在画受力图时，中学生常常执著于判断力的指向，这是因在高中这个记忆力黄金阶段就学习了力的3要素(大小、方向和作用点)，随后经小学数学和学院数学的反复强化，力的方向意识已然根深蒂固了。但随着剖析对象复杂，判定力的方向显得很困难，尤其是磨擦力的指向。磨擦力在教学中是一种很典型的力，它在中学数学中即有介绍，且在日常生活中经常地会接触到，并且对静磨擦力指向的确定，中学生总觉得是个很富于挑战性的困局。虽然教材提供了判据：静磨擦力的指向与相对运动趋势相反，但这个判据并不好用，由于运动的“趋势”很难由示意图的几何信息判定下来。实际上，对化学课程常用的例题和习题进行梳理(不管是小学数学、高中数学，还是学院化学)，可发觉它们大多为质点模型，且受力相对简单，例如图1(a)这样的事例。对这种简单事例，“运动趋势”的判定常常都是由剖析主动力的信息来完成的。
图1静磨擦力的典型例题
对于比较复杂的问题剖析，中学生也经常试图在画受力图时就弄清楚静磨擦力的指向，但是此时用主动力的信息来判定“运动趋势”变得很困难，这是由于：(1)复杂问题中有质心(不再是质点)，且主动力可能会很复杂(例如图1(b));(2)有时质心上的“主动力”也是待定的(例如图1(c))，待定值的大小会影响磨擦力的指向;(3)研究对象发生质心平面运动(图1(d));(4)物体的“总体运动”与接触面的相对运动可以不一致，例如图1(d)中纯滚动的轮子，轮心有运动，但轮子与地面接触点的速率为零，加速度垂直于公切线(但仍然是静磨擦力，不是“滚动磨擦力”)。上述诸诱因促使静磨擦力指向更无法预先判断。
虽然，除了是中学生，老师也同样有“静磨擦力指向”的苦恼，因此提出了众多判据[1-8]。有些判据试图只使用主动力的信息。这就还存在这样一个问题：静磨擦力的指向可由主动力信息惟一确定吗？
对于动力学情形，本文将展示主动力信息不足以惟一确定静磨擦力的指向。换句话说，想找出这样的普适判据是徒劳的：仅借助主动力信息判定静磨擦力的指向。只有在个别特殊条件下，能够由主动力信息判别出静磨擦力的指向。刘涛等曾提出一个磨擦力指向的判据[10]，本文还将论证这个判据的合理智。
1平衡情形
图2(a)的质心遭到主动力、摩擦力和支持力而保持平衡。不管主动力怎么复杂，都可以向接触点A简化，简化结果为主矢
和主矩MR(见图2(b))。由于磨擦力、支持力和
均通过A点，故而平衡必然要求MR=0。假如磨擦力和支持力合在一起称作全约束力FR，它就与
大小相等，指向相反。把FR沿切线和法线分解得到磨擦力Fs和支持力FN(见图2(c))。此种情形下Fs的指向由主动力信息惟一确定。
图2平衡情形的磨擦力剖析
对图1(a)这样简单的情形，磨擦力的指向可以依据该图中的F直接判定下来。对于主动力很复杂的情形，非常是像图1(c)这些含“待定主动力”的情形，在画受力图时就试图找到磨擦力的“正确”指向，除了很困难，但是“正确”指向也有可能随待定主动力的取值而变化。
上述陈述中“正确”加了冒号，虽然更准确的叙述是“正值”，即正的数值。力是矢量，它有大小和方向两个属性。在常规语境下，几何“大小”不取负值，因而：磨擦力的“正确”指向，习惯上就是磨擦力大小为“正的数值”所对应的指向。假如容许力的大小可以取“负的数值”，这么就无需苦恼于“正值”指向了。在画受力图时，只要把力的作用线画对即可，受力图上箭头示意的力指向则从作用线的两个指向中随意选择一个即可。下边以平面力系平衡问题为例，阐述这样做的合理智。
平面力系向一点简化得到主矢
和主矩M。不失通常性，主矢
可写成Fx和Fy两个份量。其实M、Fx和Fy都是磨擦力Fs的函数，即M(Fs)、Fx(Fs)和Fy(Fs)。平衡多项式为
Fx(Fs)=0,Fy(Fs)=0,M(Fs)=0
(1)
假如将受力图上的磨擦力箭头指向反一下，则主矩和主矢的3个份量变为M(-Fs)、Fx(-Fs)和Fy(-Fs)。此时平衡的充要条件为
Fy(-Fs)=0,Fx(-Fs)=0,M(-Fs)=0
(2)
