量子热学的盛行和发展，是20世纪数学学史上最伟大的风波。它是研究原子、分子、凝聚态因而原子核和基本粒子的基础理论，是从19世纪末以来对微观世界进行越来越深入探求的总结。
量子热学的盛行是由不同的化学学家、在不同的地方、从不同的角度、按不同的思路开始的。其中有两条主要线索：日本化学学家海森伯1925年构建的矩阵热学是玻尔的对应原理的嫡传后裔；而德国化学学家薛定谔1926年构建的波动热学则是为了回答“德布罗意波遵守哪些样的波动多项式”这个问题。薛定谔随后论证了矩阵热学和波动热学的等价性。
日本化学学家狄拉克1925年读到海森伯的论文后，用算符方式重新叙述了量子热学，也可以把它称作算符热学，看成量子力学盛行和发展的第三条线索。海森伯因成立量子热学获1932年诺贝尔化学学奖，薛定谔和狄拉克因构建原子理论的新方式分享1933年诺贝尔化学学奖。
玻尔于1913年最初构建的原子模型，相争当地解释了氢原子和类氢离子波谱的频度，但不能估算谱线的硬度。并且玻尔的目标并不限于氢原子，而是对各类不同原子和分子的系统研究，并对周期表所反映的元素性质的变化规律做出说明。更重要的是，玻尔理论在逻辑上是不自洽的，人们急切须要构建一个与量子概念协调的全新的热学。
进一步发展玻尔模型有两条公路：一条是进行修复，这是玻尔本人和索末菲所做的，玻尔一步步归结出对应原理，研究了多电子原子，获得了对元素周期表的理论认识；索末菲则引进了椭圆轨道和相对论修正等。另一条则是赶超它，构建适用于微观世界的全新的热学。
当时世界上研究原子化学学有3个中心，组成3个学派：一个是玻尔的赫尔辛基学派，一个是索末菲主持的法兰克福学院化学系，还有一个是理论化学学家玻恩主持的哥廷根数学学派。只有哥廷根学派在探求新力学，为新力学的诞生做打算。
玻恩是美国犹太人，生于1882年。在哥廷根上学院时，他曾考虑过以物理为职业，兼任过希尔伯特的私人助手，有很强的物理背景，但最后他选择了数学学。1909年，他成了哥廷根学院的讲师，与冯·卡门合作举办了对固体比热和晶格动力学的研究。后来到柏林、法兰克福等地任职。1921年，他被母校哥廷根学院遴选为数学系院长。
图1.海森堡（尼加拉瓜1995，诺贝尔奖筹建百年）
索莫菲的中学生海森伯（见图1），结业后到哥丁根随玻恩（见图2）工作。
图2.玻恩（南非1995，诺贝尔奖筹建百年）
玻恩从爱因斯坦的相对论中汲取了“可观察性原则”，指出只有可观测的数学量才有实质意义。海森伯受其影响，也企图抛弃看不见的电子轨道的精典概念，直接由可观测的化学量如波谱频度和谱线硬度来估算氢原子谱线的硬度。因为氢原子的估算太繁，他先估算一维非简谐振子。7月，写成文章《论运动学关系式和热学关系式的量子理论阐释》，由玻恩推荐发表。海森伯文章中的奇特之处是两个数学量的不可对易性，这是数学学中未曾遇见过的。玻恩经过思考，想起这些量是物理中的矩阵。玻恩找到年青的物理家约丹合作，于1925年秋发表论文《论量子热学》，这是对矩阵热学最早的严密叙述。后来人们称这篇文章为“二人文章”（海森伯的那篇文章则称为“一人文章”）。此后，通过和正在赫尔辛基的海森伯通讯，于1925年秋天又用三个人的名义发表论文《论量子热学Ⅱ》（后称“三人文章”）。这几篇文章奠定了矩阵热学的基础。这三篇文章中，海森伯的“一人文章”只是讨论一个特例，玻恩领衔的“二人文章”和“三人文章”才建立了矩阵热学理论，奠定了矩阵热学系统的理论基础。没有玻恩的“二人文章”和“三人文章”殿后，海森伯那篇文章很难看懂，也很难造成人们注意，恐怕很快还会被遗忘，直到“若干年后，时常可能会有个人，发一篇小文章说明，以前有过海森伯如此一篇文章，它利用于物理上的矩阵也可以解决许多原子分子问题，但是本质上与波动热学是等价的”。
