自由落体的通常定义是：只考虑吸引天体和被吸引天体的引力诱因，忽视其他的运动和大气磨擦等诱因，物体从静止（相对于吸引天体）开始接近吸引天体的运动。按照这个定义，假定月球为一个均匀圆球，直径为r，质量为M，物体从距离地表h高度处自由落下。求落到地面的时间t，或则按照时间t求h。
令s为t时刻物体左右下落的物体与地表的距离，忽视物体的小质量，这么可以列举微分等式：
$$frac{d^2s}{dt^2}=-frac{GM}{(r+s)^2}tag{1}$$而且初始条件是$t=0,s=h,dot{s}=v=0$
在实际应用中，我们何必求出这道微分多项式的精确解，由于这个解非常麻烦，在之前以前讨论过。我们只须要求出一个有足够精确度的近似解就行。按照泰勒级数展开式
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)frac{x^2}{2!}+f'''(x_0)frac{x^3}{3!}+...$$
对于上述的微分等式(1)，我们早已有了$s(0)=h,s'(0)=0,s''(0)=-frac{GM}{(r+h)^2}$，因为$frac{dddot{s}}{dt}=dot{s}frac{dddot{s}}{ds}$，但是不难证明$frac{dddot{s}}{ds}$是有限的，所以$s'''(0)=0$，于是我们可以写出微分多项式的近似解：
$$s=h-frac{GM}{2(r+h)^2}t^2tag{2}$$
它的截断偏差是$O(t^4)$。假如求落到地表所用时间，这么有s=0，则
$$h=frac{GM}{2(r+h)^2}t^2tag{3}$$
另外，我们还有$GM=r^2g$，g是月球表面的重力加速度。于是(3)又可以改写成
$$h=frac{r^2g}{2(r+h)^2}t^2tag{4}$$
上述精确度有多高？我们不妨从h很小和h很大两方面来验证：
首先对于h远远大于r的情况，我们有$frac{r^2}{(r+h)^2}1$，于是(4)退化成
$$h=frac{g}{2}t^2tag{5}$$这正是我们在小学接触到的自由落体的公式！
其次是对于r远远大于h的情况，我们不妨用这条公式求一下之前的一道题目：
一个物体自由下落，9天后抵达地面，问这个物体刚开始下落时的高度。
因为r远远大于h自由落体公式，得到：
$$h(r+h)^2=frac{r^2g}{2}t^2h^3tag{6}$$
我们把$r=,t=9*,g=9.8m//s^2$代入(6)自由落体公式，可以估算得到：
$h==51.5*10^4km$，这与官方答案几乎完全相等！
由此可见，修正后的自由落体公式具有很高的正确性！为此，出席天文奥赛的同学不妨把握这公式，或则评卷人都会给你们额外的加分呢！（创意分^_^）