1. 第十一章力矩定理，11-1 粒子和粒子系统的力矩，11-2 力矩定理，11-3 定轴刚体旋转的微分方程，11- 5 粒子系统相对于质心的力矩定理，11-4 惯性矩，11-6 刚体平面运动微分方程，11-1 粒子和粒子系统的动量，1. 动量粒子的动量，根据矩的定义，粒子对O点的动量矩定义为，对z轴的动量矩，单位：kgm2/s，2.粒子系统的动量矩，动量矩绕点，绕轴的动量矩，等于绕点O的力矩，是代数量，从z轴正方向看，逆时针为正，顺时针为负。， (1)刚体平移，（2）刚体绕固定轴旋转，称为刚体相对于z轴的转动惯量，则有，刚体相对于z轴的动量矩z 轴, let, 11 -2 动量矩定理, 1. 粒子的动量矩定理，假设 O
2.对于不动点，有，其中：，（O为不动点），投影公式：，所以有，称为粒子动量矩定理：粒子动量矩的一阶导数相对于时间对固定点的作用等于作用在同一点上的力矩。 ，式中：x、y、z为固定轴，我们得到，称为粒子系统动量矩定理：粒子系统动量矩相对于某个固定点O的导数时间等于外力作用于粒子系统相对于同一点的力矩关于O点的冲量矩的矢量和，即粒子系统到不动点的动量矩的增量一定时间内的O等于同一时间内粒子系统作用于O点的外力冲量力矩之和。 ，例：已知： ，不包括摩擦力。，求：汽车的加速度a。 ,解决方案：采取整个系统
3、研究，应用动量矩定理，得到，例如水轮机转轮，进水速度v1，出水速度v2，它们与切线的夹角分别为 ，总体积流量。 求：水流作用在转轮上的旋转力矩。 ，解决：以两叶片之间的流体为研究对象。 ，经过一段dt后，水流从ABCD流向abcd。 假设叶片的数量为 转轮上的扭矩与其相等且方向相反。 ，求：(1) 车轮角加速度，示例：已知， , , , , , 不包括摩擦力，(2) O 处的约束力，(3) 绳索张力， ，解：(1) 研究整体，应用动量力矩求定理，（2）研究整体，应用质心运动定理求，（3）研究m1求，（4）研究m2
4.求碰撞过程的动量矩定理，3.动量矩守恒定律，如果，则它是一个常数向量； 如果，那么它是一个常数。 ,例：质点在中心力作用下的面积速度定理。 有中心力：力的作用线总是经过一个固定的点，这个点称为力的中心，由于存在常数向量，（2）b=常数，即常数，根据图，因此，常数（1） 和 必须在一个固定平面内，即 M 点的运动轨迹是平面曲线。，称为面积速度。，面积速度定理：质点在 的作用下扫掠的矢量半径中心力 面积速度保持不变。 ，思考：谁先到达顶峰？ ，发现：切断绳子后，当杆与轴形成角度时。 ，例如，已知两个球的质量为，初始角速度，杆的长度为l。 ,当,解: 由于系统在z轴上的外力矩为零，所以系统在z轴上的动量矩守恒。 ,11-3 刚体定轴旋转微分方程，主力：，
5、约束力：，即：，或，或，是刚体绕定轴旋转的微分方程。 Jz可以测量刚体绕轴旋转的惯性。 ，例子已知： ，问。 ,解:,求:小摆幅的周期。,例子展示了一个物理摆(复摆),已知,解:,当有小幅摆幅时,,即:,,一般解法是,称为角振幅，称为初始相位，由初始条件确定，周期，用实验方法求转动惯量，例如：求曲柄相对于O轴的转动惯量。 ，（3）将曲柄挂在水平轴O上，稍作摆动，测量摆动周期T，求得JO：，解：所需工具尺，直尺，码表，（1）称出重量mg，（ 2）测量长度，确定质心C的位置l。例如，动滑动摩擦系数已知，求：制动所需时间t。 ,解:,例子是已知的，我们需要: .,解:,因为, ,我们得到,轴:,轴:,解是,例子的质量
6、刚体m可以绕O轴旋转。 从质心C到轴线OCb的距离是JO。 如果刚体突然受到撞击，其冲击冲量为I，与OA、OAa形成角度j。 设碰撞前刚体的角速度为w0。 求：（1）刚体撞击后的角速度； (2)由于冲击而在轴承处产生的瞬时反作用力的冲量。 ，解：这是一个碰撞问题，所以可以忽略普通力，认为碰撞过程中物体的位置不变。 ,1. 求碰撞后的角速度。 ，动量矩定理的积分形式，动量定理，2.求反作用力的冲量，x方向，y方向。 在工程实践中，希望反作用力的冲量尽可能小。 ，要做到，必须满足，即外部碰撞冲量I垂直于OC、1、2的连线，即由公式确定的K点称为碰撞中心。 结论：要使轴承处的反作用碰撞冲量为零，必须使碰撞冲量垂直于OC连接线
