使用自然坐标系来处理约束粒子动力学是学术数学中的常见类型。 此类问题通常与二坐标法结合使用。 自然坐标系用于描述力，笛卡尔坐标系用于描述被约束体的几何形状。 （如程守柱的《普通化学》[2]）占主要内容。 这类题对于开阔中学生的视野、练习多种语言工具的使用、加深基于牛顿定律解决问题的理解非常有益。 然而目前的情况是，几乎所有的例子和练习都回避了其中的摩擦力——“‘界面光滑’、‘滑动摩擦素数为零’……等等”必须出现在问题设置中。 原因是考虑摩擦后，由于约束的影响摩擦力定义及产生条件，热方程会转化为一组耦合的非线性多项式群，而几何激励的介入会使形状变得复杂且难以求解。 情况就避免了。 但笔者认为这种做法并不妥当，因为“摩擦”作为一种共同的力量，从小学起就一直是中学生学习和讨论的重点对象之一。 对于这样一个熟悉的领域，相关问题已经多次成功解决。 不能一味回避，否则只会击碎中学生的信心，形成对化学理论的不信任感，这对今后的教学无疑是十分不利的。 本文就这个问题展开展开，抛砖引玉，希望能得到同行们更多更好的意见和建议。 经过分析，作者认为只要考虑约束体的几何特性，针对此类问题进行一些巧妙的改变，就可以将方程以简单的方式线性化，且不偏离中间的实际情况。学校学生。
1 理论推导 1.1 典型问题
（此摘自周彦白的《理论热度》[1]，为方便估算，参数略有改动）
光滑的绳子呈抛物线形状，可表示为
在绳子上放一个小环（假设小环与绳子的接触面极小且光滑，相对滑动过程中不会发生旋转或振动，因此可以视为质点）。将小环放在B点（坐标（2,2））处，松开静止状态，让小环滑动到A点
速度和绳子的斥力（所有单位均为 SI 单位）。 这是一个典型的带约束的粒子动力学问题。 对于受力分析，滑动过程中小环所受的力为重力和钢索的约束力（沿钢索法线方向）（因为钢索光滑，接触面不会形成摩擦） 。 因此：G+N=ma
在绳子上构建自然坐标系，如图1所示，以小环的滑动方向为切线方向（保证投影速度时速度的值始终为正），投影动态多项式在自然坐标系中作为 方法：
可见，切线方程可以直接通过分离变量来求解，其本质是无摩擦系统的机械能守恒，因此很容易求解： vA
将这个结果代入正规方程，可以得到绳子对小环的束缚力：
这个问题之所以容易解决，是因为两个方向之间没有耦合，这说明微分方程的性质是线性的，是一种可以直接分离变量并进行积分的方法。 这是当前大学数学教学中常见给中学生的练习（和例子）。 在此基础上的问题变体基本上可以分为三类：（1）绳索向上张开，从顶点给小环一个冲击，得到初速度，讨论后的运动情况； （2）转化为半约束 例如，在程守柱的《普通化学》[2]中，由于这类问题涉及到一些特殊点，所以常常将其作为代数方程来讨论； (3) 改变曲线的形状，在这些情况下，除了特定的处理之外，一些几何形状没有触发以外的真正改变。 但一旦去掉“平滑”这个特殊条件，情况就变得困难了：
力分析必须考虑摩擦部分，所以牛顿第二定理变为：G+N+f=ma，同样投影到自然坐标系中，我们得到：
其中，由于绳索的形状被描述为一个连续可导的函数，将与小环的接触面视为一个小平面，因此滑动摩擦力沿与切线相反的方向（与速度相反）。 的正压力 和 满足简单的关系：
因此：
代入式(1)可得
v2项的引入使得切线多项式的性质变得非线性，而切线的两个角热阻的介入也使得多项式无法直接分离变量。 同时，必须考虑与绳索形状相关的曲率直径项，这使得直观上无法给出上述多项式解析解。 作者经过分析认为，这个问题的关键在于求解v2项，找到一种划分曲率直径复数表示的方法，但基于“大多数类似问题中约束体的形状是”，我们提出了两种沿着不同路径进行的方法：转化为可分离变量进行积分求解和构造标准的一阶线性常系数非齐次微分多项式，以通解的形式给出推论。
