(1上海交通学院理大学)
(2中国科大学数学研究所)
(3上海教育科学研究院)
(4天津师范学院科学教育研究院)
本文选自《物理》2022年第1期
01
从具象理念到具体实例
《物理思想进课堂》专栏在2021年度通过12篇文章从原则和目的、层次和结构、范式和技巧等较为底层和具象的方面对化学学的轮廓进行了描绘[1]。2022年，专栏将尝试把这种较为具象的理念融入力、热、声、光、电、磁等基础数学教育的内容中，产生较为具体的专题和实例，以期和一线基础数学班主任有更多的剖析。
02
现象与缘由
在许多人眼中，数学学是一门“透过现象看本质”的学问。较为慎重地说，一方面数学学内相当多的前沿领域还处在探究现象与现象关联阶段，暂时还谈不上“本质”；另一方面因为“本质”一词往往给人“终极真理”的觉得，但数学学却随着人类的认识水平不断发展，明天的所谓“本质”明天就可能不够“本质”，因而笔者用“原因”代替“本质”来叙述：数学学是一门探究“现象间关联以及现象后缘由”的学问。
如2021年专栏多篇文章提及过的，数学学的建立过程大体经过两次“思维经济”：第一次是通过对各类现象进行定量地精确观察，从中归纳总结出现象之间的关联(唯象规律)，产生对自然知识的第一次“思维经济”；之后进一步在逻辑和物理工具的帮助下，探访那些“表面规律”背后的缘由，构建更为简约、完备、精确的模型和理论(数学理论)来完成第二次“思维经济”[2]。
精典热学的构建过程是个挺好的反例。
03
从开普勒行星运动定理到牛顿运动定理
开普勒基于第谷对行星运动现象的大量观测数据(非常是火星的运行)，对其进行归纳和总结，在1609年发表开普勒行星运动第一和第二定理，又在1619年发表第三定理。这三条定理叙述为：(1)行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上(椭圆定理)；(2)行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过的面积相等(面积定理)；(3)所有行星绕太阳一周的星体时间T的平方与它们轨道半长轴a的立方成比列(调和定理)[3]。产生了对第谷行星运动知识的第一次“思维经济”。
图1开普勒和行星运动定理
轨道是椭圆，太阳在焦点，连线扫过面积与时间的关系，公转周期与轨道长半轴的关系，这种其实都只是现象与现象的关联，并不涉及“原因”的问题。就好象我们在一只挂钟表盘上发觉的规律：最长的表针每秒钟动1格，中间厚度的表针每分钟动1格，最短的表针每小时动1格，至于它的机芯是机械的、石英的还是某个“精灵”在上面推进，在表针的规律中并不反映。
运动背后的诱因究竟是哪些呢？亚里士多德觉得地面上物体的一种运动形式始于组成物体的基本元素(水、火、土、气)回到自然位置的自然本性，称为自然运动()；另一种则是物体须要遭到外界的作用才能运动，作用一旦撤掉，运动也就趋向停止，称为受迫运动()。天上的天体运动()也算是一种自然运动，它的运动形式是完美又无始无终的匀速圆周运动。
伽利略则用实验来找寻运动的诱因。他发觉在光滑斜面上同时释放相同形状但不同轻重的滚球，不论斜面角度大小，它们总是齐头并进(传说中的汉堡斜塔实验应当是斜面实验的一个斜面为90°的极限情况)，这一证据否定了亚里士多德“自然运动”的观点。而当把两个光滑斜面对在一起时，伽利略又发觉从左侧滚下的小球，总能抵达旁边差不多相同的高度。随着对侧斜面变缓，小球在水平方向上滚粗的距离也越长，这么在极限情况下，当旁边的斜面达到水平时小球也将持续滚动下去。这意味着一个物体的运动并不须要外力的维持，亚里士多德的“受迫运动”，即力是物体维持运动的诱因也是不对的。伽利略把物体不受外力而维持运动状态的性质称为惯性()，不过他觉得的惯性运动()是顺着月球表面的匀速圆周运动。
牛顿在伽利略对运动缘由探究的基础上考量开普勒的行星运动定理，构建起一套阐明行星运动缘由的理论，也是地面上的物体各类运动共同遵守的法则——牛顿运动定理：
(1)物体在不受外力或合外力为零的情况下将保持静止或匀速直线运动的惯性运动状态。
