试卷第1页，共8页 高中物理竞赛电磁学专项练习20题（附答案及详解） 一、回答问题 1、如图所示，在一根直长螺旋管中间设一个由导线组成的环，环的轴线与螺旋管的轴线重合。环由两个阻值不同的半圆环组成，它们的阻值R1、R2未知。在两个半圆环A、B连接处接三块纯电阻电压表，导线AVB沿环直径准确放置，在螺旋管两侧放置0A V1 B和A V2 B，长度任意。当交流电通过螺旋管时，发现V0和V的读数分别为5V和10V。 问：V的读数是多少？ 这里忽略螺旋管外的磁场和电路的电感。 2、在图1、2、3所示的无限长的直载流导线中，若电流I随时间t变化，则其周围空间的磁场B也将随t变化，从而激发出感应电场E。在载流导线附近的空间区域，B随t的变化，乃至E随t的变化，都可以近似地看作与I随时间t的变化同步。而在距离载流导线足够远的空间区域，B和E随t的变化将滞后于I随t的变化。考虑到电磁场变化的传播速度是光速，即使标题图中讨论的空间区域的维度很大，即若将其建模为图中趋于无穷大的x，则由于这个距离滞后于I随t的变化而引起的B和E随t的变化的影响实际上可以忽略不计。在此前提下，解决下面的问题（1）系统如图1、图2所示。令I=I(t)①通过分析，确定图1中xOy平面上P点处感应电场强度EP三个分量EPx、EPy、EPz的零分量。②图2中l〉l矩形框的环路方向已定，试求环路电动势e12③设图1中P点、Q点处感应电场强度的大小分别为EP和EQ，试求EP-EQ的值（2）由两根无限长反向电流导体组成的系统如图3所示。再令I=I(t)。试求P3点处感应电场强度E的方向和大小。现构造一个如图1所示的网络。该网络是一个以A为原点，B的坐标为（1985，930）的无限大方网络。现有两个这样的网络AB和AB，在它们的单位长度上配置的电气元件分别为一个电容为C的电容器和一个电感为L的线圈，网络中的电阻可以忽略不计，将它们连接起来组成如图2所示的电路。S为调频信号发生器，能发出频率为f=（0，+w）Hz的电正弦交流信号，即U=U sin（2t），U为已知常数，R为已知保护电阻S00。试求S的频率f以及躯干电流达到最大值时的躯干峰值电流。在空间若干点处放置若干点电荷q1，q2，q3，q4，…，qn。对于点i，该点处其余n-1个点电荷的电势和为U。若在这n个点上放置另n个点电荷q，q，q，q，…，i123q，且U，（i=1,2，…，n）ni（1）证明：xn qU，= xn q，U（n+2）iiiii=1i=1（2）利用（1）中的结论，证明真空中一对导体电容器的电容量与两导体所带电荷无关。（一对导体上带相等但相反的电荷） （3）利用（1）中的结论，解决下面的问题：如图所示，正四面体ABCD所有面均为导体，但彼此绝缘。已知四个面带电后电势分别为Q、Q、Q、Q，求四面体中心的电势试卷第3页，共8页。有七块相同的金属板，面积为S，放置在真空中。除4和5号板之间的距离为2d外，其他两块相邻板之间的距离均为d，且1和5、3和7用导线连接。计算：（1）由4和6号板组成的电极的电容（2）若在4和6之间施加电压U，求每块板上所受的作用力。6.如图所示，由一块圆形平行金属板构成一个电容器，金属板的半径为R，它们之间的距离为d。两块金属板的中平面（即平行于两板且平分两板之间面积的平面）上有一个点P。 P到两中心O的距离为R+r（r0）R。已知极板的表面电荷密度为，且Rrd，求P点电场的大小。EP7.一个环形铁芯上绕有N匝绝缘导线，导线两端接有电动势为c的交流电源。环形铁芯上放有一个均匀的细环，其电阻为R，自感可忽略不计，细环上a、b点间环（劣弧）的长度为细环长度的1/1。在a、b点接一个电阻为r的交流电流表G。接法有两种，分别如图1和图2所示。试算用这两种方式计算通过G的电流。试卷第4页，共8页8.有一个平面方形无限大带电网络。每个网格的边长为r，线电荷密度为λ（λ 0）。有一个带电荷为Q（Q 0），质量为m的粒子，恰好位于某个网格的中心，若沿某一方向扰动它，它将移动d，dr。试计算它所受电场力的大小，并描述它随后的运动。