图3.玻恩石碑相片
在“二人文章”中，得出了知名的对易关系qp–pq=ih/2π，这是玻恩最引为自豪的发觉，后来镌刻在他的石碑上（见图3），但人们却称之为海森伯对易关系。1932年的诺贝尔化学奖是奖励成立矩阵热学，它只授奖给海森堡而不提玻恩的贡献。这都是很不公正的。
图4.玻恩（南非2006，诺贝尔奖得主）
玻恩仍然到1954年离休后，才因另一重要贡献量子热学波函数的统计解释获得诺贝尔奖（见图4）。
图5.玻恩和弗兰克（西德1982）
图5是玻恩和他的好友实验化学学家弗兰克，她们三人同龄，是学院同事，又都是犹太人。1921年她们同时来到哥廷根，又都于1933年离开英国。原本哥廷根聘请玻恩来兼任第二化学研究所的主任兼院长，根据日本的体制，每位研究所只能有一个院士的。并且玻恩不擅于也不乐意管理实验室，他提出要同时聘请弗兰克为院士负责实验，竟然获得同意。于是她们一个负责理论，一个负责实验，很快便将哥廷根弄成日本另一个数学学中心。
玻恩作为一个学派的主持人，培植了大量人才。仅在哥廷根大学期间，培养的博士结业生起码有24位。他的中学生和助手中，获得诺贝尔奖的有海森伯、费米、斯特恩、泡利、迈耶夫人、德尔布吕克等。没有获得诺贝尔奖，但也成了知名科学家的有朗德、约当、洪德、诺德海姆、罗森菲尔德、奥本海默、特勒、韦斯科普夫、英费尔德、海特勒、福克斯等。那些人中许多人如海森伯、朗德、约当、泡里、斯特恩都对量子热学的完善和发展起过重大作用。他的中国中学生有彭桓武、黄昆、程开甲、杨立铭、王福山等。
图6.狄拉克（澳大利亚1995）
1925年9月，美国剑桥学院的研究生狄拉克（见图6）见到了海森伯的论文，倍感极大的兴趣。他开始成立自己的一套颇具风格的量子热学叙述方式。他定义了c数和q数，左矢和右矢，引进了δ函数，非常是从与精典剖析热学泊松括弧的对应得出了海森伯的对易关系。狄拉克的叙述方式十分优美、简练，比海森伯的方式更普遍适用。1928年，狄拉克又成功地把量子热学和狭义相对论统一上去，完善了电子的相对论性运动等式即狄拉克多项式，从狄拉克多项式可以自然推出电子的载流子，并预言了正电子的存在。
狄拉克和海森伯的思维方法和叙述风格截然不同，是理论化学学家思维方法和叙述风格的两种类型。狄拉克（还有爱因斯坦）是从第一性的原理出发，经过严密的逻辑推理和物理诠释，来获得对化学现象的深入和全新的理解；而海森伯（以及玻尔）则是从具体的化学实验和现象的剖析中发掘新的思想观念和数学原理，再在此基础上完善理论体系。实验纷繁复杂，海森伯有很强的直觉力，擅于掌握问题的关键。杨振宁院长这样比较她们的风格：狄拉克的特征是“话不多，而其内富含简单、直接、原始的逻辑性。一旦捉住了他独到的逻辑，他的文章读上去便很通顺，如同‘秋水文章不染尘’，没有任何残渣，直达深处，直达宇宙的奥秘”，而“海森伯所有的文章都有一共同特征：迷蒙、不清楚、有残渣，与狄拉克的文章的风格产生一个鲜明的对比。读了海森伯的文章，你会惊讶他的独创力（），但是会认为问题还没有做完，没有做干净，还要发展下去；读了狄拉克的文章，你也会惊讶他的独创力，同时却认为他其实早已把一切都发展到了尽头，没有哪些再可以做下去了。”之所以这么，是由于“虽然两个人都达到化学学的最高境界，可是⋯⋯途径却迥然不同：海森伯的灵感来自他对实验结果与唯象理论的认识，因而在摸索中达到了他的对易关系式；狄拉克的灵感来自他对数学的美的直觉欣赏，因而写出他天才的等式。”
图7.薛定谔（法国1987，诞生百年）
德布罗意在提出物质波假说时就已注意到，光学有两种方式：一种是和精典质点热学很相像的几何光学，另一种是指出光的波动性质的波动光学。
