贡献者：addis;零穹
预备知识质心，角动量定律，匀加速直线运动
1.质心的定轴转动
若质心绕固定轴转动，这么质心的位置只需一个变量即可完全确定（一个自由度），我们令该变量为拐角$theta$。$theta$关于时间$t$的行列式就是质心定轴旋转的角速率$omega$。我们还可以定义角速率$omega$关于时间的行列式（即$theta$关于时间的二阶行列式）为角加速度（），记为$alpha$
begin{}alpha=frac{{d}^{2}{theta}}{{d}{t}^{2}}~.end{}
我们可以把质心的定轴转动类比质点的直线运动，把$theta$，$omega$和$alpha$分别类比为直线运动中的位置$x$，速率$v$和加速度$a$，由于后三个变量之间的物理关系是完全相同的：$v,omega$分别是$x,theta$的一阶求导，而$a,alpha$分别是$x,theta$的二阶行列式。
于是我们可以立刻类比匀加速直线运动得到匀变速定轴转动（即$alpha$为常数）的一些公式，如
begin{}omega=+alphat~,\theta=+t+\alphat^2~,\^2-^2=2alpha(-)~.end{}
在以上三个标量的基础上，我们可以定义它们的矢量方式${{theta}}$，${{omega}}$和${{alpha}}$，令它们的方向为转轴的方向，用左手定则来判别。在质心定轴转动的约束下，三个矢量的方向都是转轴的方向，所以通常用标量就足够了，这就好比讨论质点的直线运动时，用标量表示位置物理旋转运动公式，速率，加速度就够了。只有当转轴会随时间改变时才有必要使用矢量方式（见“惯性张量”）。
要判定质心上任意一点的速率，使用即可（见）
begin{}{{v}}={{omega}}\times{{r}}={{omega}}\times{{r}}_bot~.end{}
图1：质心定轴旋转时任意一点的线速率
以上只是运动学而不含动力学，也就是并没有考虑力和运动之间的关系。下边我们将通过角动量定律得出类似牛顿第二定理的动力学公式：
begin{}tau_z=Ialpha~,end{}
其中$tau_z$是外力对系统的合扭力在转轴方向（令为$z$轴）的份量，对应牛顿第二定理中的力$F$；$I$（有时也用$J$）是一个和质心的质量分布有关的量叫转动力矩，对应牛顿第二定理热学中的质量$m$。2.角动量的轴向份量与转动力矩
要讨论质心的定轴转动和所受转矩之间的关系，我们须要先来看角动量矢量在转轴正方向的份量。之后会晓得若定轴旋转的质心的质量分布关于转轴有某种旋转对称，这么质心的角动量矢量必将是平行于转轴的，但是对于更通常的质心（如），定轴转动时的角动量矢量就未必与转轴平行（如）。所以为了简单起见我们先讨论其轴向的份量，完整的矢量关系之后会在“惯性张量”中见到。
我们把转轴的某个正方向定义为$z$轴正方向，单位矢量记为$hat{{{z}}}$。对于质心上的单个质点，角动量在$z$方向的份量为
begin{}L'_{z}={{L}}\cdothat{{{z}}}=({{r}}\times{{p}})\cdothat{{{z}}}~.end{}
首先把质点的位矢在$z$方向和垂直$z$方向分解（称为水平方向），${{r}}={{r}}_z+{{r}}_bot$。因为${{p}}$仍然沿水平方向，按照叉乘的几何定义，${{r}}_z\times{{p}}$也是沿水平方向，只有${{r}}_bot\times{{p}}$沿$z$方向。另外，在圆周运动中，直径仍然与速率垂直，所以${{r}}_bot$一直与${{p}}$垂直。得出推论
begin{}L'_z=leftlvert{{r}}_botrightrvertleftlvert{{p}}rightrvert=mr_botv=mr_bot^2omega~.end{}
现今讨论质心的角动量，若把质心分成无数小块，每小块的质量分别为$m_i$，离轴的距离$r_{boti}=sqrt{x_i^2+y_i^2}$，角动量轴向份量为$L_{iz}$则质心的弱冠动量$z$份量为
begin{}L_z=sum_iL_{iz}=omegasum_im_ir_{boti}^2~,end{}
用定积分写成
begin{}L_z=omegaintr_bot^2,{d}{m}=omegaintr_bot^2rho({{r}}),{d}{V}~.end{}
定义质心绕固定轴旋转的转动力矩（of）为
begin{}I=intr_bot^2,{d}{m}=intr_bot^2rho({{r}}),{d}{V}~.end{}
注意角动量的大小除了取决于质心的质量分布，还取决于转轴的位置和方向。最后得质心沿轴方向的角动量份量为
begin{}L_z=Iomega~,end{}
可见$L_z$和旋转角速率成反比。3.角加速度与扭矩