1.2 方案一：变量分离
后面会说到，因为中学生在大学化学阶段遇到的问题是在很多约束的情况下是二次的，同时在求解微分多项式方面，当中学生还不够系统地掌握数学工具，总是期望能像大学数学课本上演示的那样，把变量分开，再合并。 为此，我们首先尝试这种运算方法，将证明当约束体为二次曲线时，原切线方程可以通过分离变量转化为解。
注意我们这类问题的目标其实是速度和位置v(x, y)的关系，而不需要去求解v(t), s(t)等函数。这很利于考虑几何量如何划分。 由几何关系可知：tanθ=y′，故
由曲率直径定义：
代入式（4）可得：
(5)
这里重要的方法是修改v2项：
(6)
选择vx作为新变量，将原多项式两边变换为
(7)
请注意，角热阻的增加方向恰好与 s [3] 的增加方向相反（这是切向选择的结果，因为我们希望保持速度本身恒定），因此：
代入，得到
通过点：
(9)
如果 y″>0，则： |y″|=y″
转变是：
那么获取可分离变量的方法：
(10)
考虑到最常见的情况，二次曲线的形状为
bx+c，通过坐标系的平移，可以使其顶点始终在原点，从而去掉一阶项和常数项，得到：
等式（10）变为
(11)
至此，我们已经证明，当约束体为二次曲线时，原切线多项式可以通过分离变量化简为一个解。
积分，得到：
(12)
从约束的几何性质，我们得到：
(13)
1.3 解法二：一阶线性化多项式法
当约束体不再是二次形式，而是具有高阶行列式形式时，如上所述，无法进行直接的变量分离。 但我们仍然不想放弃解析方法而转向数值估计，因此我们希望找到一种具有普遍意义的“线性化方法”。 （省略与法则1推论重叠的部分）来自：
这里的关键步骤是，为了将多项式线性化，需要将速度的平方视为一个新变量，并且为了实现这一点并同时减少复杂的几何热阻，需要一些变形方法用于右侧部分：
例子中坐标系的选择会提示
查看款式
所以摩擦力定义及产生条件，得到：
令 φ=φ(x)=v2 得到
在，
可以看到，我们已经成功地将原来的切向多项式转化为关于 φ(x) 的一阶线性非齐次微分多项式，至此我们有了解决这个问题的通用方法：
首先求解该多项式对应的齐次多项式φ′+P(x)φ=0，得到通解
(17)
然后利用常变分法[3]给出特解：
(18)
常数C0需要由初始条件确定。
2 预计结果
(1) 解法一：以原问题为例，根据实验规律，无润滑情况下钢材表面的摩擦因数在0.1~0.12之间，这里取μ=0.1，与已知条件，可得：
(19)
(2)方案二：
因此
(20)
(3) 对比：
方案一：vA=5.13m/s； 解法二：vA=5.15m/s； 无摩擦：vA=5.42m/s； 可以看出，考虑滑动摩擦后，问题设置中小环到达A点的速度会略有增加。 两种方法数值的差异来自于数值估计和解析估计的具体过程不同，特别是在精度的选择上。 由于相对偏差大于0.3%，符合数学情况。 另外，虽然第二种解法具有普适性，可以用于任意阶行列式的约束，但求解过程中遇到的积分方法一般比较困难。 同样对于二次型，解1可以给出解析解，解2可以给出定式，但积分部分仍然需要数值估计。
（4）为了更清楚地看到绳子上不同位置的摩擦素数和小环速度的影响，以原题为模型，制作3D图像进行显示（摩擦素数范围从 0 到 0.25，见图 2)。
3 分析