德布罗意是第一个仅凭博士论文领到诺贝尔奖的第一人
几何光学可以作为一种近似和极限方式从波动光学推出。这么，能不能构建一种热学，它与精典热学的关系如同波动光学与几何光学的关系一样呢？薛定谔（见图7，图8）构建了这些热学。
图8.薛定谔（圣文森特1995）
薛定谔1925年前后在加拿大的蒙特利尔学院当院长。他是通过爱因斯坦的文章知悉德布罗意的物质波假说的。慕尼黑还有一所联邦技术学院，是爱因斯坦的母校，德拜在哪里当院长。两校联合轮流举行讨论班。一次讨论会上，薛定谔介绍了德布罗意的工作，德拜评论说，这种介绍都太通常，要描述一种波，必须有一个波动多项式。这句话打动了薛定谔。过了几个礼拜，他就在讨论会上提出了自己的波动多项式。紧接着，他扩展和发展了自己的理论，以《量子化作为本征值问题》为题，接连发表了四篇论文（1926年），奠定了波动热学的基础。在第二篇与第三篇文章中间，还发表了一篇题为《论海森伯-玻恩-约丹量子热学和我的量子热学的关系》的论文，论证了矩阵热学和波动热学的物理等价性。
矩阵热学和波动热学都是关于微观运动的理论，概括的是相同的经验领域，并且外形却变得这么不同。波动热学使用的微分等式语文工具更为化学学家所熟悉，而且便于拿来解决各类问题，这就使它为化学学家更迅速和更普遍地接受，并成为讲授量子热学的主要方式。它具有一种“连续的、经典的”外貌，以波为基本概念。矩阵热学相反，它的物理工具是代数，指出的是不连续性。
薛定谔比海森伯、狄拉克年长十多岁，构建波动力学时已是近40岁的中年人了。他多才多艺，对西方文化中的文学和美学十分熟悉，自己还作诗，并且写得不错。他后来把兴趣转向生命科学。1944年，他写了一本书《生命是哪些》，提出了“非周期晶体”“负熵”“密码传递”“量子跃迁”等概念，拿来解释和理解生命现象，影响很大。
图9.泡里（法国1983，去世25年）
讲量子热学的成立不能不提泡里的贡献（见图9，图10）。海森伯1925年摸索着构建量子热学时，因为没有掌握，征求过泡里的意见，泡里支持他搞下去。之后，泡里又用海森伯的方式解决了氢原子问题，强化了矩阵热学的地位。
图10.泡里（圣文森特1995，诺奖筹建百年）
泡里对量子热学的最大贡献是他在1925年1月（矩阵热学构建之前）提出的不相容原理：一个完全确定的量子态中至多只能有一个电子。泡里是研究反常塞曼效应和波谱线的多重结构，剖析了大量的原子基态数据然后提出这个原理的，同时提出，确定电子的量子态取一般的n,l,m三个量子数还不够，电子还有第四个量子数，这个量子数只可取双值，在精典化学中没有对应的数学量。在此之前，玻尔为了说明元素周期表，提出了“组建原理”，说一个原子的电子是这样安排的，它们从能量最低的轨道开始，依次填充能量尽可能低的轨道，每一轨道上可以容纳两个电子，这已有不相容原理的内容。不相容原理所反映的这些严格的敌视性的化学本质，明天还不清楚。
泡里不清楚这第四个自由度及其双值性的化学意义。不久，西班牙数学学家埃伦菲斯特的两个年青的中学生，乌伦贝克和古兹密特，按照碱金属波谱的双线、斯特恩-革拉赫实验和反常塞曼效应等，提出电子还有一个内部转动自由度，即载流子，其量子数为1/2，在z方向的份量只能取值±1/2。但其磁矩为1个玻尔磁子，即其朗德因子g=2。这就是泡里的第四个量子数的数学图象。这个假说遭到泡里等人的强烈反对。由于，泡里觉得，这个量子数只取双值，是没有对应的精典图象的，如何可以像精典的陀螺一样绕自己的轴自转呢？（实际上，在乌伦贝克和古兹密特之前，新加坡化学学家法郎尼希曾提出过类似的看法，但鉴于泡里的强烈反对心态，他不敢写成文章发表。）