译者：李伯民、王军、张怀勇
介绍
伟大的思想家恩格斯曾精辟地强调：“在所有的理论成就中，可能没有什么能像17世纪下半叶微积分的发明那样被视为人类精神的最高胜利了。” 20 世纪最著名的物理学家之一冯·诺伊曼说：“微积分是现代语言的最高成就，其重要性怎么强调都不为过。”
微积分的思想可以追溯到古代唐代。 从2000多年前到中世纪，东西方的人们一直在尝试用一定的划分策略来解决估算面积、求切线等问题。 而且，这些方法必须面临如何划分、划分到什么程度的问题，即“无限小”的数量和“极限”过程的问题，这是人们后来才意识到的。 人过了很久，终究无法有所突破。 最后，牛顿和莱布尼茨两位先驱在前人的工作基础上形成了微分和积分的方法，但发现它们是一种对立统一的方式（这些对立统一体现在“基本定律”中"微积分学），后经伯努利兄弟和欧拉改进、扩展和推广，上升到解剖学的高度。 由于缺乏可靠的基础，早期的微积分很快陷入了深深的危机。 立即走上历史舞台的物理学大师柯西、黎曼、刘维尔和魏尔斯特拉斯挽救了危机，赋予了微积分极其严密和精确。 然而，随着应用的扩展和进步，各种复杂而晦涩的问题相继出现，造成分析领域的混乱，使微积分再次陷入危机。 物理学家这才意识到，严谨和准确似乎只能解决逻辑推理本身的基本问题，而逻辑推理所依赖的理论基础才是更根本、更难解决的问题。 最后，当现代物理学天才康托尔、沃尔泰拉、贝尔和勒贝格将严密性和精确性与集合论和复杂的实数理论结合起来时，微积分的创建过程就结束了。
本书将在微积分的陡峭历程中发生的重大风波和杰出人物，一一解读在读者面前。 然而，作者的本意不是简单地叙述历史，也不是讲解微积分的知识和描述物理学家的传奇故事，而是阐述微积分创造过程中的思想，厘清坎坷的过程与成功的关系。最后结果。 书中的必然衔接，不仅让读者领略到大师们高不可攀的成就，更让读者感受到他们的辛勤付出。
前言
20世纪杰出的物理学家约翰·冯·诺依曼（John von ，1903-1957）在他对微积分的阐述中写道：微积分是现代物理学的最高成就，其重要性怎么强调都不为过。 在出现三个多世纪后的今天，微积分仍然值得我们赞美。 微积分就像一座桥梁，中学生从基础的初等物理走向具有挑战性的高等物理，但面临着令人眼花缭乱的转变，从有限到无限，从离散到连续，从庸俗的幻想到深刻的本质。 所以在英语中，这个词后面一般都会诚意加上定代词“the”，冯·诺依曼在上面的评价中就是这么做的。 “the”（微积分）的标题类似于“”（定理），“the”用来指代微积分是一门浩瀚、独立和令人钦佩的学科。
与任何重要的智力探究一样，微积分有着丰富多彩的历史和奇异的史前史。 西西里岛锡拉丘兹的阿基米德（大约公元前 287-212 年）使用了当今已知最早的方法之一来求出单个几何图形的面积、体积和表面积。 800多年后，美国物理学家皮埃尔·德·费马（ de ，1601-1665）用一种特别现代的方法确定了曲线切线的斜率和曲线下面积的面积 。 他们和其他许多著名的物理学大师一起将微积分推上了历史舞台。
不过，这不是一本关于物理学先驱的书。 不用说，微积分对昔日物理学家的贡献与现代艺术对过去艺术家的贡献一样多。 而且，像现代艺术博物馆这样的专题博物馆，并不需要一个接一个地使用陈列室来展示对后世有影响的前现代艺术作品。 也就是这样的博物馆展览可以从中期开始。 所以，为了展示微积分的创造历史，我认为也是可以做到的。 为此，我将从两位 17 世纪的学者艾萨克·牛顿 (Isaac ，1642-1727) 和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 ( ) (1646-1716) 谈起，他们对微积分的诞生做出了贡献。 莱布尼茨在 1684 年的一篇论文中首次发表了他的作品，该论文的标题中包含一个拉丁词（一种估计系统），该词后来被用来指代这一新兴的物理学分支。 十多年后第一本教科书出版，微积分（the）的名称在书中确定。
