供稿：黄胜编审：周璐
1．运动实例
圆柱摆、火车拐弯、飞机在水平面内做匀速圆周运动等。
2．问题特征
(1)运动轨迹是水平面内的圆。
(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零。
3．确定向心力的来源
向心力是按力的作用疗效命名的，可以是重力、弹力、摩擦力、库仑力、洛伦兹力等各类力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因而确定向心力成为解决圆周运动问题的关键所在。
(1)确定研究对象做圆周运动的轨道平面，确定圆心的位置；
(2)受力剖析，求出沿直径方向的合力，这就是向心力；
(3)受力剖析时绝对防止另外添加一个向心力。
典型例题一
如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。给小球一个合适的初速率，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆柱摆，设细绳与竖直方向的倾角为θ。下述说法中正确的是（）
A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．小球只受重力和绳的拉力作
C．θ越大，小球运动的速度越大
D．θ越大，小球运动的周期越大
解答过程：小球受重力、绳的拉力作用，两者合力提供向心力，由牛顿第二定理可得：
可见θ越大，v越大，T越小。综上所述，可知选项B、C正确，A、D错误。
变式训练
1．质量为m的客机以恒定速度v在空中水平盘旋，如图所示，其做匀速圆周运动的直径为R，重力加速度为g，则此时空气对客机的斥力大小为（）
A．
B．Mg
C．
D．
2．如图所示，一个内壁光滑的圆柱形筒的轴线垂直于水平面，圆柱筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B贴近着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是（）
A．A球的角速率等于B球的角速率
B．A球的线速率小于B球的线速率
C．A球的运动周期大于B球的运动周期
D．A球对筒壁的压力小于B球对筒壁的压力
3．（较难）(多选)如图，两个质量均为m的小铁块a和b(可视为质点)置于水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，铁块与圆盘的最大静磨擦力为铁块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴平缓地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速率，下述说法正确的是（）
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的磨擦力仍然相等
C．ω＝
是b开始滑动的临界角速率
D．当ω＝
时，a所受磨擦力的大小为kmg
变式答案
1解析：选C客机在空中水平盘旋时在水平面内做匀速圆周运动，遭到重力和空气的斥力两个力的作用，其合力提供向心力F向＝
。客机受力情况如图所示，
按照勾股定律得：F＝
＝
。
2解析：选B先对小球受力剖析，如图所示，
由图可知，两球的向心力都来始于重力G和支持力FN的合力，构建如图所示的座标系，则有：
FNsinθ＝mg①
FNcosθ＝mrω2②
由①得
，小球A和B遭到的支持力FN相等，D错误。因为支持力FN相等，结合②知，A球运动的直径小于B球运动的直径，A球的角速率大于B球的角速率，选项A错误。A球的运动周期小于B球的运动周期，选项C错误。又按照FNcosθ＝
可知：A球的线速率小于B球的线速率，选项B正确。
3解析：选AC因圆盘从静止开始绕转轴平缓加速转动，在某一时刻可觉得，铁块随圆盘转动时匀速圆周运动公式，其深受的静磨擦力的方向指向转轴，两铁块转动过程中角速率相等，则按照牛顿第二定理可得f＝mω2R，因为小铁块b的轨道直径小于小铁块a的轨道直径，故小铁块b做圆周运动须要的向心力较大，B错误；由于两小铁块的最大静磨擦力相等，故b一定比a先开始滑动，A正确；当b开始滑动时，由牛顿第二定理可得kmg＝
，可得ωb＝
，C正确；当a开始滑动时，由牛顿第二定理可得kmg＝
，可得ωa＝
，而转盘的角速率
，小铁块a未发生滑动，其所需的向心力由静磨擦力来提供，牛顿第二定理可得
，D错误。
自我检查
1．山城上海的地铁交通颇具山城特色，因为地域限制，弯道直径很小，在个别弯道上行驶时火车的车身严重倾斜。每到这样的弯道乘客都有一种坐过山车的觉得，很是惊险剌激。假定某弯道铁轨是弧形的一部份，拐弯直径为R，重力加速度为g，火车拐弯过程中夹角(车箱地面与水平面倾角)为θ，则火车在这样的轨道上拐弯行驶的安全速率(轨道不受侧向挤压)为（）
A．
B．
C．
D．
2．(多选)如图所示，绳子的一端固定在O点，另一端拴一重物在水平面上做匀速圆周运动（）
A．怠速相同时匀速圆周运动公式，绳长的容易断
B．周期相同时，绳短的容易断
C．线速率大小相等时，绳短的容易断
D．线速率大小相等时，绳长的容易断
3．(多选)如图所示，两根宽度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的下端都系于O点。设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动。已知L1跟竖直方向的倾角为60°，L2跟竖直方向的倾角为30°，下述说法正确的是
A．细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为
∶1
B．小球m1和m2的角速率大小之比为
∶1
C．小球m1和m2的向心力大小之比为3∶1
D．小球m1和m2的线速率大小之比为3
∶1
检查答案
1．解析：选C本题联系实际考查圆周运动、向心力知识。轨道不受侧向挤压时，轨道对火车的斥力就只有弹力，重力和弹力的合力提供向心力，按照向心力公式
mgtanθ＝
，得
，C正确。
2解析：选AC绳子拉力提供圆周运动向心力，绳子宽度即圆周运动直径。怠速相同即周期和角速率相同，绳子拉力提供向心力即F＝mlω2，绳子越长向心力越大即绳子拉力越大，越容易断，选项A对B错。线速率大小相等时，则有向心力即绳子拉力
，绳子越长拉力越小，越不容易断，C对D错。
3解析：选AC对任一小球研究。设细线与竖直方向的倾角为θ，竖直方向受力平衡，则
Tcosθ＝mg，解得
。
所以细线L1和细线L2所受的拉力大小之比
，故A正确。
小球所受合力的大小为mgtanθ，按照牛顿第二定理得
mgtanθ＝mLsinθ·ω2，
得
。两小球Lcosθ相等，所以角速率相等，故B错误。
小球所受合力提供向心力，则向心力为F＝mgtanθ，
小球m1和m2的向心力大小之比为：
，故C正确。
两小球角速率相等，质量相等，由合外力提供向心力，有F＝mgtanθ＝mωv，则小球m1和m2的线速率大小之比为
，故D错误。