非常是，洛伦兹强调，倘若把电子看作一个具有精典直径r=2.8×10-15m的小球（目前的实验证据表明，电子的线度远大于10-16m），若要它旋转形成h/2π数目级的角动量，其表面的线速率将比光速c大两个数目级。看到洛伦兹的意见后，乌伦贝克和古兹密特想撤回自己的文章，并且文章已被埃伦菲斯特寄走了。埃伦菲斯特开导她们说，大家还年青，做点荒谬事不要紧。而且，在文章于1925年10月登下来之后，因为它能解释许多实验现象，得到了海森伯、玻尔的大力支持，泡里“完全投降了”。事实表明，载流子概念是微观化学学中极重要的概念。不相容原理、矩阵热学和载流子是1925年化学学的三大发觉。
泡里
不过泡里也没有错：载流子的确是一个纯粹的量子热学量，没有精典对应物。我们只能把它看作一个微观粒子的内禀角动量，而不能想像一个电子像陀螺一样自转。实际上，假如把电子看作点粒子，则不可能有角动量；假如把电子看作有限大小的粒子，则有里面洛伦兹强调的问题。并且电子载流子生成磁矩的朗德因子为2，也是精典数学不能解释的。
当泡里确信载流子概念时，新量子热学早已构建了。于是泡里于1927年引入了二份量波函数的概念和知名的泡里矩阵，把载流子概念列入非相对论量子热学之中。1928年，狄喇克多项式显示了载流子是电子相对论性理论的固有特点。狄喇克多项式的波函数是4份量的，德国化学学家范德瓦尔登说：“从一份量到二份量是一大步，从二份量到四份量是一小步。”
泡里是一个锋芒毕露的人，说话尖酸，不留情面。数学学界称他为“上帝之鞭”——这是法国人对横扫西欧的突厥人首领阿提拉的爱称。上述玻恩的“二人文章”，玻恩原本是想找他昔日的助手泡里合写的。当他在列车上偶遇泡里并征求他的合作意向时，得到的回答却是：“是的，你总是热衷于平庸而复杂的方式主义，你只能用你的无用的物理损害海森堡的数学思想。”玻恩只得找约当合作。
量子热学的方式体系完善上去以后，它的展现（即怎样“翻译”成关于数学实在的阐述）就提上日程了。一个数学理论必须和数学实在构建足够的联系。量子热学是关于微观世界的科学，它的研究对象和我们的日常经验相距甚远，这就使它的数学意义愈发坎坷而含蓄。矩阵热学从一开始就革除形象化思维，它提供的是一套算法。至于这套算法旁边的化学过程，那是不清楚的。波动热学虽然提供了一种“连续的数学图象”，但事实上也只是一套算法的伪装而已。
就连薛定谔多项式所描述的复数波函数ψ究竟代表哪些，人们也并不明晰。薛定谔本人的解释是，世界上没有粒子而只有波，观察到的粒子虽然是波包，这些波的运动就用ψ代表，而ψ的绝对值平方ψ*ψ就代表物质密度。
然而，这些解释不能贯彻究竟。比如，它不能解释波包扩充，也不能解释多体问题的高维位形空间中的波函数。玻恩1926年提出机率演绎，ψ是概率幅，ψ的绝对值平方是概率。玻恩因而获得1954年诺贝尔化学奖。波动热学的本质是：粒子运动遵照概率定理，而概率本身根据因果定理来传播。一个完全确定的热学多项式，被确定的量本身却是一个概率幅，这真是神奇！正是在这一点上我们说量子热学实质上是一个统计理论，也是在这一点上爱因斯坦对量子热学不满意，爱因斯坦觉得，起码量子力学对自然的描述是不完备的。“我相信有可能构建一个理论，它能给出实在的完备描写，它的定理确立事物本身之间的关系，而不仅仅是它们的几率之间的关系。⋯⋯量子热学给人的印象是深刻的。并且一个内部的声音告诉我，这还不是真正的理论。这个理论给出了许多结果，而且并没有使我们离上帝的秘密更近一些。无论怎样，我确信他不玩色子。”为此爱因斯坦和玻尔终身都在争辩。对爱因斯坦的话，玻尔回应说：“阿耳伯特，别嘱咐上帝他该做哪些。”
ψ不仅绝对值平方对应于概率以外还有相位，这个相位极为重要，它是所有干涉现象的症结。狄拉克觉得，量子热学的主要特点并不是不对易代数，而是包含相位的复数机率幅的存在。
