《物理竞赛初学微积分（导数积分）--ppt讲义.ppt》由会员分享，可在线阅读。 “请到163图书馆搜索。
1. 微积分初阶导论 微积分初阶 函数求导和微分函数求导和微分函数的不定积分和定积分 函数的不定积分和定积分 1 函数、导数和微分函数、导数和微分 1. 变量和常量和函数 1.变量、常量和函数 变量： 变量：在一定过程中取值并在一定过程中连续变化的量。 数量。 ：常数：在一定过程中取值并在一定过程中保持不变的量。 数量。 功能： 作用：变量变量y按照一定的关系与变量x按照一定的关系变化，则称为变化，y称为x的函数的函数，x称为x 的函数。 变量，称为自变量，y称为因变量，称为因变量，写法：写法：y=f(x) 例：例：y=3x2+2x, y=5sinx, y=ax, y
2. =e2x 复合函数： 复合函数：如果 y 是一个函数 y=f(z)，它是 z 的函数，并且 z 是一个函数 z=g(x)，它也是 x 的函数，那么它是则称 y 是 x 的复合函数，记为： y=(x)=fg(x) 的复合函数 例： 例： y=sin(ax2+bx+c)， y=esin(2x +3) 2. 函数的求导 2. 函数的求导 xyxyy=f(x)xx+x 假设一个函数 令函数 y=f(x) 的增量为 x在x处，对应的函数有一个增量，对应的函数有一个增量y，然后是比率，然后是比率）（）（调用的函数称为函数y=f(x)之间的平均变化率x 和 x+x 。
3、im) （函数 y=f(x) 在 x 处的行列式定义为： 处的行列式定义为： 示例：查找函数 示例：查找函数 y=x2 在 x=1 和 x= 处的值3处的行列式的值。 解： 解： 你有) () () (所以当x=1, 当, y=2, 当, 当x=3, , y== f(x)xx+xPQ 行列式的几何意义： 行列式的几何意义：由图可知，由图可知，y/x是通过P、Q两点的割线的斜率，当两点割线的斜率，当x0时，割线就废弃了，割线变成了经过点P的切线，因为有点的切线，所以行列式和行列式y=f (x) 代表曲线
4.该线代表曲线在x处的切线斜率的斜率。 函数函数y=f(x)在某处的行列式的值表示在某处的行列式的值，表示该点切线的斜率，即函数的斜率该点的切线，也是函数 y=f(x) 与 x 在该点的变化率。 变化率。 基本函数求导公式 基本函数求导公式 21)1()()1()()11(,)1()()11(,)1()()(ln)()(ln)ln( )( )(秒)(sin)()(sin)()(,0)(
5、常数行列式的基本运算规则：行列式的基本运算规则： (set (set u=u(x), v=v(x)) then if 的反函数和反函数的个数，则 For if it是时间常数), (), () () () () () (,) (,) (;) () (102个例子 例1：求：求行列式 y=x3lnx 的行列式解) ln (例2 求y=sinx/x的行列式解cos的二阶行列式和高阶行列式的行列式解 前述函数的求导是 前述函数的求导是对 y
6、对于x的一阶导数，如果对1取一阶导数，如果一阶导数的行列式y再对x求导，则为二阶行列式：导数是二阶行列式:)（同样，二阶导数也是一样，二阶导数是三阶导数，三阶导数是三阶导数，而三阶导数是四阶导数等。导数的行列式是四阶导数等。例如求 y=x3+3x2 3 的二阶行列式的二阶行列式. 函数的极值 3. 函数的极值 如果函数 y= f(x) 在某一点，则函数值在某一点 x1 的函数值 f(x1) 较大或小于相邻点的函数值，则称该值大或小，则称x1为极值点，极值点，f(x1)
7. 其中一个函数是该函数的极值。 图中的极值。 图中，x1和x3为最大值点，即最大值点，x2为最小值点，即最小值点，f(x1)和f(x3)为最大值，即最大值点value ，f(x2) 是最小值。 是最小值。极值点处的切线一定是水平的，所以极值点极值点处的切线一定是水平的，所以极值点的判断条件为：判断条件为：f(x )=0 最大值点 最大值点的条件为： 最大值点的条件为： f(x)=0， f(x)0 的最小值点的条件为：最小值点为：f(x)=0, f(x) ) 0 求函数的例子 求函数的极值点 y=4x3-3x2+5 以及极值点和极值的极值点值解： 因为解： 因为 y=12x2-6x 让 y=0 得到
