第一部分 力与物体的平衡
第一讲的处理
1.向量运算
1. 添加
表达：
+
=
。
名词：
对于“向量和”。
定律：平行四边形定律。 如图1所示。
和向量大小：c=
，其中 α 是
和
倾角。
和矢量方向：
存在
,
之间
倾斜角β=
2. 减法
表达：
=
-
。
名词：
是“被减数向量”力的正交分解是什么量，
是“减数向量”，
是“差异向量”。
定律：三角形定律。 如图2所示，将被减数向量和减数向量的起始端平移到一点，然后将两个时间量的端点连接起来，指向被减数时间量的时间量，即为差向量。
差异向量大小：a=
力的正交分解是什么量，其中 θ 是
和
倾角。
利用余弦定理可以得到差向量的方向。
直线上的向量运算是平行四边形和三角形定律的特例。
例：假设质点做匀速圆周运动，直径为R，周期为T，求
T 和在
T 中的平均加速度。
说明：如图3所示，A点至B点对应
T的过程对应A点到C点
T的过程。这三点的速度向量分别设为
,
和
。
根据加速度的定义
=
必须：
=
,
=
由于涉及两个向量加法，设两个差向量
=
-
,
=
-
，根据三角形法则，画出了图3中它们的大小和方向（
“三角形”已被拉伸成一条直线）。
这个问题只关心每个向量的大小，即使：
=
=
=
，和：
=
=
,
=2
=
所以：
=
=
=
,
=
=
=
。
（中学生活动）观察思考：两个加速度相等，匀速圆周运动是匀速运动吗？
答案：否； 它不是。
3. 乘法
向量加法有叉积和点积两种，它们与代数加法有质的不同。
⑴ 叉积
表达：
X
=
名词：
称为“向量的叉积”，它是一个新的向量。
叉积的大小：c=absinα，其中 α 是
和
倾角。 意义：
尺寸对应于
和
所得平行四边形的面积。
叉积方向：垂直
和
确定平面，并用左手螺旋定则确定方向，如图4所示。
实际上，
X
≠
X
，但有：
X
=-
X
⑵ 点乘法
表达：
·
=c
名词：c称为“向量的点积”，它不再是向量，而是标量。
点积的大小：c=abcosα，其中α为
和
倾角。
2. 共点力的合成
1. 平行四边形定律和向量表达
2.一般平行四边形的合力和分力计算
正弦定律（或除以RtΔ）求解合力的大小
余弦定律解方向
3、力的分解
1.按疗效分解
2.根据需要——正交分解
第2讲物体的平衡
1.常见的力平衡
1.特点：刚体没有加速度。
2、条件：Σ
=0，或
=0,
=0
例：如图5所示，用两根轻绳水平悬挂一根长度为L、粗细不均匀的单杠。 绳索与水平方向的倾斜角度标注在图中。 找到杆的重心。
说明：利用同一点上的三个力的知识直接求解问题，几何关系比较简单。
答案：距杆上端 L/4。
（中学生活动）思考：将一个均质长方体放在斜面上，根据实际情况分析受力，斜面的支撑力会通过长方体的重心吗？
解：将各处的支撑力总结为一个N，则长方体上的三个力（G，f，N）必定在同一点，由此可推知N不能通过长方体的重心。 正确的受力情况如图6所示（一般受力图是将受力物体视为一个点，此时N超出重心）。
答：不。
2、旋转平衡
1、特点：物体没有旋转加速度。
2、条件：Σ
=0，或ΣM+=ΣM-
如果物体是静止的，那么肯定会同时满足两个平衡，所以可以用两种思维方式来解决问题。
3. 非共点力的合成
大小和方向：遵循直线矢量合成规则。
作用点：首先假设一个等效的作用点，然后让所有平行力作用到该作用点的扭矩之和为零。
第三讲课
1、如图7所示，在一个倾斜角为α的固定斜面上，有一个可旋转的夹板（β不定），夹板与斜面之间夹有一个质量为m的光滑均质球体。 尝试获得： β 在任何值下，夹板对球施加的弹簧量最小。
说明：方法一，平行四边形动态处理。
对球体进行受力分析，然后将平行四边形中的向量G和N1平移，使其形成三角形，如图8左图和中图所示。
由于G的大小和方向不变，而N1的方向不可变，当N2的方向因β的减小而改变时，N2的变化和N1的方向的变化如图下图所示8.