图11.海森伯（美国2001，海森伯诞生100华诞）
海森伯是因为想要抛弃电子轨道之类的概念而构建矩阵热学的，并且在描述微观现象时，依然在使用这种概念，如云室中的电子径迹。
图12.海森伯（密克罗尼西亚联邦，2000）
为了澄清它们的意义，海森伯在1927年导入测不准关系，表明不能同时确切测定微观客体的座标和动量（见图11，图12）。曾经测不准关系曾被愈发指出，被一些人奉为至宝，用各类假想实验来说明检测必然带来干扰，是测不准的缘由，这个关系式是对人类认识能力的一个基本限制；如今我们晓得，它只是构建在波函数统计解释上的一个结论量子物理定义，只不过是熟知的傅里叶变换排比长度之间的关系：波包越窄，其频谱越宽。并且把动量和系统的频度联系上去，这儿面有着深刻的波粒二象性的诱因。
不仅在量子热学基本原理上的进展外，还药量子力学说明了许多化学现象，比如海森伯关于氦原子的理论，海特勒和巴黎关于联接同种原子的共价键（如氢分子）的理论，鲍林的物理键理论，布洛赫对周期场中ψ波的估算，海森伯的铁磁性理论，伽莫夫用位垒穿透解释α衰变等。量子热学获得了巨大的成功。量子热学的物理基础也由诺伊曼严密地叙述。到1930年前后，应该说，非相对论量子热学早已是一门定型的学科了。一些优秀的量子热学教科书也出版了（比如，狄喇克的《量子热学原理》初版出版于1930年）。量子热学已具有与明天基本上相同的面貌。并且，对它的一些基本概念及其认识论意涵则无法理解。玻尔就说过：“如果谁在第一次学习量子概念时不认为糊涂量子物理定义，他就一点也没有懂。”许多化学学家对量子热学都抱着“知其然，不知其所以然”的心态，会用，而且不懂。费曼说：“我想我可以有掌握地说，没有人懂得量子热学。⋯⋯我来告诉你自然界怎么行事。假如你接受我的说法，认为其实她的确如此行事，这么你将发觉她是令人愉悦并且着迷的。千万不要问‘她为何会这样？’，假如那样你才会走入一条死西街，到如今还没有人能走下来，由于没有人晓得自然为何会这样。”盖耳曼说：“全部近代数学学受那种称作量子热学的宏大的、整个使人糊涂的学说支配。⋯⋯它早已经受住一切检验，没有任何理由相信它富含任何瑕疵。⋯⋯我们全都晓得如何用它，如何把它应用到具体问题起来；因此我们早已学会与这一事实共处，那就是没有人就能懂得它。”
图13.量子热学构建史（日本1982）
日本1982年发行的诺贝尔化学奖小支票（见图13）挺好地总结了量子热学盛行的历史。这套邮品的名称是“诺贝尔奖得主——原子化学学”，是日本的诺贝尔奖邮品从按年份发行改为按类别发行的第一次（在此之前日本每年发行的诺贝尔奖邮品的主题是60年前的诺贝尔奖得主，如1981年的邮品主题是1921年的诺贝尔奖得主爱因斯坦）。全套共5张，记念5位诺贝尔化学奖得主：玻尔、薛定谔、德布罗意、狄拉克和海森伯。邮品发行时，德布罗意和狄拉克两位还在世。
从上到下，第一张是记念玻尔的，里面是氢原子中的电子轨道和玻尔的签名；第二张记念薛定谔，前面是氢原子内薛定谔等式的解的电子云（左为3d态，m=0；右为2s态）；第三张是德布罗意波的摹示图；第四张记念狄拉克，是云室中电子-正电子对形成的相片；最下一张记念海森伯，美国邮政总局在这套邮品的首日封上所附的说明中说：“海森伯的贡献是说明原子如何结合在一起构成分子。”
如上所述，在20世纪20年代，非常是在1925—1928这几年里，建成了量子热学的宏伟主楼。不同的人物在不同的地方大显身手，新的概念和理论泉涌而出，又在很短的时间内达到融会贯通，完善了完整的体系。人们把这段时期称作化学学史上的“英雄时代”、“黄金时代”。狄拉克追忆说：“在这些日子里，任何一个第二流的化学学家都很容易作出第一流的工作，而从那之后却再也没有出现过这么令人向往的时期，现今第一流的数学学家做第二流的工作都很困难了。”