在接下来的六年里，其他几位数学家首先接受了挑战。 在这样的先驱者中，最为杰出的人物是雅各布·伯努利（1654-1705）和约翰·伯努利（1667-1748）三兄弟，以及举世无双的莱昂哈德·欧拉（1707-1783）。 他们的研究成果中有数千页涉及最高品味的物理学，扩展到包括极限、导数、积分、无限序列、无限级数以及许多其他主题。 这个范围广泛的主题的总标题是“分析”。
随着复杂性的降低，关于基本逻辑的难题如潮水般涌来。 虽然微积分功能强大且实用，但它建立在不稳定的基础上。 这让物理学家认识到有必要根据欧几里德几何模型以精确和严格的方式重建这门学科。 如此紧迫的任务是由十九世纪解剖学家奥古斯丁-路易斯柯西（1789-1857）、格奥尔格弗里德里希伯哈德黎曼（1826-1866）、约瑟夫刘威尔（1809-1882）和卡尔维尔斯特拉斯（1815-1897）完成的。 这些数学家以前所未有的热情工作，煞费苦心地定义了所使用的术语，并证明了迄今为止已被物理学界无可争议地接受的结果。
然而，一些问题的解决为其他问题打开了大门——这是科学发展中经常发生的事情。 19世纪下半叶，物理学家利用这种逻辑严密的工具构造了大量独特的例子，他们的理解使解剖学变得前所未有的普遍和具体。 我们借鉴了Georg （1845-1918）和后来的Vito （1860-1940）、René Bell（1874-1932）和Henri （1875）-1941）的集合论，这些趋势在成果中可以清楚地看到到 20 世纪初，解剖学已经浓缩为概念、定义、定理和示例的宝库，并发展成为一种独特的思维方式，确立了自己作为物理学最高体系的地位。
我们将从这个宝库中抽取样本，以检验上述物理学家取得的成果，并以一种忠实于原文同时又能为现代读者理解的形式来解释它们。 我将制定解释微积分一代发展的法则，并表彰其最杰出的天才创造者。 总之，本书是一部解开这段引人入胜的历史的“大法”集。 为此，我只介绍几位有代表性的物理学家的工作。 首先，我想坦白的透露一下：人物的安排是我自己的欣赏倾向决定的。 这本书包括像牛顿、柯西和魏尔斯特拉斯这样的物理学家，他们会出现在任何类似的书中。 其他一些物理学家的选择，比如、和Bell，更多是出于我个人的喜好。 至于其他一些物理学家，比如高斯、博尔查诺、阿贝尔，我不在考虑之列。
同样，我讨论的各个定律对所有物理学文献的读者来说都很熟悉，尽管它们的原始证明对于不精通物理学史的人来说可能是令人毛骨悚然的。 莱布尼茨在 1673 年几乎无人认出的推论“莱布尼茨级数”就是如此，康托尔在 1874 年鲜为人知地首次证明了连续统的不可数性。其他定律实际上在物理学中很常见，很少出现在现代教科书中——这里我指的是处处连续、处处不可微的函数的结果，正如魏尔斯特拉斯所构造的那样，当他在 1872 年将这一结果提交给柏林大学时，在物理学界引起了轰动。 至于我个人的选择，我承认，很奇特。比如书上有欧拉对积分
，无非是为了突出数学家在解剖学上的灰熊。
书中的每一个成果，从牛顿余弦级数的推导，到伽马函数的表达，再到贝尔分类法，都走在了当时研究的前沿。 总的来说，它们记录了解剖学随时间的演变，以及参与者在风格和内容上的变化。 这些演变之所以引人注目，是因为 1904 年勒贝格定律与 1690 年莱布尼兹定律之间的差异可以比作现代文学与日本古典英雄史诗贝奥武夫之间的差异。 不同之处。 尽管如此，我一直认为，至关重要的是每部法律都展现出值得我们关注甚至赞美的独创性。 自然而然地，准备通过考察几条规律来描述解剖学的特征，就像试图通过收集几滴雨滴来描述一场暴雨的特征，所表达的思想是不可能全面的。 为了承担这样的任务，作者必须采用适合个人的约束作为指导方针。