这是对伽利略惯性概念的承继和弘扬(匀速直线运动)，同时也提供了惯性运动的判定根据——不受外力或合外力为零的物体一定在做惯性运动，于是我们能够以这个物体为参照物构建惯性参照系(frame)。伽利略相对性原理告诉我们“一切惯性参照系中热学规律保持不变”(相对论将其进一步扩展为“一切惯性参照系中数学规律保持不变”)，换句话说在一个惯性系中创立的热学规律在所有惯性系中都组建且方式不变。这为建立一个简约、完备、精确、普遍适用的数学理论奠定了基础。
(2)具有一定动量的物体，在外力作用下，其动量随时间的变化率同该质点所受的外力成反比，并与外力的方向相同。
既然力是物体运动状态发生改变的缘由，力和物体运动状态改变之间的确切关系是哪些呢？牛顿第二定理给出了定量的回答，质点所受的外力与其加速度成反比。这个比列系数的大小与物质的多少有关，同时反应了物体运动状态改变的难易程度，牛顿将其称为“惯性质量”。
须要说明的是，牛顿第二定理中的动量或是加速度，都是在根据牛顿第一定理确定的惯性参照系基础上描述的，所以第一、第二定理是各自独立的，牛一律不能视为牛二律外力为零的特例。
(3)互相作用的两个物体之间的斥力和反斥力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。
牛顿第三定理是不能由第一、第二定理推出的，是构建在大量实验基础上的一条独立定律。在惯性定理的基础上，牛顿第二定理给出了外力和物体的加速度成反比的关系，但是这儿只有加速度a可以通过直接检测获得。力和惯性质量是两个互相关联的量，但其绝对数值的确定却须要利用牛顿第三定理。因为两个物体之间的斥力和反斥力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，这么互相作用的两个物体其加速度大小之比正好是两者惯性质量之比的倒数，我们定义一个惯性质量的基准(如过去采用的国际千克原器)，这么其他物体的惯性质量就可以通过与基准物体互相作用，对二者加速度的直接检测而得到：
牛顿运动三定理既互相独立又构成一个有机整体，定量地解释了各类运动背后的诱因——不受力或合外力为零的物体保持惯性运动，而物体运动状态发生变化的缘由则是遭到了力。辅以万有引力定理，牛顿热学体系几乎就能解决宏观低速情况下的所有热学问题，完成了第二次“思维经济”。
其实，万有引力定理——任何两个物体都存在通过其连心线方向上的互相吸引的力牛顿第一定律内容和公式，其大小与它们质量的乘积成反比，与它们距离的平方成正比，毕竟还是现象和现象之间的关联，至于引力形成的缘由是哪些，目前我们仍不晓得。
04
基础数学中的“运动学”与“动力学”
运动学()是从几何的角度描述和研究物体位置随时间的变化规律，开普勒行星运动三定理是典型的运动学规律。而动力学()则是研究运动的变化与导致变化的缘由，牛顿运动定理是动力学规律。
图2基础数学中的主要热学问题
基础数学的热学大体由运动学和动力学两部份构成，具体如图2所示。其中运动学的部份大体只有两类问题：(1)已知物体的位置随时间的变化规律通过微分得到速率、加速度；(2)已知物体的加速度、速度，通过积分结合初始条件确定位置随时间的变化规律。
第(1)类问题配合动力学虽然就是按照运动变化的现象找寻缘由的过程；而第(2)类问题则是依据受力或动量的情况断定运动变化现象的过程。
学校阶段因为缺少微积分和向量代数等物理工具，一般处理的都是较为特殊的情况。从最基本的惯性运动——匀速直线运动开始，物体因为受力而发生运动状态改变时，一般也只处理几种简单情况：
(1)匀变速直线运动：加速度大小不变，方向不变且与速率方向平行；
(2)匀速率圆周运动：加速度大小不变，方向一直与速率方向垂直；
(3)抛体运动：加速度大小、方向均不变，方向与速率方向有一定角度。
在这个基本脉络之下，运动与力的问题便可提纲挈领、纲举目张，剩下的就是剖析和估算方法问题了。
参考文献
[1]皮埃尔·迪昂.化学学理论的目的与结构.上海：商务印书馆，2005.p.39
[2]魏红祥等.从“学会已知”到“探索未知”——物理思想进课堂专栏年度回顾与展望.化学，2021，50(12)：853
[3]咸世强.牛顿万有引力定理的发觉渊源——从所谓的开普勒定理到万有引力定理.化学牛顿第一定律内容和公式，1998，27(9)：557
化学思想进课堂专题：
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