑，可以用一个非0的、以物理家陈省身命名的不变量—“第一陈数”来表征。
►图7：纤维丛的直观图象
如前所述，拓扑不同于几何：几何考察局部形状，拓扑研究整体性质。但是，物理中有一个非常美妙的高斯-博内定律，将这二者关联上去。高斯-博内定律是平面几何中“三角形三个外角和等于180度”到通常二维曲面的推广，日裔物理家陈省身又将曲面上的高斯-博内定律推广到高维流形上，证明了高斯-博内-陈定律。
纤维丛是基空间和切空间（纤维）两个拓扑空间的乘积，最简单的纤维丛事例其实是当基空间和切空间都是1维的情况。譬如说，平面可看作X为基底Y为切空间的纤维丛；圆锥面可看成圆圈为基底、一维直线为切空间的纤维丛。平面和圆锥面都是乏味的纤维丛，乏味的意思是说两个空间相加的方式在基空间的每一点都是一样的。若果不一样的话，就可能是非乏味的纤维丛了，例如莫比乌斯带就不乏味，见图8。
►图8：纤维丛
图8是“第一陈数”应用的最简单事例。陈数=0，描述拓扑乏味的圆锥面，陈数=1，描述莫比乌斯带。陈数可直观理解为基空间的点改变一圈时，纤维绕着基空间“扭”了多少圈。例如说，从图8可见，相对于平直的圆锥面而言霍尔效应(Halleffect)物理知识大全，当基空间参数变化一圈时，莫比乌斯带上“纤维”的方向，绕着基空间“扭”了一圈，因而陈数=1。扭得更多圈的莫比乌斯带，对应更大的“陈数”。
拓扑相变研究中的亚裔
去年得诺贝尔化学奖的三位学者，是将拓扑应用于汇聚态化学的鼻祖。以后几六年，汇聚态化学无论在理论还是实验方面，都取得了长足的进展，对将来的数学理论及工程应用，有巨大的潜在意义。其中包括对各种拓扑绝缘体的研究、电子学材料、超导的应用、量子估算、量子通讯，以及基础数学理论，都将受惠不浅。
可喜的是，在汇聚态化学活跃的舞台上，不乏日裔学者的身影。刚刚谈及的分数量子霍尔效应，是在1982年被加拿大温哥华贝尔实验室的几位科学家发觉的，其中之一是法籍日裔科学家崔琦。
崔琦（CheeTsui）于1939年出生于中国山东，后来到新加坡读书，再赴英国深造，定居英国。他和贝尔实验室的朋友史特莫（H.L.），及完善分数量子霍尔效应理论解释的劳夫林（R.B.）两人一起，分享了1998年的诺贝尔化学奖。崔琦被中国媒体誉为“从贫穷乡村走下来的诺贝尔奖得主”。
另两位英国亚裔化学学家，对汇聚态化学近二十来年的发展也作出了杰出的贡献，那是你们熟知的哈佛学院院长张首晟，以及麻省理工大学的文小刚。巧合的是，这两位学者都是从高能化学开始再转而研究汇聚态。张首晟除了理论预言了二维量子载流子霍尔态的存在，并在2006年提出在HgTe/CdTe量子阱体系中，实现量子载流子霍尔效应的可能性，并很快被丹麦研究团队的实验所否认【9】。文小刚则构建了分数量子霍尔效应的拓扑序理论和边沿态理论，然后又进一步提出弦网汇聚理论，除了阐明了拓扑序和量子序的本质，并且又转而返回到最基础的物质本源问题，构造出了一个光和电子的统一理论【10】。
据悉，复旦学院院长、中国科大学教授薛其坤率领的团队，在拓扑绝缘体的研究中脱颖而出，2013年在世界上首次发觉了量子反常霍尔效应，详情请见参考文献中的资料【11】。
（注：此文部份内容，摘自笔者已出版的一本科普读物【12】）
参考文献
【1】M.V.Berry."Phase".[C].Proc.R.Soc.Lond.A392(1802):45–57.1984.
【2】搞笑诺贝尔奖，[OL].
【3】D.J.,M.*,M.P.,andM.denNijs，HallinaTwo-，[J].Phys.Rev.Lett.49,405–408.1982。
【4】J.M.&D.J.,",andphaseintwo-",ofC:SolidState,Vol.6pages1181-1203(1973)
【5】D.,TheHall,[M].,.2002.
【6】F.D.M..ofthe1-D:withtheO(3)sigmamodel.A,93(9):464–468,1983.
【7】F.D.M.，ModelforaHall:-ofthe，[J].,61,Issue18,pp.2015-2018.31,1988,
【8】C.B.,D.M.,D.B.,”,,and”,[M].North,.1977,
【9】B.andShou-ChengZhang.spinhall.,96(10):,March2006.
【10】Xiao-GangWen,FieldofManyBody-FromtheofSoundtoanofLightand,[M].Univ.Press,,2004.
【11】ChangCZ,ZhangJ,FengX,etal.oftheHallina.[J].,2013.
【12】张天蓉.电子，电子！谁来挽救摩尔定理？[M].上海:北大学院出版社，2015,pp.140-220.
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