8. x1=0、x2=1/2 是两个极值点。 这是它的两个极值点。而y=24x-6，有y(x1)=-60，y(x2)=60，所以x1=0就是最大值点物理高阶竞赛公式，对应的最大值就是最大值点，对应的极值 最大值为y1=5x2=1/2为最小值点，对应的最小值为最小值点，对应的最小值为y2=19/4 4.函数微分4函数微分示例求函数示例求函数y=5x+sinx的微分的微分)cos()sin()(55函数函数y对自变量的行列式对自变量的行列式变量x)(dx可以看成是自变量，看成自变量x趋于零的小增量，自变量x趋于零的小增量
9、小增量称为自变量的微分称为自变量的微分； 以及相应的遗嘱； 而对应的dy则看成函数y的一个小增量，称为小增量，称为函数的微分。 功能区分。 是：是：） (22 不定积分 不定积分 1.原函数 1.原函数 在上一节中，我学习了求函数。在上一节中，我学习了求函数 y=f(x) 的行列式. , 现在如果已知函数-函数 F(x) 的行列式是 f(x), 则要求原函数原函数 F(x) 例如导致 (x3)=3x2 , 所以 x3 是3x2的原函数的原函数(sinx)=cosx，sinx是cosx的原函数函数F(x)=F(x)+c，c
10. 对于任意常数，对于任意常数，函数 f(x) 存在任意多个原函数： 存在任意多个原函数： F(x)+c 2. 不定积分 2. 不定积分的定义： 定义：函数f(x)的所有原函数的所有原函数F(x)+c称为f(x)的不定积分。 积分的性质:)()()()(这说明不定积分是导数的逆运算。这说明不定积分是导数的逆运算。不定积分公式： 不定积分公式：
11. 不定积分算法： 不定积分算法： dxxkf)()()()(.,)()(.21 用于正则计数 3. 如果你能找到函数 u=u (x) , make, make) () (和积分和积分) () (比较容易找到，则：比较容易找到，然后:) () () (例1求xdx1解：make 解：make u= 1+x，由微分得到： 由微分得到：du=dx，有：，有：例2求dxbax）sin（解：阶解：阶u=ax+
12、b、从微分得到： 从微分得到：du=adx、have:、have:) cos() sin(111 示例 解法示例 3： 作解：使 u=x2+1、从微分得到： 从微分：du= 2xdx，have：，have：/）（示例示例4求）cos（33解：顺序解：使u=e3x，微分得到：微分得到：du=，have：，have：） sin() cos( 3 定积分和定积分函数 设函数 y=f(x) 在闭区间 a 和 b 上连续，连接区间
13、继续，将区间a和b均分为n等分，每个新村之间的间隔相等，每个新村之间的间隔为x，在每个新村中选取一个点，在每个新村中选取一个点xi 在该导出函数的值点处导出值 f(xi)(i=1,2,3,n)=f(x)f(xi)x。 : 定义 :)()(lim10 是函数 f(x) 在区间 a 和 b 上的定积分。f(x) 是被积函数，函数 a、b 分别是积分下限和上限limit。分别为积分的下限和上限。定积分的几何意义： 定积分的几何意义：abxyy=f(x)f(xi)x 从图中可以看出，f(xi )x 是图中的 1
14、图中一个新村就是一个新村之间的面积，所以定积分：之间的面积物理高阶竞赛公式，所以定积分:)（说明区间代表区间a，b，上面，上面，曲线曲线下方 y=f(x) 面积 下方面积 注：注：定积分的值可以是正数，也可以是负数，所以这不是一般意义上的，定积分的值可以是正数且为负，所以这不是一般意义上的面积。定义下的面积。主要性质： 定积分的主要性质： dxxf)()(.)()()()(.)()(.) ()(.4321 定积分估计（牛顿-莱布尼茨公式） 定积分估计（牛顿-莱布尼茨公式） 如果不定积分 如果不定积分 c
15.)()(那么定积分就是定积分)()()()(从这里可以看出：求一个函数的定积分，一般是先求它的不定积分积分（原函数不定积分（原函数F(x)），然后求），再求F(b)-F(a)例1求解：令解：令u=x2+1 、微分得到：微分得到：du=2xdx、have:、have:)ln(ln)ln()ln(ln例2求302/解：作解：使u=cosx、得到微分：得到微分：du= - sinx)(/=x2y=4-x2AB例3 从曲线中求曲线y=x2和曲线与曲线y=4-x2围成的面积。所围成的面积。解：先求两者的交点曲线解：先求两条曲线的交点A、B的x坐标为坐标： 从定积分的几何意义来看：)()()(