文：
翻译：安宇森
译者序：
本文作者是加洲理工大学的一名博士后研究员。这篇精彩的文章囊括了物理化学的众多领域，介绍了其中令人拍案叫绝的科研进展。通过拓扑场论，理论，枚举几何，魔群月光等方向，展示了物理和化学之间深刻的相像性，彰显了数学学的思想对于物理发展的启发。是一篇不可多得的物理化学科普佳作。
弦理论是一个引力的量子理论。的广义相对论可以从弦论的等式中自然的衍生下来。这个结果是自洽的，由于它的估算并不会造成发散。弦理论或许是惟一自洽的引力的量子理论。假如它是对的，这么它将具有巨大的价值。无论它是不是对的，弦理论都无疑是物理中许多惊人的看法的来源。这是十分奇怪的一件事。由于之前总是物理影响化学学。当爱因斯坦努力的想要抒发广义相对论的时侯，他发觉他须要的工具早在60年前就早已被黎曼创造下来了。这是个典型的事例。而且物理家在化学学家开始用群论之前早就发觉了它。而在弦理论中，这却是反过来的。数学学将它高贵的看法提供给了语文。这个结果就是GregMoore所说的数学物理。
拓扑场论
我们总是在平直的空间背景下发觉化学。弹力球是圆的，然而椅子是平的。在月球表面做实验的时侯，我们觉得月球的曲率是可以忽视的，将三维的欧式空间作为我们的背景。从球面推到环面，再继续推广，我们可以在更多的形状上研究数学系统。那些提供了一个不同且令人激动的理解物理的方法。一个被禁锢在有磁场流通过的球上的电子只能抢占特定的量子化的基态。相像的，一个环面有两个非乏味的支路（cycle）。弦的缠绕数记录了它在每位支路（cycle）中绕了多少次。
量子热学是一回事，狭义相对论是另一回事。这种理论不是自然的共存的。正统的量子热学不容许粒子的形成和湮没。狭义相对论支持它们。我们须要引入场来处理这个不一致。量子场论是满足狭义相对论的量子热学系统。标准模型是一个量子场论。化学学家总是给量子场论以额外的对称性。诸如，超对称理论要求粒子是配对的。对于每位玻色粒子总有一个费米子作为超伙伴。
超对称场论有一个令人失望的障碍。假定一个超对称量子场论定义在一个通常的弯曲流形上。牛顿数学的欧式度规和狭义相对论的洛伦兹度规被流形自己的度规取代。超荷对应于守恒的旋量。在平空间下旋量等式的解有好多，并且在弯曲空间下这个解变的特别的有限。它们太有限了，以致于通常情况下是没有解的。将一个平空间的超对称场论推广到通常的弯曲流形上破缺了所有的超对称。卡拉比－丘流形，它们是满足特定的平直性质-----里奇平直性，一种弱化了的平直性的流形。它们容许有守恒的旋量。
然而球面没有这样的解。
上世纪80年代，给数学学家介绍了拓扑扭变。一个扭变可以成功的将超对称场论耦合到弯曲流形上。选定正确的扭变，旋量多项式的非乏味解还会出现。这很大程度上是一种救出举措，我们挽救了一部份在平空间中发觉的超对称。扭变理论中的数学观测量就是非扭变理论中出现的观测量的子集。虽然非扭变理论中的观测量，在众多诱因中，依赖于背景流形的精确几何结构，出现在扭变理论中的子集只依赖于流形拓扑方面的细节。
这是重要的，但是在物理上也是重要的。
拓扑扭变场论有时也被称作上同调场论。这个扭变给这一个理论提供了格拉斯曼或则反对易的标量对称性Q。化学可观测量在这个对称性的上同调中。度规的变型对于Q算子是恰当的，它立即加强了理论的关联函数的度规无关性。对于Q操作闭的场的关联函数个别时侯可以通过强悍的超对称局域化的技术来精确估算。
这种可以估算的关联函数是拓扑或则几何的不变量。虽然不考虑化学，这种不变量仍然是许多物理课题的焦点。
理论