7.并通过冲击中心。 ,11-4 刚体绕轴的转动惯量，单位：kgm2，1.刚体绕轴的转动惯量。 刚体绕轴的转动惯量可以测量刚体绕轴旋转的惯性。 它是表征刚体力学特性的重要物理量。 ，刚体绕z轴的转动惯量定义为，刚体的转动惯量是质量绕轴的二阶矩。 ，始终为正的标量， (1) 转动惯量积分计算，求一对穿过杆端的均质细直杆的 z 轴转动惯量。 对于形状简单的刚体，如果刚体的质量是连续分布的，那么，设杆的单位长度和质量为， 2. 确定刚体转动惯量的常用方法。 例如，求均质薄环相对于中心轴的转动惯量，求均质圆板相对于中心轴的转动惯量。 假设圆板单位面积的质量为 ，与圆板的厚度无关，（2）查表法，均匀物体的转动惯量，细环，细直杆，体积，惯性半径，
8.转动惯量，简图，物体形状，圆板，空心圆柱体，圆柱体，实心球体，（3）回转半径（惯性半径），（4）平行轴定理，其中zC轴为中心质量且与 z 轴平行，d 为 z 轴与 zC 轴之间的距离，即：刚体相对于任意轴的转动惯量等于刚体的转动惯量刚体相对于穿过质心且平行于该轴的轴的质量，加上刚体的质量与两个平行轴之间距离的平方的乘积。 ，称为刚体绕z轴的回转半径，具有长度量纲，与刚体的质量无关。 ，证明： ，因为，有，我们得到，？，例子：均质细直杆，已知m，l。 ，求：杆副穿过质心且垂直于杆轴线zC轴的转动惯量。 ，需要记住三个转动惯量，（1）均质圆盘相对于中心轴线的转动惯量，（2）均质细直杆相对于杆端轴线的转动惯量， (3) 均质细直杆相对于中心轴线的转动惯量
9、转动惯量，则杆对轴的转动惯量为，解：，求：JO。 ，例：已知棒的长度为l，质量为m1，圆盘的直径为d，质量为m2。 ，解：，求。，解：，其中，由以下方法获得，示例： 已知：，示例，两个同质圆盘的质量为 m，半径为 R，角速度为，尝试找到两个圆盘对。 旋转轴的动量。 ,解,(a),(b),求:LO。,例:已知棒的长度为l,质量为m1,圆盘的半径为d,质量为m2,角速度是。 ，解： ，1． 粒子系统相对于质心的动量矩为， 其中， 11-5 粒子系统相对于质心的动量矩定理，因为，即： 粒子系统的动量矩相对于质心，无论是相对速度还是绝对速度计算结果，质点系相对于质心的动量矩都是相同的。 ，粒子系统相对于固定点O的动量矩： ，2。 相对质心
10. 10的动量矩定理。 因为，在方程左边和方程右边，粒子系统相对于质心的动量矩定理：矩的导数粒子系统相对于质心的动量对时间的导数等于作用在粒子系统上的外力相对于质心的导数。 主矩.,得到,0,相对于质心的动量矩定理投影在随质心平移的x,y,z轴上,或者说,质心的运动定理,动量矩相对于质心的定理，11-6 刚体平面运动微分方程，以上各组称为刚体平面运动微分方程。 ，应用时，一般采用投影公式： ，例如，半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示。 设车轮的转动惯量半径为，作用在车轮上的力偶力矩为M，求： (1) 车轮中心加速度。 （2）若圆轮对地面的滑动摩擦因数为f，则力偶力矩M要使圆轮只滚动而不滑移，必须满足什么条件？，f，解：（1）求加速度的轮中心。 ，在
11.求解刚体平面运动的微分方程f，以及纯滚动的条件： ，即（2）若圆轮对地面的滑动摩擦系数为f碰撞过程的动量矩定理，问必须满足什么条件使圆轮仅转动的力偶矩M 滚动的轮是否滑？，f，例如，质量为W、半径为R的均质圆轮沿倾斜角为 的斜面滚动。 设车轮与斜面之间的摩擦因数为f。 试求（1）轮心加速度； (2)斜面对车轮的约束反力。 ，求解圆轮的平面运动并画出受力图。 根据刚体平面运动微分方程，公式中有四个未知量，必须增加一个附加条件。 (1) 假设圆轮只滚动不滑动，摩擦力为静摩擦力。 ，（2）假设圆轮滚动且打滑，摩擦力为动摩擦力。 车轮的角加速度aaC/R是多少？ ，例如，半径为r、质量为m的均质圆轮，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上来回滚动，如图所示。 假设表面足够粗糙，使得车轮在滚动时不会打滑。 ，求：质心C的运动规律。 ，f，解：根据刚体平面运动微分方程，式中，，有，即f，其解为，令，运动方程为，假设当我们得到时，积分常数由初始条件决定。 ，时间到了，所以作业： 11-1, 4, 7 11-11, 17, 19, 23,