假定Fs=ξ是多项式(1)的解，这么容易验证Fs=-ξ也是多项式(2)的解。也就是说，静磨擦力指向的反与不反的区别仅仅是静磨擦力数值差个正负号而已。因而，在画受力图时，完全没有必要苦恼于静磨擦力的正值指向。关于受力图中力矢指向的详尽讨论可参考文献[11]。
其实,上述静磨擦力指向的处理也适用于空间力系问题。在物理上，达朗贝尔原理可把动力学问题弄成静力学问题，所以对于动力学问题，静磨擦力的指向也可从作用线的两个方向中任意选一个即可。
其实，就静磨擦力大小的估算而言，它的指向并不是很关键。其实对学习磨擦力概念而言，为了理解磨擦力的化学本质，应该指出“静磨擦力的指向与相对运动趋势相反”这样的判据。
2动力学情形
就圆锥(或圆盘)纯滚动的动力学问题，好多作者对其中的静磨擦力指向进行了讨论[1-8]，但笔者觉得从估算角度,虽然对动力学问题，静磨擦力的指向判定也不是很重要的命题。除了这般，下边还将展示：主动力信息不足以惟一确定静磨擦力的指向。只有在特定条件下，静磨擦力的指向才会被主动力信息惟一确定。
2.1估算静磨擦力
下边讨论较为普适的情形，即图3(a)所示的边沿平滑质心在地面上纯滚动。不失通常性，质心与地面的公切线取图示位置的水平方向。质心所受的全部主动力向其形心C简化得到主矢Fx+Fy和主矩MC，此时质心转动的角速率和角加速度分别为ω和α。Fx的作用线与公法线相交于Q点，刚体C与切点A的连线与公切线倾角为θ，质心的质量为m，绕A的回转直径为ρA。
图3边沿平滑质心的纯滚动的磨擦力剖析
质心上切点A的速率为零，但加速度不是零。依据文献[12,13]获知：A点加速度沿私法向高中摩擦力怎么算，如图3(a)中
所示;
其中ρe为等效曲率直径(相当于：把地面剪短，质心弄成一个圆所对应的直径)高中摩擦力怎么算，它与地面在接触点的曲率直径ρ地和质心在接触点的曲率直径ρ之间的关系为
或则
(3)
采用达朗贝尔原理剖析。因此以A为基点，看动点C有
(4)
相应于上式右端三项，我们加三项惯性集中力，
和
如图3(b)中所示，大小分别为
对α,还要加上MI=JCα(JC为质心绕刚体的转动力矩),转向见图3(b)。
由达朗贝尔原理有
从式(5)可解出
(8)
式(7)可变为
(9)
其中
是主动力系向A点简化的主矩(Fx和Fy移至A点)。
从式(9)解得
再将此α表达式代入式(8)有
(10)
2.2讨论
(1)式(10)中没有出现Fy，即主动力系主矢量的法向份量与静磨擦力大小无关。其实Fy的取值要保证FNA>0，以使质心与地面之间有压力(由式(6)确定)。另外，假如FNA过小，静磨擦力达到最大静磨擦力，质心就可能滑动，因而难以保证纯滚动。下边的讨论，均默认FNA>0且静磨擦力大于最大静磨擦力。
(2)沿法线从A向下找到一点D满足
主动力系向D简化的主矩为
(11)
这样式(10)可写成
(12)
假如把质心看作为绕A做定轴转动(A速率为零，且其加速度沿法线，与定轴转动有类似之处)，则D就是质心的撞击中心。
式(12)表明有两个诱因会影响静磨擦力大小，一是主动力向撞击中心简化的主矩，二是质心转动的角速率，它们分别对应式(12)的第一项和第二项。
(3)在式(12)中，第二项与角速率有关，它与当前时刻的主动力信息无关，因而对动力学问题，当前时刻的主动力信息不足以确定静磨擦力的数值，更不用说正值指向。
一个极端反例如图4所示，质量偏心的圆轮在水平面上纯滚动，力F作用在刚体C上，且其大小仍然等于轮子重力mg。其实两个主动力F和mg互相抵消，即主动力为零力系(主矢为零，且对任意点的主矩为零)，而且Fs不为零，论证如下：轮子作匀角速率纯滚动，轮心O的速率不随时间变化(加速度为零),并且刚体C的加速度
图4主动力信息不足以确定静磨擦力指向
由刚体运动定律有：
它不恒等于零。而主动力为零力系，其实不可能由主动力信息判断静磨擦力的指向。
(4)只有当式(12)的第二项为零，才有可能按照当前时刻的主动力信息确定出静磨擦力大小。这有3种情形：情形A,ω=0；情形
情形
此时，
(13)