四维几何具有丰富的特殊结构。物理家的第一要务是通过对四维流形进行分类来给这个丰富的结构赋于秩序。不是每件事都马上要做。关键的事情要先做。诸如哪些时侯两个流形是拓扑等价的，即同胚的。在1982年，展示了两个流形是同胚的当且仅当它们在（上）同调条纹里有着相同的相交方式（form）。其次重要的是，同胚的流形不一定是微分同胚的。作为光滑流形它们不是等价的。光滑性给流形之间提出了新的层面上的问题。怎样区分互相之间同胚但不是微分同胚的流形和互相之间微分同胚的流形？1983年，在四维光滑流形中引入了一系列的不变量，用以分辨同胚但不是微分同胚的流形。不变量有着严格的几何定义，并且它们却遭到了杨米尔斯规范理论的瞬子构形的启发。这个构形是理论的运动多项式的解。在物理家之间，这个解称作反自排比联络。
给定一个李群G和M上的一个主丛P。联络是A，这个量可以和平移的概念结合上去。化学学家把A称作规范场，如同所有其他的场一样，A在路径积分中是容许涨落的。M上还有其他自然的矢量丛。通过应用G的主丛，这种是和G的表示相关的伴丛。它们的联络可以从A诱导下来。化学学家把这看作物质场。A的曲率是一个称作规范场强的二方式，它可能会分解成自排比和反自排比的份量。假如一个场强是完全反自排比的，这么它们在M上的积分是一个正整数，称作瞬子数。反自排比联络使杨米尔斯作药量取极小值，因而不同的瞬子数标志着不同的拓扑分支，或则称作场构形空间中的不同区域。对于一个固定的瞬子数，对于可能的反自排比（ASD）联络存在一个具象的几何空间－－瞬子模空间。在最简单的情况下，模空间的方向对应于一些参数，比如瞬子的空间位置。
用微分方式的积分定义了他的拓扑不变量。微分方式的积分并不比高等微积分更为复杂，而且对于这种技术的使用给人最为印象深刻的一点是，他决定在反自排比（ASD）联络的模空间下估算这种积分。也构造了一个映射来从M的同调群中得到合适的微分方式。
在理解不变量的过程中，化学学家挖到宝了。她们提供了一个实际的估算，和在完成证明中须要的几个重要概念。M上的不变量能否被整理成-生成函数。“－”中的是，惟一一个得到了菲尔兹奖的化学学家。
在1994年，给物理家引入了杨－米尔斯的扭变超对称版本，将这个理论放到了弯曲的四维流形上。这个结果是-理论。不变量弄成了扭变杨米尔斯的关联函数。每位关联函数拿来估算-生成函数的一个系数。清楚具体的展示了拓扑场论中规范不变的方程，以及它们的Q对称性，是怎样生成映射的像中所有的微分方式的。
和以后做了一个关于超对称规范理论的漂亮的工作，发觉它们的行为等价于一个描述弱耦合磁单极的场论。这两个看起来不同的化学系统之间的等价性称作排比。它们在场论和弦论中四处都是。这个系统的一种描述是容易研究的，而另一种一般不是。
和的工作引起了一类新的可以估算的几何不变量，称作-不变量，它计数了磁单极等式的解。描述道，这种不变量抒发了不变量能提供的所有信息，并且它们简单的磁单极描述促使不变量的许多性质十分的平时而且很容易估算。隔了几周以后，写道：“长时间的问题解决了，新的想像不到的结果发觉了，已知的结果有了新的证明，研究的新天地打开了。”
深刻而困难的物理看法的极端简化的版本是从理论化学中获得的。物理家从没想过可以得到它，而化学学家从没想过可以给出它。
镜像对称
弦理论是在一个空间维度下延伸的，但是在时空中运动。随着它的运动，弦在时空中扫出了一个二维面，它的世界面。弦世界面的上的场论即是共形不变的又是超对称的。共形对称性和系统的尺度不变性有着密切的联系。不论是放大还是缩小，这个系统总是不变的。