我的原则之一是避免过度完成并写一本描述解剖学发展的综合历史书。 无论如何，这是一项过于雄心勃勃的任务，尽管已经出版了许多解释微积分发展的专着。 我最喜欢的一些书在文中明确提到，或者作为参考资料包含在内。 第二个标准是排除多元微积分和复分析。 这样做其实是一个令人遗憾的选择，但我相信这是正确的选择。 基于此，本书的内容被放在了一定的可控范围内，从而增加了表达的连贯性。 这种限制也最大限度地降低了对读者背景的要求，因为一本只讨论一元实分析的书将有最广泛的读者理解它。
这就提出了先验知识的问题。 我为本书的目标读者提供了许多技术细节，因此只需要基本的物理学知识就可以理解书中的定律。 一些早期的结果需要读者坚持阅读不止一页的代数运算。 至于后期的个别结果，就需要纯具体的判断能力了。 总的来说，我不会向数学上无畏的人推荐这本书。 同时，为了做到简明扼要，我采用了比较随意的写法，这与同标准的教材有所不同。 我的初衷是让那些或多或少有中文学术水平的读者，或者那些没有被无处不在的积分或符号所困的读者更容易读懂这本书。 我的目标是拥有足够的先验知识来理解所讨论的主题，而不是更少。 如果不这样做，内容就会变得乏味，并且难以实现我的更大目标。
所以这首先不是物理学家的传记，也不是微积分的历史，也不是教科书。 事实上，虽然在这本书中我有时会介绍传记材料，有时会介绍一个主题与另一个主题之间联系的历史，有时会以教科书的形式介绍新的（或被遗忘已久的）概念，但我仍然想强调这一点。 然而，我最初的动机很简单：与读者分享从丰富的解剖学历史中获得的一些深受喜爱的个人成果。
与此同时，这让我想到了最后一点。 大多数学科都有研究杰出先驱的主要专着的传统，在他们的领域中被称为“大师”的杰出人物。 学习文学的中学生需要阅读作家和戏剧家莎士比亚的作品； 学习音乐的中学生需要听作词家巴赫的作品。 但在物理学中，这样的传统即使不是完全没有，也是极为罕见的。 本书旨在改变这些情况。 但是，我不会把它写成一部微积分史，而是要把它作为微积分壮丽图景的展示。 为此，我收集了一些杰作，只是它们不是伦勃朗或梵高的版画，而是欧拉或黎曼证明的定律。 这样的画廊似乎有一些特别之处，它的目标与任何有价值的博物馆的目标相同：成为一个优秀的知识宝库。
与任何陈列室一样，该陈列室的藏品始终存在缺口。 也像任何陈列室一样，这个陈列室不可能有足够的空间来展示一个人想要展示的所有收藏品。 尽管有此限制，但当访客离开时，他必须感谢这些天才。 同时，行走于展品间的人，将从极致的解剖体验到物理学中最难的想象。
第一章牛顿
艾萨克·牛顿不仅是物理学的先驱，也是整个西方思想史上举足轻重的人物。 他出生时，科学还没有确立中世纪迷信的至高无上地位，而到他去世时，理性时代已经进入全盛时期。 这种不寻常的转变部分归功于他的贡献。
作为一名物理学家高中牛顿第一定律教学反思，牛顿被认为是微积分的创始人，或者他称之为“流注解”的东西。 微积分的起源可以追溯到 1660 年代中期，当时牛顿还是剑桥大学三一学院的学生。 在那里，牛顿致力于研究勒内·笛卡尔 (René ) (1596-1650)、约翰·沃利斯 (John ) (1616-1703) 和艾萨克·巴罗 (Isaac ) (1630-1677)，三位一体的第一位卢卡斯物理学家 这些都是先驱们的论文，很快他发现自己踏入无人涉足的领域。 在随后的几年里，牛顿永远地改变了物理学的面貌，传记作者将他的岁月描述为一段“光芒四射的活动”。 到 1669 年，巴罗本人将他的继任者和朋友描述为“我们学院的一位同学，非常年轻……但具有非凡的天赋和能力”。