事实上，随着β减小，N1单调减小，而N2的尺寸先减小后减小。 当N2垂直于N1时，N2取最小值，N2min=Gsinα。
方法二、函数法。
看图 8 的中间图片，使用该三角形的余弦定理，我们有：
=
，即：N2=
，β取0~180°之间的值，N2极值的讨论很容易。
答：当β=90°时，座舱弹力最小。
2、用水平推力F将一个重量为G的物体压在垂直足够高的墙上，F随时间t的变化如图9所示，物体的摩擦力从t=0开始力f如图10所示？
说明：静力学致力于解决静态问题和准静态过程问题，但这道题是个例外。 物体在垂直方向的运动先加速后减速，平衡多项式不再适用。 如何避免牛顿第二定理是本课题讲授的难点。
静力学的知识，这道题是区分两种摩擦力的不同判据。
水平方向的合力为零，因此：支撑力N继续减小。
当物体运动时，滑动摩擦力f=μN必然不断减小。 但物体静止后的静摩擦力f'eqG与N无关。
分析运动过程，物体必然有加速和减速两个过程。 根据数学常识，加速时f<G，减速时f>G。
答案：B。
3、如图11所示，将一个重量为G的小球放在一个垂直放置的半径为R的光滑环上，另一个轻弹簧，其刚度系数为k，自由宽度为L（L<2R ），一端固定在大环的顶点A，另一端与小球连接。 当环达到静平衡时，它位于大环上的B点。 求弹簧相对于垂直方向的倾斜角 θ。
说明：平行四边形的三个向量总是可以转化为三角形进行讨论。 解三角形有三种典型的方法：①分成直角三角形（或本来是直角三角形）； ②利用正弦和余弦定律； ③ 使用力 学习向量三角形类似于某个空间位置的三角形。 本主题致力于实现第三种思维方式。
分析小球受力→矢量平移，如图12所示，其中F代表弹簧力，N代表大环的支撑力。
（中学生活动）思考：图12中支撑力N的方向可以相反吗？ （正交分解以查看水平平衡 - 不可能。）
很容易区分，图中红色矢量三角形与空间位置三角形ΔAOB类似，所以：
⑴
根据胡克定律：F=k(
-R) ⑵
几何关系：
=2Rcosθ⑶
解上述三个方程。
回答：
。
（中学生活动）思考：如果把弹簧换成刚度系数k′更大的弹簧，其他条件不变，弹簧力会如何变化？ 环的支撑力如何变化？
答：减少； 保持不变。
（中学生活动）反馈练习：将光滑的半球固定在水平面上，球中心O的正上方有一定的滑轮。 一根轻绳穿过滑轮将一个小球从图13所示的位置A拉到位置B。试判断：这个过程中绳的拉力T和球面的支撑力N如何变化？
解决方法：和上面的完全一样。
答案：T 变小，N 保持不变。
4、如图14所示，先将一个直径为R、重心不在O点的非均匀球体放置在水平地面上，平衡时球体上的A点与地面接触; 然后将其放在地上。 在一个夹角为30°的粗糙斜坡上，球面上的B点与斜坡平衡接触，可知A到B的圆心角也是30°。 求球体重心 C 到球心 O 的距离。
说明： 练习在同一点应用三种力。
根据平面上的平衡可知，重心C位于连线OA上。 根据斜面上的平衡，支撑力和重力摩擦力在同一点，可以得出重心的具体位置。 几何估计相对简单。
回答：
R。
（中学生活动）反馈练习：在静摩擦力足够的情况下，将长度为a、厚度为b的砖块叠在角度为θ的斜坡上，最多可以叠多少块砖？
解决方案：应用三种力的知识。
回答：
。