枚举几何是拿来计数自然的几何问题中解的数目的学问。在公元前200年，想要晓得怎样找寻在一个平面上和三个给定的圆同时相切的圆的个数。总共有8个。假如活到如今，他可能想要问有多少个面可以被镶嵌到一个高维的流形里，比如卡拉比－丘流形。
在一个卡拉比－丘流形上传播的弦可能会通过它对于复曲线的个数十分敏感这一点来探求这个几何。这个信息十分的有用，由于就是这种数列出了弦的世界面可能镶嵌进卡拉比－丘流形上的可能的方法。考虑一系列从黎曼面（或则叫世界面）到卡拉比－丘流形X的映射。描述它的二维的量子场论称作超对称－非线性sigma理论。二维的玻色场可以理解成X上的局域的座标。费米场和规范场映射到相应的丛的截面上，作药量中的耦合常数是和X相关的几何参数。玻色动能项的耦合常数就是X上的度规。
弦理论针对于枚举几何有好多可以说的，假如它还能在sigma模型里分离出编码流形上曲线数目的数据的话，就可以说的更多。
有这个提取过程的印象，我们可以将非线性sigma模型进行拓扑扭变。二维的拓扑扭变是可能的，有A扭变和B扭变两种形式，有A(X)和B(X)两种理论。它们都是拓扑场论，可以用自身相应的方法和-理论进行对比。它们的关联函数和二维的世界面上的度规是没有关系的。另一方面，按照扭变，这种关联函数有着不同的时空解释，每一个对应于在非扭变模型里映射的不同的子集。A扭变将变量局域在了一个X上的全纯映射中。而B扭变，局域化选定了常数映射。
虽然两个扭变形成了看上去十分不同的理论，后来发觉A和B扭变的区别只是符号的差异。在一个非扭变的理论中，有一个sigma模型之间的同构映射，区别仅在于符号。一个sigma模型有一个靶空间卡拉比－丘流形X.另一个则是卡拉比－丘空间Y。这个等价性称作镜像对称性。Y是X的镜像。在扭变理论的层次上，这个等价性弄成了方程A(X)=B(Y),.由于常数映射很容易去研究而全纯映射不这么容易，在B(Y)中估算化学量是估算A(X)中的数学量的一个有力的方式。
这引起了-不变量，它直接和计数曲线有关。镜像对称的威力第一次在简单的卡拉比丘流形五次型（）中诠释了下来。在流形中曲线的计数可以通过曲线的等级简化，之后弄成一个拿来抒发每一级曲线数量的生成函数。曲线越复杂精美，它的等级越高。随着等级的下降物理学五大分支，曲线的数量会骤降。等级1的曲线就是直线，在五次型卡拉比丘空间中直线的数量很容易估算。这由在19世纪末就得到了。在五次型中有2875个复直线。在1986年，确定了五次型包括条等级为2的曲线。
枚举几何的进展是平缓的，估算很快就显得十分繁杂。倘若任何人想要通过蛮力来数等级为3的曲线的数量，这么他的工作将是非常艰难的。
等人在1990s开始研究五次型()上的弦论。她们是由镜像对称性指引的。指定五次型为X，它的镜像是Y。考虑A（X），拉式量有一项是Q恰当的，因而在算符的上同调类中是乏味的。剩下的项是一个凯勒方式的积分，凯勒方式是一个微分方式。正是这一方式容许我们检测卡拉比丘流形X中的环的容积。A（X）只依赖于凯勒方式。A（X）上的关联函数退化到全纯映射空间下的积分，这恰好和－不变量一致。Sigma模型要求一个困难的非微扰修正的无穷级数。由于镜像对称性的魔力，它们一定等价于B（Y）上的一个量，它们退化到恒等映射空间中的积分。这种积分恰好就是精典下精确称作周期的量，这个量依赖于Y的复结构。凯勒结构控制着流形或则子流形的尺度，其上的复结构和它的形状。等人还能估算Y的周期积分，用一个大胆的称作镜面映射的变量替换，通过在全纯映射的等级下一级一级的做，来将答案进行展开来提取－不变量。