在本章中，我们将考察牛顿的一些早期成就：将单个表达式转换为无穷级数的广义二项式展开、求无穷级数的倒数的方法以及确定曲线求积法则下的面积的方法。 最后我们介绍一个令人惊讶的结果，一个角的余弦的级数展开。 对二项式展开的最早描述出现在他回应莱布尼茨询问的“前书信”中，距他最初的工作已经很久了。 本章的其余材料来自牛顿 1669 年的论文，使用无限多项式方程的解剖学，通常简称为分析。
尽管本章仅限于讨论牛顿的早期工作，但必须强调的是，牛顿的“早期工作”几乎总是超越任何其他人的考虑工作。
广义二项式展开
到 1665 年，牛顿发现了一种将二项式展开（他称之为“缩减”）成级数的简单方法。 对他来说，这些点不仅是用另一种方式重构二项式的手段，也是通往六格缪的大门。 这个二项式定律是牛顿许多物理发明的起点。
其中A、B、C、……分别代表前一项，下面我们举例说明。 这就是著名的牛顿二项式展开，尽管这些方法实际上很新颖。
牛顿得到
牛顿将这些简化称为从平方根到无限小数的转换，但他特意称赞了这种操作的实用性。 他在 1671 年写道： 这是形成无限级数的便捷方法，其中所有复数项。 这将消除这些困难，这些困难在最初的形式下似乎几乎无法克服。
事实上，将物理学家从无法逾越的困境中解放出来是一项值得的努力。
牛顿通过对级数进行平方并检查结果来“测试”像 (3) 这样的扩展。如果我们这样做，但限制所取项目的数量不超过 x^8，我们得到
牛顿将这样的估计作为他普遍性的令人信服的证据。 他总结说，“虽然我们凡人的推理能力非常有限，但我们既不能表达也不能想象这些方程式的所有项，就像我们很难确切知道这些量从何而来一样”，并且“可以使用等式的有限项。通常“解析”概括为这样的无限项表达式。
反序列
在描述中，个体二项式一般分为如下形式
在z的无限级数之后，牛顿进一步找到了通过z的项将x表示为级数的方法。 用现代术语来说，他正在寻找逆序列关系。 由此产生的方法对代数没有明显的影响，但正如我们稍后将看到的，我们专注于它是正确的。 和牛顿一样，我们用一个特例来描述反级数的过程。
将上述公式展开并重新排列后，我们得到
下一步舍去p的2次方、3次方及更高次方项高中牛顿第一定律教学反思，再求解得到
尽管有耐心的牛顿可以（几乎）无限期地继续这样的估计。 最后，牛顿很乐意回去考虑结果，寻找一些通常的表达方式。 牛顿这样说：“让调查留在这里，顺便强调一下，当第五或第六......已知时，如果你愿意，通常可以观察过程的相似性推论是随你喜欢。”
到目前为止讨论的方法（广义二项式展开和逆序列）将成为牛顿手中的强大工具。 但在我们真正判断大师的作品之前，还有最后一个必备条件。
《解析》中的面积计算法则
在1669年写的《分析》一书中，牛顿承诺解释求面积的方法，“我很早就发明了通过无限项级数估计曲线下面积的方法”。 这不是牛顿第一次提到他发明的流量数，他在 1666 年 10 月写的一本小地图集《流量数简述》中也说过同样的话。 《分析学》修订了那本小书，揭示了成熟思想家的超人智慧。 当代学者发现了一个独特的现象：神秘的牛顿并没有向公众公开这份手稿，除了少数幸运的朋友。 手稿直到 1711 年才发表，当时许多结果已经被其他人发表。 尽管如此，较早的写作日期和杰出的作者证明这本书“可能是所有牛顿物理学论文中最令人钦佩的”。
本书以求“简单曲线的面积”三大定律的命题开篇。 在17世纪，俄语中()的意思是求面积，所以这三个规则就是求积分的规则。
直到分析的结尾，牛顿几乎是事后才注意到，“细心的读者”会希望看到定律 1 的证明。 3 总是不乏关注的读者，所以我们把他的下面的论点。
至此，他写道：“如果我们假设 Bβ 是一个无限增加和消失的量，或者 o 为零，那么在这些情况下 v 和 y 相等，并且除以 o 的项将消失”。 他得出结论，当 o 变为零时，等式（8）中所有包含 o 的项也变为零。 同时，v等于y，即图1-2中正方形的高BK将等于原曲线的纵坐标BD。通过这些方法，将式(8)转化为进入