也就是：假如主动力系向撞击中心简化的主矩MD为逆秒针，则FsA正值指向向左；而当MD为顺秒针，则FsA正值指向往右。假如MD为零，则静磨擦力为零。
进一步若Fx=0，则相当于质心上主动力为纯质心，此时就不用找撞击中心了。
(5)讨论(4)中的3种情形解释如下。
情形A相当于初瞬时情形，或质心作瞬时平移的情形。
情形B的
它的要求是刚体坐落通过接触点的法线上。此时，可将主动力系向撞击中心简化，得到主动力主矩。静磨擦力对撞击中心的矩要与主动力主矩平衡。据此，可确定静磨擦力的正值指向。
情形B最为常见，好多作者讨论的均质圆锥(或圆盘)纯滚动就属于此类情形。由于有时对力偶加速度更有觉得，故有作者试图借助轮心的切向加速度来判别静磨擦力的指向。可以证明
(14)
其中G为主动力系简化为集中力的作用线与法线的交点(如图5所示；
和
是有方向的；若两者方向相反，则
图5主动力简化为正交的两个集中力
其实用式(14)判定静磨擦力的正值指向，过程并不简明，不如式(13)便捷。
情形C的
比较具象。对地面平直的特例，该情形退化为质心的曲率中心与质心的撞击中心重合。
3一个判据的合理智
刘涛等曾给出下列判据:“只要假定此质心不遭到静磨擦力作用，这么质心上的触点相对于接触面运动的加速度反方向，即为静磨擦力方向”[10]。该准则后来被多人反复提起[5,6],但通常都是针对均质圆轮的定性讨论。对任意形状质心的纯滚动，未见讨论，更未对准则的正确性给与严格的证明。
下边将严格证明上述准则的合理智。
根据这个准则，接触面换成无磨擦的光滑面后，接触点的速率仍然为零。因为地面不会变型，所以运动质心上与接触点重合的那种“质点”轨迹(不是接触切点的几何曲线)在接触点与地面相切，也与质心的边沿相切，又因
故而质心上接触“质点”的法线加速度为0，只有切线加速度
如图6所示。
图6假定光滑模型
以A为基点，C为动点有
(15)
相应于上式右端三项，我们加三项惯性力，
和
(见图6所示)，大小分别为
和
沿x方向有
即得到
(16)
与式(8)两旁相加有
(17)
图6的
和图3(b)的FsA的方向相反，而数值相加非负，故而
与FsA方向一直相反，这就证明了刘涛判据的合理智[10]。几点说明如下。
第一，这个判据使用了“假设光滑”后的接触点切线加速度，不是速率(速率仍然是零)。注意：动滑动磨擦力的指向用相对速率的方向来判断。
第二，“假设光滑”只是把磨擦系数假定为零，而质心的角速率仍与有磨擦的相等。假如试图为了更简化：把角速率也假定成零，这么FsA的指向未必与
的相反。例如图4的模型，“假设光滑”且再假定角速率为零，则切点的加速度将为零(此时质心各点速率和加速度均为零)，其实难以判定静磨擦力的方向。
第三，假如式(12)的第二项为零，则可以不考虑角速率。常常讨论的均质圆轮滚动属于此类情形，即操作中可以忽视角速率的影响。
第四，我们常常对力偶的加速度有觉得。当
(刚体坐落法线上)，可以证明(参考图5)，
(18)
其中
是“假设光滑”后刚体质心加速度的x份量。同样可以看出，由式(18)来判定静磨擦力方向也不简明。
4结语
本文对静磨擦力的指向问题进行了探究，所得要点如下：
(1)不管是静力学，还是动力学，就估算静磨擦力的大小而言，静磨擦力的指向并不是很关键的问题，可在作用线的两个方向中任取一个即可。
(2)对个别动力学问题，主动力的信息不足以惟一确定静磨擦力的指向。
(3)当质心刚体坐落通过接触点的法线上时，可以估算主动力对撞击中心的主动扭力。静磨擦力的正值指向应该使其对撞击中心的矩与主动力扭力平衡。此判据最为简约。
(4)可以假定接触点无磨擦，得到质心上接触“质点”的切向加速度，而原问题的静磨擦力方向就与该切向加速度方向相反。并且“假设光滑”后，接触点的切向加速度估算也不容易。
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引文格式:陈奎孚，姚海蓉，张云文.主动力信息足以确定静磨擦力的指向吗？[J].化学与工程，2018，28(4)：39-44.