紧接着就是数学物理的令人炫目的表演了
等人用镜像流形中徜徉的时侯，物理家正在努力用她们复杂的工具和一系列天才的计算机程序来计数等级为3的曲线。GeirandSteinStrømme推测有2,682,549,425个这样的曲线，解析的估算方式和证明这时没用了，而简单粗鲁的方式胜出了。她们在伯克利的物理研究机构展示了这个结果。那是1991年，和他的朋友表示异议，这个数是.物理家很怀疑。在镜像对称性中，数学学家用了物理家没有据说过的方法。她们的估算依赖于一个非凡的推测，在一个卡拉比丘流形中的精典的周期积分等价于另外一个完全不同的卡拉比丘流形中计数的曲线数量。这个命题，若果是对的，就是革命性的。和慎重的检测了她们的工作，之后在计算机程序中发觉了一个错误。
她们宣布她们的修正：数学学胜利了。
丘成桐先生
魔群月光推测
高能化学学家用对称性来编织她们的理论。超对称和共形对称是其中的反例。一个数学理论的好多方面，像是粒子迸发，是要求它们和系统的对称性相容来限制的。群理论无处不在。
有限群包含有限个元素。通常来说，有限群可以分解成正规子序列，在这个序列中每位群都是下一个群的正规子群。有限单群是没有非乏味的正规子群的这些有限群。它们是有限群的基本组成元。有限单群类似于质数。随着有限群理解的深入，物理家抒发了想要将它们分类的心愿。在几十年的冗长乏味的合作以后，2004年，她们完成了这件事。有限单群分类为18个被理解的挺好的群，比如质数阶的循环群，还有26个额外或则称作散在的单群。在散在单群中，最大的就是魔群，魔群中包含了1054个元素。许多其他的散在的单群可以作为这个怪物的子商群被实现。散在单群是奇异的结构，它们在物理中是否具有更深层次的意义仍然是有待研究的。
这个问题的答案和魔群的表示密切相关，一个表示是将一个具象的群用线性空间的变换具体化物理学五大分支，因而将一个具象的群中的元素和一个矩阵结合上去。矩阵的大小是表示的维数。不可约表示构成一个不可分割的表示的完备集，所有其它的表示都可以通过类似直和这样的简单操作从它们构造出来。魔群有194个不可约表示。每位群都有一个一维表示对应于乏味的群操作。在乏味的表示以后，魔群第二小的不可约表示是维的，第五小的是维的等等。那些不是就能迸发物理家通过精确构造来进行思索的数字。魔群和它作用的自然的对象，直至魔群月光推测发觉之前，仍然是神秘的。
模方式在图论中很自然的形成，它们定义在上半复平面上的函数f(τ)。它在τ被一个模群SL2(Z):f(γ.τ)=(cτ+d)kf(τ)上的元素γ的作用下是协变的。这是一个2×2矩阵群，每位元素都是整数且导数为1.半整数的k称作模方式的权重，c和d代表在矩阵γ第二行中的两个整数元素。模方式是重要的物理对象。这个方式的展开式的系数常常是图论学家感兴趣的整数。这种整数方程的证明有时可以通过之前模方式满足的泛函方程进行证明。J函数是一个在模变换下不变的特殊函数，它根据权重为0的模方式进行变换。J函数，实际上，是所有这一类模不变函数的生成元，由于它们都可以由J函数方程的比表示下来。
接出来一件令人惊奇的数学物理的特点风波发生了，最初由群论学家在1978年注意到的。当闲着没事翻翻图论书的时侯，他发觉j函数而且观察到它的傅立叶展开从一个有趣的因子1开始，之后是，而且=1+，这是魔群的头两个不可约表示维数相乘得到的维数。他寄信给John，而John发觉j函数的下一个因子是21,493,760=21,296,876+196,883+1.