预备知识单摆
要剖析质心的转动与质心所受外力的关系，就要对系统使用角动量定律。在这儿“系统”指的就是质心本身，不包含任何相对质心运动的物体。我们要分辨两种转轴：几何转轴是一条假想的有正方向的几何直线，质心上任意一点都绕该直线做圆周运动，任何做定轴转动的质心都存在几何转轴。化学转轴可以有粗细有质量、也可以对质心提供约束力。化学转轴不是质心做定轴转动所必须的，比如真空无重力环境中自由旋转的物体有几何转轴但不须要任何化学转轴。
约束物体做定轴转动的机械结构可能是多种多样的，比如通过轴承将物体套在一根固定的杆上，此时杆则不属于质心的一部份，杆对旋转体的所有斥力都视为系统外力。另一种太原小异的情况诸如杆固定在旋转体上一起转动，而杆两端套在固定的轴承上，此时杆可以视为质心的一部份，故无需剖析杆和物体之间的互相作用，轴承对杆的任何斥力都视为系统外力。又譬如一个环型物体通过滑轮固定在一个环型轨道上转动，此时滚轮对物体的力为外力，几何转轴处没有任何其他结构。其实无论机械结构有多么复杂，我们只须要把机械结构中不发生形变的、作为整体绕几何轴旋转的部份看成质心，外部对它的一切力（矩）都视为系统外力（矩），这么以下的剖析就是组建的。
对系统使用“角动量定律”的，注意等号两侧是矢量，所以各个份量必须相等，我们有
begin{}tau_z=frac{{d}{L_z}}{{d}{t}}~,end{}
将代入，并借助角加速度的定义得
begin{}tau_z=Ialpha~.end{}
这就是质心定轴转动的动力学多项式，其方式可类比质点做直线运动时的牛顿第二定理$F=ma$：$tau_z$可以类比力$F$，$I$类比质量$m$，$alpha$类比加速度$a$。角动量轴向份量守恒
在定轴转动的情况下，依据，当系统外对系统扭矩的轴向份量$tau_z$为零时，角动量的轴向份量$L_z$守恒。这意味着质心的角加速度为零（），也就是质心做匀速转动或静止。类比到质点的直线运动就是当$F=ma$中外力$F=0$时，加速度为零，质点做匀速运动，动量守恒。
可见和“匀速运动不须要外力维持”一样，匀速转动也并不须要转轴方向的外扭力维持。但是在日常生活中，正如水平直线轨道上具有初速率的滑块会因为与轨道的磨擦力，空气阻力等各类外力最终停止运动，具有初始角速率的物体也会在机械磨擦、空气阻力等外扭矩的作用下最终停止转动，这与上述动量守恒并不矛盾。
例1化学摆
化学摆（），也叫复摆（）。如，已知质量为$M$的质心关于某转轴的转动力矩为$I$，转轴到质心刚体的宽度为$r_c$，转轴和形心的连线与竖直方向倾角为$theta$，求质心的运动多项式。
图2：化学摆
首先我们把质心看做质点系，作刚体到转轴的垂线，以垂足为座标原点，以转轴指向纸内的方向为$z$轴正方向，令刚体的位置矢量为${{r}}_c$（与转轴垂直），估算重力对质心的合扭矩为（）
begin{}{{tau}}=M{{r}}_c\times{{g}}~.end{}
因为${{r}}_c$与转轴垂直，${{tau}}$与转轴平行，所以
begin{}tau_z=Mgr_csintheta~.end{}
这说明，质心所受转矩相当于质量为$M$，厚度为$r_c$的单摆所受的扭力。代入得质心摆的运动多项式为
begin{}Iddottheta=Mgr_csintheta~,end{}
可以验证当质心的质量全部集中在刚体时（$I=Mr_c^2$）我们就得到了单摆的运动多项式。
若已知初始角度和角速率，由质心定轴转动的动能定律可以求得任何角度时的角速率，详见。
例2袋子倾倒
如，一长方体袋子初始时夹角为$$，以初速率0无滑动倾倒，求其运动多项式。
图3：袋子倾倒
这和属于同一模型，公式不再赘言。事实上，长方体袋子的旋转运动和其截面长圆形的旋转一致，这本质上是一个二维问题。初始时若袋子的刚体在转轴一侧时，袋子必然顺秒针倾倒，反之逆秒针倾倒。若初始时刚体正好在转轴上方，这么这是一个不稳定平衡，任何微小的扰动就会使袋子向某两侧倾倒。
例3
未完成：未完成。链接到这儿。
图4：请添加图片描述
4.垂直轴的角动量
以上的讨论中，我们有意避开讨论垂直轴方向的角动量份量$L_x,L_y$。通常情况下，我们不能保证她们是守恒的。在一些特殊情况下，比如质心的形状和质量分布关于转轴呈某种轴对称物理旋转运动公式，这么容易证明质心（关于任意固定点）的弱冠动量${{L}}$只可能延转轴方向，即$L_x=L_y=0$守恒。
在一些不对称的情况下，比如一个倾斜的细杆绕转轴旋转，转轴就须要对细杆施加一个不停旋转的扭矩，细杆也会对轴施加一个反扭矩，这类似于斥力和反斥力，详见“刚体定轴转动2”。
比如圆盘、长圆形、正三角形等绕对称轴旋转
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