现代读者的反应可能是，“别这么快，艾萨克！” 当牛顿用 o 作为约数时，o 肯定不等于零。 一段时间后，o 变为零。 总之，这里有一个隐患。 此后一个多世纪以来，这些零到非零的对应关系一直困扰着分析师。 这个问题将在本书前面部分详细讨论。
这是一个非常扭曲的逻辑。 从曲线下的面积积分 z 导入 y 的多项式，牛顿得出结论，这些关系也存在于相反的方向。
这样的争论给我们留下了一种脱节的感觉，因为它包含了很大的逻辑漏洞。 's 的编辑 Derek 恰如其分地将这种面积证明描述为“一种极其难以理解的流动几何学方法”。 另一方面，记住这个起源很重要。 牛顿在漫长的微积分创立之初就给出了第一定律的证明。 在他的时代，证明是开创性的，但他的推论是正确的。 在他的评论中，“然而，简而言之，分析确实展示了流程方法的整体范围和力量”，这似乎是正确的。
不管现在的测量结果如何，当年的牛顿都非常满意。 牛顿在《分析》中没有给出证明的另外两条定律如下：
规则2 由简单曲线构成的复杂曲线的面积：如果y的值是由几项组成的，那么它的面积等于每一项的面积之和。
Law 3 Area of all other ：如果y的值或者它的任何一项比上面的曲线更复杂，那么它必须被分解成更简单的项...，然后应用上面的两个定律，得到想要的曲线可以获得区域。
牛顿第二定律指出有限项之和的积分等于其积分之和。 他用两个反例来说明这个定律。 第三条规则断言，当遇到更复杂的表达式时，必须先将其“简化”成一个无穷级数，然后使用第一条规则对级数的每一项进行积分，然后将结果求和。 最后一条规则是一个有吸引力的提议。 相反，它是牛顿得出物理学重大成果所需的最后一个先决条件：角度余弦的无穷级数。 “分析”中的这条重要定律是本章最有趣的主题。
牛顿余弦级数推导
考虑图 1-3 中以原点为中心且直径等于 1 的圆的四分之一。 和以前一样，令 AB=x，BD=y。 牛顿的第一个目标是找到圆弧宽度 αD 的表达式。
图 1-3
牛顿的余弦和正弦级数 (1669)
对我们来说，这些推论圈出的圈子似乎深不可测。 我们现在认为余弦级数只不过是泰勒公式和微积分的一个微不足道的结果。 所以我们自然而然地认为它一直都是那么简单。 而且，正如我们所见，牛顿费了很大的劲才到达那里。 他用积分法代替了微分法； 他从（我们认为）偶然的反余弦级数中形成了余弦级数； 同时，他需要使用他提出的复杂逆过程方案来完成所有推导。
这段历史提醒我们，物理学并不是按照今天教科书所教授的形式发展的。 相反，它是在意想不到的惊喜中断断续续发展起来的。 事实上，它很有趣，因为当历史突然变得有意义、美丽和出人意料时，它会令人着迷。 提到超出预期的话题，让我们在该段中为Derek 的测量添加一句话。 看来牛顿并不是第一个发现余弦级数的人。 美国物理学家尼拉坎塔（，1445-1545）在公元 1545 年描述了这个系列，但将其归于年长的大师典韦（生活在公元 1400 年左右）。 在参考文献 4 和 5 中可以找到关于这一发现和美国物理学优良传统的记述。当然，在牛顿活跃的时候，法国还不知道这一成就。
我们以两点评论来结束本章。 首先，牛顿的《分析》是真正的物理学经典，任何对微积分课程感兴趣的人都应该阅读。 它提供了对历史上最具创造力的思想家之一智力发展最早阶段的一瞥。 第二，从今天的角度来看，一场轰轰烈烈的革命已经开始。 年轻的牛顿以其超越时代的专业能力和洞察力将无穷级数和流数法结合起来，将物理学前沿推向了几个新的发展方向。 与他同时代的詹姆斯·格雷戈里（James ，1638-1675 年）评论说，过去的基本方式与建立相同联系的新方式之比，就像“黎明的晨光与正午的太阳”一样。 正如我们将在前面的章节中多次看到的那样，这些对格雷戈里令人陶醉的描述是恰当的。 同时，第一个走上这条激动人心道路的人是牛顿，他不愧为“才华横溢的人”。