原子和分子微观世界的基本规律是量子热学。量子物理应用量子力学理论来说明物理的一些基本问题。将量子理论应用于原子体系还是分子体系，是分辨量子化学学与量子物理的一个标准。
最早的量子物理估算是1927年两位化学学家海特勒和弗里茨·伦敦对最简单的分子——氢分子的估算，她们药量子力学基本原理讨论氢分子的结构，说明了两个氢原子就能结合成一个稳定的氢分子的缘由，但是近似算出其结合能。在海特勒和巴黎对氢分子估算的基础上，物理家们构建了三套诠释分子结构的理论：鲍林在最早的氢分子模型基础上发展了价键理论，但是由于这一理论获得了1954年度的诺贝尔物理奖；1928年，数学物理家马利肯提出了分子轨道理论；1931年，贝特提出了配位场理论。价键理论、分子轨道理论和配位场理论是量子物理描述分子结构的三大基础理论。
物理中另一个基本问题是物理反应。1953年，美国物理家福井谦一(1919—1998)把分子轨道理论应用于研究物理反应，提出了前线轨道理论。所谓前线轨道，包括最高已占分子轨道（Orbit，简写为HOMO）和最低未占分子轨道（Orbit，简写为LUMO）。这个理论觉得，分子的许多性质（非常是物理反应的方向）主要由分子中的前线轨道决定。缘由是，在分子中，HOMO上的电子能量最高，所受禁锢最小，所以最开朗，容易变动；而LUMO在所有未占轨道中能量最低，最容易接受电子。因而，这两个轨道决定着分子的电子得失和转移能力，决定着分子间反应的方向等重要性质。这个理论可以满意地解释各种物理反应，福井谦一因此获得1981年诺贝尔物理奖。
1998年诺贝尔奖的颁奖公告中，美国科大学声称，“量子物理将物理带入一个新时代，⋯⋯物理不再是纯实验科学了。”也就是说，理论物理成了物理中一个独立的分支学科。而“理论物理实际上就是数学学，⋯⋯理论物理最终的归宿是在量子热学中”（知名化学学家费曼语）。从19世纪末成立数学物理，从数学学中寻求概念、理论和技巧解决物理问题，提升物理的理论水平，到理论物理独立成军，经过了大半个世纪。
理论化学学是在麦克斯韦电磁理论构建以后，在19世纪末成为一门独立学科的。在理论化学学构建一个世纪后，理论物理也完善上去了。严密化和理论化将成为一切学科的发展趋势，理论地质学、理论生物学都将出现。
科学历来有两种模式：博物学模式和数理模式。卢瑟福所说的“一切科学，要么是数学学，要么是集邮”，就是这个意思。所谓博物学模式，就是收集和记述事实，加以分类，进行简单的对比，总结出经验规律。任何一门科学的幼年期都处于这个模式。随着这门学科的发展成熟，它越来越系统，越来越严密，物理用得越来越多。使用物理并不只是为了定量化，更是为了逻辑的严密化。从几条基本原理出发，用诠释的办法完善起统一的理论体系，解释已知事实，预言新的现象，再用实验检验，这就是数理模式。通常说来，一门学科的研究对象越简单，这门学科就越早步入数理模式。数学学研究的对象是最简单的，正如费曼所说，“物理学家有个习惯，对任何一种现象，只研究它们最简单的事例，把这称作‘物理’，而把更复杂的情况看作其他领域的事。”因此，数学学发展得最成熟，最早步入数理模式。它以探求自然界的最终奥秘、建立关于自然界的统一理论为自己的追求，积累了丰富的经验，把握了一套成熟的技巧（如构建模型的方式）。这样，当姐妹学科从博物馆模式向数理模式转换时，数学学就有可能向它们提供不可或缺的帮助。从这个意义上说，数学学思想并不只属于数学学，而是一切自然科学的基础。
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