4、两条等长的细线，一端系在同一个悬挂点O上，另一端系在一个小球上。 两个球的质量分别为m1和m2。 众所周知，两个球之间存在大小相等、方向相反的效应。 力使两条线以一定的角度伸展，分别为45°和30°，如图15所示。那么m1:m2是多少？
说明：本题考察余弦定律或扭矩平衡来解决静力学问题。
对两个球进行受力分析并进行矢量平移，如图16所示。
首先注意图16中的红色三角形是等边三角形，两个底角相等，设为α。
但两球的相互作用力方向相反，大小相等，可用同一个字母表示，记为F。
将余弦定理应用于右侧的向量三角形，我们有：
=
①
同理，对于右边的向量三角形，有：
=
②
求解两个公式①和②。
答案：1：
。
（中学生活动）思考：还有其他办法解决这个问题吗？
答：是的——将模型视为两个由光杆连接的小球，O点视为转轴。 两个球的重力必须平衡 O 的扭矩。这些技术更直接、更容易。
应用：如果原题中绳子的长度不相等，但l1:l2=3:2，其他条件不变，则m1与m2的比是多少？
解：这时候用共点力来平衡就越来越复杂了（多了一个余弦定律多项式），而用力矩来平衡就和“思考”差不多了。
答案：2：3
。
5、如图17所示，直径为R的均质金属球固定有一根长度为L的轻质细杆，细杆的上端用铰链与墙壁连接，木板放置在球下方。 细杆完全水平，下面的木板光滑且水平。 由于金属球与木板之间存在摩擦力（已知摩擦诱因为μ），因此当将木板从球底部向右拉出时，至少需要F的水平拉力。 请问：需要多大的水平推力才能继续向左插入木板？
说明：这是一个典型的扭矩平衡示例。
以球和杆为物体，研究它们相对于旋转轴O的旋转平衡，设木板拉出时球上的摩擦力为f，支撑力为N，重力为G，扭矩平衡多项式为：
fR+N(R+L)=G(R+L)①
球与板一直相对滑动，故：f=μN②
求解①②可得：f=
再看一下棋盘的平衡，F=f。
同理，当板插入时，球与板之间的摩擦力为f′=
=F'。
回答：
。
第四讲 摩擦角及其他
1、摩擦角
1、总反作用力：接触面上物体所受的摩擦力和支撑力的合力称为总反作用力，通常用R表示，也称为接触反作用力。
2、摩擦角：总反力与支撑力之间的最大倾斜角称为摩擦角，通常用φm表示。
此时，要么物体已经滑动，则必然有： φm=arctgμ（μ是动摩擦的原因），称为动摩擦角； 静摩擦角。 一般处理为φm=φms。
3、引入总反力和摩擦角的意义：它使得物体所受力的分析和处理更加方便和简单。
2. 隔离方法和整体方法
1、隔离法：当存在两个或两个以上的对象时，必须将它们一一分解，孤立出每个个体进行分析处理，称为隔离法。
在处理隔离多项式之间的关系时，要注意相互斥力的大小和方向。
2、整体法：当每个个体处于平衡状态时，我们可以忽略个体差异，将多个对象作为一个整体来进行分析和处理，称为整体法。
在运用整体方法时，应注意“制度”、“内力”、“外力”的含义。
3. 申请
1、将物体放在水平面上，用与水平面成30°的力拉动，物体以匀速向前运动。 如果这个力的大小保持不变，如果改为沿水平方向拉动物体，物体仍然可以匀速向前移动。 求物体与水平面之间的动摩擦感应系数μ。
说明：这是一个可以展示解决摩擦角问题优越性的题目。 中学生会对不同解决方案的比较印象深刻。
方法一，正交分解。 （中学生分析力→列多项式→得出结果。）
