牛顿运动定理之第一定理与第二定理
动力学的根本任务是完善力与运动间的联系，因而解释物体在哪些条件下做哪些运动。牛顿完善的理论体系是第一套比较成功的动力学理论体系。
要完善力与运动的联系，首先碰到的问题是，当我们变换参考系时，物体的运动学量与受力的变换规律完全不同。
比如，物体若果在某个参考系中不受力，则在任意参考系中该物体都不受力；但物体在一个参考系中不运动，在另一个参考系中未必不运动；物体在一个参考系中没有加速度，在另一个参考系中也未必没有加速度。我们须要提供一类特殊参考系，之后在这类特殊参考系下构建运动与力的联系。
伽利略相对性原理
伽利略提出过一个思想实验：若在半夜将一些酣睡的化学学家偷偷转移到一膄匀速行驶的船上的封闭舱室内；她们难以观察到甲板外的情境。这么，等她们睡醒后，能够通过各类化学实验判定自己究竟是身处匀速行驶的船上的密闭甲板内，还是在地面上某个密闭卧室内呢？
比如，将一个小球从某一高度处由静止(相对各自的参考系)释放，它落到地面所用的时间是否相同？是否满足相同的规律？以某个相同的初速率(相对各自参考系)抛出一个小球，它们的运动是否完全相同？等等。
大量的经验事实表明，我们难以用化学实验分辨两个相对彼此做匀速直线运动的参考系。
在两个相对彼此静止或做匀速直线运动的参考系中，一切化学实验将得到相同的结果；而化学实验的结果取决于化学规律。
伽利略相对性原理：相对彼此静止或做匀速直线运动的两个参考系中，数学规律完全相同。
伽利略相对性原理说明，假如我们构建了一套理论，它在某个参考系中是创立的；则在所有与该参考系相对静止或做匀速直线运动的参考系中，这套理论依然创立。
牛顿第一定理惯性参考系
关于力与运动的联系，直观的体会是有力才有运动；若没有力，物体的运动都会停出来。并且，这或许也得到了大量经验事实的印证。诸如，马车须要马拉能够动，不拉了马车都会停下。篮球踢出去后，最终必会停出来。
但是，我们伞车时，并非停止伞车后货车立刻都会停下。踢出去的球也总会在地面上滚动一段时间才能停出来；并且粗糙程度不同，初速率不同，球停下所用时间也不同。我们难以用有力才有运动的理论定量解释这种现象。
伽利略以其敏锐的洞察力，通过一个思想实验发觉了这儿面存在的问题。两个斜面底端平滑联接，从一个斜面释放小球，当它滚到斜面底端时，在水平方向上并不受力，但它并没有马上停出来或在竖直方向上运动；而是沿轨道继续往前运动，滑上另一个斜面。
而另一个斜面上，小球受力似乎是沿斜面向上的，但小球却沿斜面向下运动；这说明力与运动方向甚至可以相反。
伽利略还发觉小球在第二个斜面上才能抵达的高度略高于释放时的高度，但小球和轨道越光滑，这两个高度就越接近。为此牛顿第一运动定律的概念，他大胆的猜想，假如小球和斜面之间绝对光滑，它在第二个斜面上才能抵达与释放时相同的高度。并且，渐渐放平第二个斜面，仍能抵达相同高度。
这样，假如让第二个斜面趋向水平，小球仍趋向抵达原先的高度，它会仍然沿第二个“斜面”运动下去；而小球在第二个“斜面”上并未受力。这说明，物体的运动并不须要力来维持。
伽利略通过这个实验还发觉了磨擦力的存在，车不拉都会停下，踢出去的球滚动一段距离都会停下等，不是由于不受力，恰恰是由于遭到与运动方向相反的磨擦力。力的作用是改变物体的运动状态。即，使物体从静止到运动，或从运动到静止，或使物体加速、减速、改变运动方向等，才需要力。也就是说，使物体获得加速度才须要力。
后来，牛顿在《自然哲学的物理原理》一书中，将这个结果归纳为如下定理。
牛顿第一定理：物体将一直保持静止或做匀速直线运动，直至外力促使其运动状态发生变化。
牛顿第一定理的这些叙述，虽然是存在问题的；由于它没有强调是在哪些参考系下静止或做匀速直线运动。
这个规律是根据地面参考系中的实验牛顿第一运动定律的概念，并经过科学推理得到的。为此，可以觉得定理中提及的静止和匀速直线运动都是相对地面而言的。但，若对更大尺度范围内的运动做更精确的研究，我们会发觉不受力的物体并不严格静止或做匀速直线运动！
这样，我们要么接受牛顿运动定理只是一个近似创立的规律，要么觉得是地面参考系有其局限性，可以找到一类参考系，在这类参考系下，牛顿运动定理严格创立。
事实上，我们可以将牛顿第一定理更严谨的叙述为如下方式。
牛顿第一定理：不受力的两个物体必然相对彼此静止或做匀速直线运动。
这样，我们就可以定义一类特殊的参考系，在这种参考系中，不受力的物体要么静止，要么做匀速直线运动。
惯性参考系：不受力的物体作为参考系称为惯性参考系，简称惯性系；相对惯性系静止或做匀速直线运动的物体作为参考系统称为惯性系。
牛顿第一定理确保任意两个惯性系必然相对彼此静止或做匀速直线运动；因而确保了惯性系这个概念本身的逻辑自洽。
现实中，并不存在完全不受力的物体，因此并不存在严格的惯性系；惯性系也是一个理想模型，是一种理想化的参考系。
当某个物体O所受力与其质量的比值远远大于我们的研究对象所受力与其质量的比值时，可将O近似视为惯性系。
比如，研究地面上物体的运动时，通常都可以将地面近似视为惯性系；研究太阳系中的物体的运动，通常可以将太阳近似视为惯性系。
若一个系统所受外力远大于系统各部份间的内力；则，以它们的刚体作为参考系，研究系统各部份相对该刚体的运动时，这个质情系可视为惯性系。
为此，研究地月系内的运动，地月系的总刚体作为参考系比月球更接近惯性系。研究太阳系内的运动，太阳系的总刚体作为参考系比太阳更接近惯性系；只是运算会更复杂。
牛顿第二定理
有了惯性参考系的概念，能够在惯性系中构建物体的运动与受力之间的关系；这是牛顿第二定理的任务。
通过对大量经验事实的剖析和科学推理，牛顿得出如下结果。
牛顿第二定理：在惯性系中，物体所受合外力等于其动量的变化率
其中，$$sumvec{F}vec{p}mvec{v}$的数乘
即，物体的动量是一个与物体的速率同向的矢量，动量的大小等于速率的大小与物体质量之积。
牛顿理论中，默认物体的质量不随物体的运动速率变化；为此，牛顿第二定理的表达式也可以写成
表达式的右侧是物体所受合外力，右侧的加速度则是运动学量；它完善了力与运动学量之间的联系。
但是，这个表达式是矢量表达式，除了反映大小关系，也反映方向关系，即物体的加速度与物体所受合外力方向相同。
按照矢量运算的性质，在正交直角座标系中，有
在自然座标系中，有
其中，为曲线轨迹在对应位置处的曲率直径；表示速度（速率的大小）的变化量，表示速度的变化率。
在极座标系下，有
其中，和分别为径向座标和轴向座标。