这个高贵的图论结构才能给出最大的散在单群的信息吗？它看起来是令人惊讶而且奇怪的。因而得名：魔群月光猜测。
物理家John和Simon，首先通过问一个模对象的特定的类怎么编码魔群的数据来将魔群月光推测抒发下来。她们推测，我们可以对每位魔群上的共轭类赋于一个模函数，这个共轭类在特殊的，亏格为0的SL2(R)的子群G的变换下是不变的。假如是这样，她们的傅立叶展开可能包括魔群的表示的信息。它们的系数是群元素的特点标，模函数和恒等类相联系，那就是J函数.
一系列的推测以魔群月光推测而出名。
之后在1992年，它们由证明了。他的证明中的一些元素直接遭到弦论的启发。他也引入了许多新的物理结构，广义的Kac-Moody代数，这种反过来造成了有趣的化学。许多魔群月光推测的化学内容，和的证明的核心组成部份，来自物理家对于共形场论的建立。在物理中，共形场论称作顶点算子代数。澄清魔群月光推测的顶点算子代数是由Igor，James，Arne两人构造的。而翻译到弦论的工作由，Paul，.完成。对于弦论学家，j函数是一个专门的东西，是一个基态上的粒子状态数量的配分函数。魔群在顶点算子代数上通过一个对称性来作用。它和伊宁顿量对易而且保持能级不变，虽然真空上的迸发态通过对称性的表示来组织上去。
配分函数的模不变性化学上是自然的。考虑一个闭弦圈的世界面上的共形场论。世界面具有圆锥型的拓扑。为了估算配分函数，圆锥的两头融合产生一个环面。欧式的时间座标起到了有限的体温的作用——这是在量子热学和量子场论中都常常使用的一个认同。模群SL2(Z)是将环面看成是一个拓扑空间后其上的对称群，因而给同胚变换的类指定的群将环面映射到自身。这种对称性不影响背后的数学。这是我们熟悉的在量子热学中估算点粒子不依赖于世界线的参数化这一基本事实在弦理论下的扩充。数学上的一致性要求关于环面的一个任意的参数化不影响像配分函数之类的可观测量。配分函数在SL2(Z).下一定是模不变的
另外一个魔群月光的模函数，和SL2(R)的亏格为0的子群有联系，当亏格为0的群是SL2(Z)的子群时，它也有一个共形场论的理论理解。它们的模不变性的论证和刚才给出的化学论证是一致的。对于亏格为0但不在SL2(Z)里的SL2(R)的子群，相关函数的模不变性没有显著的解释，不论是数学上的还是物理上的。，其实，证明了这个猜测，然而他的证明中的这部份关于亏格为0的性质，须要暴力的验证，而不像是概念上的解释。它在神秘的月光猜测中始终就是一个重要的悬案。就在近来,和我提出了关于魔群月光中亏格为0的性质的一个概念上的解释，我们用到了介孔弦中时空的性质。这个构造将证明中的代数的部份在数学上筑牢了。
魔群月光的观察最终是弦论时空和世界面上的对称性的自然结果，形成了令人惊讶的代数结构。许多年前，问了一个怎样解释物理在数学中无法置信的有效性的问题。相比于回答这个问题，由于问出了这个问题促使他的文章是很有影响力的。明天，可能我们可以写一个类似的文章，来寻求为何数学在物理中这么有效的解释。假如物理和数学在许多层面上是等价的，这么它们的不同将不是内容上的而是方法上的不同。最终会展示出她们都通向惟一的一个实在。
如此想想是不是十分乖巧？
推荐参考资料：
弦论浅显读物：
Brian,The:,,andtheQuestforthe(NewYork:,1999).
弦论教科书：
,1:Antothe(:Press,1998);
,2:and(:Press,1998).
网站：
：
~//.html
ofGregMoore:
~/