第二种方法是利用摩擦角来解决问题。
引入总反力R，分析物体两个平衡状态的受力，然后进行矢量平移，得到图18左图和中图（注：重力G不变，力的方向总反作用力R不同，F的大小不变），φm指摩擦角。
然后将两幅图像重叠，形成图18下图。因为红色三角形是内角为30°的等边三角形，所以其内角的角平分线必须垂直于斜边...所以： φm= 15°。
最终，μ=tgφm。
答案：0.268。
（中学生活动）思考：如果F的大小可以选择，那么能使物体保持匀速前进的最小F值是多少？
解：见图18，下图中实线的宽度为Fmin，所以，Fmin=Gsinφm。
答案：°（其中G是物体的重量）。
2、如图19所示，将质量为m=5kg的物体放在粗糙的斜坡上，用平行于斜坡的F=30N的推力推动物体，使物体向下运动沿着斜坡匀速行驶，斜坡体仍然静止。 设斜面质量M=10kg，夹角为30°，重力加速度g=10m/s2，求地面与斜面之间的摩擦力。
解释：
本题致力于展示整体方法解决问题的优越性。
方法一、隔离法。 简单的介绍...
第二种方法是整体方法。 注意，滑块和斜面有相对运动，但从平衡的角度来说，它们是完全等价的，可以看作一个整体。
进行整体受力分析时，不考虑内力。 受力分析比较简单，通过一系列水平平衡多项式很容易求解地面摩擦力。
答案：26.0N。
（中学生活动）地面对斜面的支撑力是多少？
解决方法：稍微。
答案：135N。
应用：如图20所示，在光滑的水平地面上放置一个上表面粗糙的斜坡，斜坡的夹角为θ。 另一个质量为m的滑块可以沿着斜坡匀速下降。 如果用推力F作用在滑块上，使其沿斜面匀速向上滑动，且要求斜面静止，则必须在斜面上施加P=θcosθ的水平推力。 使这个F的大小和方向满足题意。
说明：这是一个困难的静力学问题，可以使用所有可能的工具来解决该问题。
方法一：隔离法。
由第一种化学情况容易得到，斜面与滑块的摩擦诱导μ=tgθ
对于第二种化学情况，将滑块和斜面分离进行受力分析，将F沿斜面和垂直斜面分解为Fx和Fy。 滑块与斜面之间的两对相互斥力仅用两个字母表示（N代表法向压力和弹力，f代表摩擦力），如图21所示。
对于滑块，我们可以考察沿斜坡方向和垂直斜坡方向的平衡——
Fx=f+mgsinθ
Fy+mgcosθ=N
且 f=μN=Ntgθ
结合以上三个公式，我们得到：
Fx=Fytgθ+θ①
对于斜面，只看水平方向的平衡——
P=fcosθ+Nsinθ
即：θcosθ=μNcosθ+Nsinθ
代入μ值，一般得分为：Fy=mgcosθ②
②代入①可得：Fx=θ
最后通过F=
求解 F 的大小，通过 tgα=
求解 F 的方向（令 α 为 F 的倾角和斜率）。
答：大小为F=mg
，方向和倾斜角α=arctg(
) 指向斜坡的内侧。
方法二：引入摩擦角和积分法的概念。
一直遵循“方法一”中F的方向设置（见图21中的α角）。
首先看整体水平平衡，有：Fcos(θ-α)=P⑴
然后孤立滑块，在分析受力时引入总反作用力R和摩擦角φ，因为简化后只有三个力（R、mg和F），矢量可以平移形成三角形，如图如图 22 所示。
在图22左侧的矢量三角形中，有：
=
=
⑵
注： φ=arctgμ=arctg(tgθ)=θ⑶
解 ⑴ ⑵ ⑶ 即可得到 F 和 α 的值。