(1)方案一的核心思想是：(1)去掉以速度的平方为变量的二次项； （2）想办法将多项式左边的部分（即力表示的部分）和变形部分拆分合并，成为可分解因子的状态——这里的具体方法是利用轨迹约束作为桥梁，然后用水平速度分量代替速度； (3)利用曲线二阶行列式为常数的特点完成变量的分离。 通过证明过程，我们发现这类问题的根源可以做成单独的变量：滑动摩擦力与法向压力呈线性关系。 因此，本文的证明部分具有普适性。 同时需要注意的是，证明过程中并不要求滑动摩擦素数为常数，这意味着即使是变摩擦素数系（仅指随空间维数变化）也可以已解决，但可以通过公式：
可见，只要摩擦素数与坐标μ(x)的关系是幂函数，求解就很容易。
(2)关于y″，前面的演示过程是针对问题设置中y″>0的情况，此时可以开启绝对值数。 而当y″s增加时保持一致，所以上面推论中的v=
的减号应该被去掉，所以原来的公式就变成：
变量分离仍然是可能的：
这里非常需要注意的是，当绝对值符号打开时，必须考虑距离增量和角热阻增量的方向一致，可以通过消除两边的负号来解决前面的方程，否则很难进行因子分解。
（3）第二种解法的核心思想是：将原多项式变换为一阶线性非齐次常微分方程。 主要方法： (1)考虑变量关系，将关于s(t)的二阶非线性常微分方程分组为关于v(t)的一阶多项式； （2）以速度的平方为变量，去掉二次项。 （3）借助轨道的几何特性，找到几个变量之间的约束关系，进行一般划分； (4)借助物理学中处理一阶线性常微分多项式的成熟方法——常变分法来求解。 而这种方法是中学生在高等物理中已经掌握的一项基本技能。 这样的估计会大大提高他们解决问题的信心，并从中获得自我肯定。
(4)从图2可以看出，当绳索光滑时，小环的下降速度随着高度的增加单调减小，这符合机械能守恒原理； 但考虑摩擦后，小环的速度因能量损失而增大，势不再单调，而是出现拐点，从图2大致可以看出：当摩擦系数μ达到0.1时，拐点出现点出现在 x=0.75 附近； 并且随着μ的减小，拐点的方向变化也减小。 整体来看，拐点在3D图像上的分布呈近直线状（曲率较小）。
4 结语
针对“大学数学课程中带绳约束的粒子动力学问题没有考虑滑动摩擦的影响”的现状，分析了造成这种情况的原因：多项式的非线性特性导致求解困难。 对此，本文提出两种解决方案：变量分离和多项式线性化。 通过论证表明，当约束体为开口向下的二次曲线时，原切线方程可转化为分离变量的解。 二次曲线是一种常见的情况，这使得这种治疗方法不具有普遍性但仍然很重要； 然后，对于普通约束体的情况，指出只要约束体满足连续求导的物理特性，就可以通过变量代入对多项式进行简单线性化，从而引入一阶线性非齐次普通微分方程，并给出解的积分表达式。 最后，以一个典型话题为例，讨论摩擦的具体影响。
参考
[1] 周彦波． 理论热学教程[M]． 第 3 版。 南京：高等教育出版社，2013：30-31。
[2]程守柱，蒋志勇。 普通化学[M]． 第 6 版。 上海：高等教育出版社，2005：47。
[3] 马长展． 《自然坐标系中的符号规则》一文的不同含义[J]. 大学数学，2000(3)：9-11。
[4]复旦大学物理系． 高等物理（第二部分）[M]． 第 4 版。 南京：高等教育出版社，1996，12：342-343。
基金项目：重庆师范大学2018年教学科研改革项目（Mnu-）。
作者简介：何健，讲师，主要从事数学教学和科研工作，研究方向为光学和大学数学教学论。
引用格式：何健. 曲线约束摩擦率问题的求解[J]． 化学与工程, 2019, 29(3): 47-51.
结尾