接触剖析的挑战性
接触是在固体热学各个领域中普遍存在的问题。对自然界中许多数学问题的描述都涉及接触现象。诸如零部件装配时的配合，橡胶密封器件的防漏，内胎与地面的互相作用，撞击问题以及压力加工行业的大量成形工艺过程等。
接触过程中两个物体在接触界面上的互相作用是复杂的热学现象，同时也是它们损伤直到失效破坏的重要诱因。从热学剖析角度看，接触是边界条件高度非线性的复杂问题，须要确切追踪接触前多个物体的运动以及接触发生后这种物体之间的互相作用，同时包括正确模拟接触面之间的磨擦行为和可能存在的接触间隙传质。其中极少数的接触问题可以解析处理，绝大多数接触问题只能采用有限元、离散元、边界元等数值方式进行模拟，其中有限元法的应用最为广泛。对接触全过程进行有限元仿真，现今除了可以实现，但是正逐渐成为CAE/CAM的重要组成部份。
在实际工程中，有限元接触剖析的估算结果常常用于对个别设计参数进行优化设计，比如对车胎进行结构优化以增强安全性和寿命。若果采用基于梯度的优化算法，须要得到热学变量（位移、应力、接触反力分布状况等）相对于设计参数（材料、尺寸、形状、拓扑结构等）的变化曲线和相应的敏度（梯度）。对于无磨擦接触情况，现有的有限元接触算法，比如拉氏乘子法、罚函数法等，才能得到足够稳定的敏度数据；并且对于有磨擦接触情况，若果不采取一些特殊的处理，则很难得到稳定的数值结果，梯度的数值一般随荷载和网格的改变而发生剧烈的振荡，不具备可用性。
尽管接触热学和相关的数值方式早已广泛应用于工程开发和科学研究，但对于接触和磨擦的化学机制，目前尚未有完全的理解。
从工程的观点来看，计算机技术和估算方式的发展，使我们才能更精确的剖析接触问题以适应工程须要。对接触问题的仿真和模拟在工程设计的多个方面早已发挥了重要的作用，比如减小锈蚀、降低噪音和提升安全性等。
但从科研的观点来看，现有的接触数值算法流程过分复杂，须要花费大量的显存空间和估算时间，通常经过反复的校核、修正才有可能得到符合实际情况的估算结果。迄今为止摩擦力和接触面积有关系吗，对于带磨擦的接触剖析，当前各类商用有限元软件常常不能给出精确可靠的结果。开发稳定、高效、健壮的接触算法依然是一个急待解决的问题。
以上挑战性除了来自接触过程中复杂的变型和受力状况，更主要的缘由是接触界面的边界条件非线性。
接触界面的非线性来始于两个方面：
(1)接触界面事先未知。接触界面的区域大小和互相位置以及接触状态除了事先都是未知的，并且是随时间变化的，须要在求解过程中确定。
(2)接触条件的非线性。接触条件的内容包括：两个相互接触的物体不可互相侵入；接触力的法向份量只能是压力；切向接触的磨擦条件。这种条件区别于通常约束条件，其特征是单边性的不方程约束，具有强烈的非线性。
接触界面的事先未知性和接触条件的不方程约束决定了接触剖析过程须要时常插入对接触区域的搜索，须要多次迭代求解以确定接触压力和磨擦力。
另外，接触过程往往涉及材料非线性和几何非线性。诸如，车辆车胎与桥面的接触是接触热学中最典型的实际工程问题，进行数值模拟时，必须考虑因为大变型造成的几何非线性，为得到可靠的估算结果，还应使用复杂的非线性材料本构关系。因而，一般要求有限元接触算法具备同时处理三种非线性（材料、几何、边界条件非线性）的能力。
接触问题的约束条件
2.1不可贯入性
如图1，考虑两个物体BI(I=A,B)相互接触的情况，物体所抢占空间域为ΩI∈R3。物体BI的表面ΓI由三部份组成：ΓσI里面力已知；ΓuI上位移已知；ΓcI则是两个物体的接触面。
图1接触体之间的法向间隙
接触物体在运动学方面须要满足不可贯入性要求，不可贯入性是指物体BA和BB的位形在变型和运动过程中不容许互相贯串（侵入和覆盖），可用下式抒发：
式中，xI(I=A,B)指的是物体BI上表面各点对应于变型后位形的座标，即欧拉座标：
式中，nA是物体BA表面的外法线方向单位矢量。假设接触边界描述了一个局部外凸的区域，我们可以将ΓB上的任一点xB与ΓA上的某一点
相关联。ẍA(x身上两点代表-，下同)是物体BA表面上距离xB近来的点，参见图1，两者距离用下式表示
该距离可用于定义接触体BA和BB之间的法向间隙。
假如ẍA已知，不可贯入条件可用以下不方程约束来表示
对于变型体与刚性表面接触的情况，上式一直创立，此时xA≡XA，nA≡NA。
2.2法向接触力为压力
接触物体在动力学方面须要满足法向接触力为压力的条件。在不考虑接触面间的黏附的情况下，物体之间的法向接触力只可能是压力，不能为拉力。
假如gN=0，法向接触力pN=pAN=pBNN>0，意味着两个物体间存在间隙，此时pN=0。即
上式就是无磨擦接触问题Hertz--条件。在优化理论中，此种方式的约束条件称为Kuhn-条件或则Karsh-Kuhn-条件。
磨擦定理和磨擦机理
磨擦是因为两接触表面互相作用而造成的，其结果是形成运动阻力。当两个表面相对运动时，磨擦力将做负功，在接触表面上形成能量的耗损。在工程剖析中，模型因其简单和适用性而被广泛应用。磨擦的化学机制十分复杂，最终可溯源到原子尺度。
3.1磨擦三定理
英国工程师于1699年提出了两条基本的磨擦定理。这两条定律己为实验所否认，能适用于大多数条件，并且也有一些明显的例外。
第一定理：磨擦力与两接触体表观接触面积无关。
实际上，任何表面从微观上几乎都是粗糙的，实际接触面积只占表观接触面积的很小一部份，磨擦力的大小仅与实际接触面积有关。
第二定理：磨擦力tT与法向荷载fN成反比。
式中，μ为常数，即磨擦系数，必须强调，仅仅对于给定的一对接触滑动材料和一组给定的周围条件，磨擦系数才是常数。材料不同、周围条件（气温、湿度、真空度）不同，磨擦系数也不同。
据悉，于1785年提出了第三定理，即动磨擦力几乎与滑动速率无关。
目前有限元软件中最通用的切向磨擦本构关系是精典磨擦模型，该模型彰显了以上三个基本定理。也有研究者提出另外一些模型，才能考虑界面上微观的热学现象或则磨擦非局部特点。
3.2磨擦机理
当两个表面互相压紧时，会在接触区的个别部份发生黏着，这是导致磨擦的表面作用的一种方式。若果两接触表面形成相对运动，表面的材料微凸体将发生变型和位移来适应相对运动，这些变型和位移将形成运动阻力，这是导致磨擦的表面作用的另一种方式。
当两个接触表面相对运动时，材料微凸体可能发生弹性变型、塑性变型或则破裂。塑性变型总是能带来能量的耗散，在大多数实际情况下，这些能量耗损占金属磨擦的大部份。当表面互相作用为黏着方式时则必然发生破裂，当互嵌的微凸体相对运动时也会导致破裂，但是，对于大多数金属，破裂造成的能量耗散大于塑性变型。
金属材料发生弹性变型所须要的能量绝大部份可以回复，因而弹性能量耗散与塑性能量耗散相比可以忽视不计。而且橡胶材料在发生弹性变型后，因为形成弹性滞后，显示出很大的不可逆的能量耗散，在个别情况下，这是磨擦的主因。
综上所述，导致磨擦的表面互相作用有两个来源：即黏着和材料位移。发生微观的弹性和塑性变型以及破裂，会造成能量的耗散。这种表面作用涉及到界面的原子间复杂的物理和电磁作用，因而一些研究者企图将承受切向荷载的接触界面考虑为一层独立的物质。
和Tabor提出了简单黏着摩擦理论，其出发点是：当金属表面压紧时，微凸体顶端互相接触。接触着的微凸体上压力很高，造成塑性变型，令接触面积减小到实际接触面积A正好能法向支承荷载fN为止。因而，对于屈服压力为p0的理想的弹塑性材料，有
简单黏着磨擦理论觉得，在接触表面紧密接触区会发生牢靠的黏着。如为割断节点所需的单位接触面积上的力，而tT为磨擦力，则有
其中pe是考虑到坚硬微凸体在较软的表面上“犁沟”所需的力而引入的附加项。此理论可以解释两条磨擦定理：磨擦力与表观接触面积无关；磨擦力与荷载成反比。
实验表明，对于高真空中的洁净金属表面，可能获得很大的磨擦力，表明实际接触表面比简单黏着理论所强调的要高得多。在简单黏着理论中，觉得A决定于屈服压力p0和法向荷载fN。对于静态接触，这大致是正确的。并且在磨擦的情况下，还作用有切向力摩擦力和接触面积有关系吗，屈服取决于正挠度和剪挠度的复合作用。所以和Tabor进一步考虑了复合挠度对微凸体接点实际接触面积的影响，提出了修正的黏着磨擦理论：
fN/p0为仅考虑法向荷载影响而得出的接触面积，而α(tT/p0)2表示由弯矩或磨擦力形成的增量。
Green则提出微凸体塑性互相作用理论，后来由和加以推广，她们考虑了相对滑动时微凸体上法向挠度和切向挠度随时间的变化，将磨擦系数定义为所有接触微凸体的瞬时弯矩之和减去所有接触微凸体的瞬时法向挠度之和。
微凸体互相作用理论与黏着理论并无原则性矛盾，事实上它们才能得出相同的磨擦系数表达式。微凸体互相作用理论愈发建立，可进一步推广因而适用于具有实际微凸体高度分布并考虑加工硬化的表面磨擦。黏着理论的数学现实性稍差，而且它还能在各类条件下得到正确的磨擦系数值，且在剖析上远比微凸体互相作用理论简单。
作者简介
王朋波，复旦学院热学博士，车辆结构CAE剖析专家。上海市妇联成员、《计算机辅助工程》期刊审稿人、交通运输部项目评审专家。专业领域为整车疲劳耐久/NVH/碰撞安全性能开发与仿真估算，车体结构优化与轻量化，CAE剖析流程手动化等。王朋波私人陌陌：；加微请标明：单位+姓名。
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