（提示：可能的公式=1+ + + +）。（1）一维电磁驻波E(x) = Asin(kx)在x方向上被限制在x = 0和x = a之间。二x(2)弦理论认为物理空间不止三维，额外隐藏维度空间像薄圆柱体表面一样卷起来。二x(2)弦理论认为物理空间不止三维，额外隐藏维度空间像薄圆柱体表面一样卷起来，如图中y坐标所示。设圆柱体半径为b(a)。电磁波在圆柱表面的形式为E(x,y)=Asin(kx)cos(ky)，式中y为圆柱周围折叠空间的坐标。求k的可能值。xyy(3)光子能量W=hc·k2+k2，式中hc=1239(eV·nm)，eV代表1电子伏特，2πxy1nm等于109m。人类目前能产生的最高能量光子约为1。
0×。如果这个能量能产生折叠空间的光子，那么b的值满足什么条件？ 10、图1所示的二极管电路中，从A端输入图2所示波形的电压，如果电容最初不充电，试画出三个周期内B、D点电压的变化情况。如果把三极管看作一个理想开关，那么B点电压的极限是多少？ 试卷第5页，共8页 11、理想非门可以看作一个受控电压源：当输入电压小于U=6V时，输出端相当于C与地线之间的一个理想电压源，电源电压为U=12V；当输入电压大于U时，输出端相当于C与地线之间的短路。等效电路图如图1所示。不同非门中的接地点可以看作同一点。我们可以利用非门、电容和电阻制作一个输出方波信号的多谐振荡器。给出图2电路中U与时间的关系。02提示：对于图3中的RC电路贝语网校，从电路接通的那一刻起，电容上的电压随时间的变化为U(t)=U(1e tRC)012。如图所示，在一圆形区域（足够大）内，有一个垂直于纸面、向内的磁场B=k，该磁场随时间均匀增大。在距圆心O d的位置P处有一颗钉子，钉在一根长度为l、质量为mt的均匀绝缘杆的中心。绝缘杆可以在平面内自由旋转，不受摩擦。绝缘棒上半部分均匀带正电，电荷数为Q，下半部分均匀带负电，电荷数为Q。初始时刻，绝缘棒垂直于OP试卷第6页，共8页 (1)计算P点处钉子所受的压力 (2)若绝缘棒受到轻微扰动，在平面内做往返转动（速度很小，洛伦兹力可以忽略），1证明此运动为简谐振动，并计算周期。 （绝缘杆绕质心转动惯量为I=ml2）1213.在图1所示的电阻网络中，图中每个电阻的阻值分别为r（1）求R、RABAC（2）现将网络接入电路，如图2所示。交流间接电感L，A、B接在角频率为的交流电源上，现为了提高系统的功率因数，在A、B之间接一个电容C，求使得功率因数r等于1的电容C，已知L=14。两圆形线圈分别绕制N1、N2匝，半径分别为i、r2，设大圆的电阻为R。试求：（1）两线圈在同轴共面位置时的互扰系数（2）在小线圈中通以恒定电流I，使它以速度v沿轴线匀速移动，始终保持二者同轴。计算两线圈中心距离为x时，大线圈中的感生电动势。 （3）若将小线圈由共面移至很远的距离，计算通过大线圈的感生电荷。（忽略一切自感） 15.如图所示，有一个两端无限延伸的电阻网络，设每小段电阻丝的阻值为1，求A、B间的等效电阻R是多少？（结果应四舍五入保留三位显著数字） AB试卷 第7页，共8页 16.如图a所示，电阻R=R=1k，电动势E=6V，电路10中串联两个相同的二极管D，二极管D的IU特性曲线如图b所示。计算： DD （1）通过二极管D的电流； （2）电阻R1消耗的功率。17如图A所示，两台发电机并联运行，共同向负载供电，负载电阻为R=24。由于某种原因，两台发电机的电动势不同，=130V，r=1，=117V，112r=0。
6、求各发电机中的电流和它们发出的功率。 218、图1所示无限旋转内接方导线网络，是由一根厚度和材质均匀的导线构成的，其中每个内接方导线的顶点分别在最外边方导线四条边的中点。已知与最外边方导线边长相同的导线AB的电阻为R。求网络中（1）A、C两端之间的等效电阻R；（2）A、C两端之间的等效电阻R。 EC试卷第8页，共8页19.如图所示为正四面体框形电阻网络，其中各小段的电阻为R。试求：（1）AB之间的电阻；（2）CD之间的电阻。 20、如图所示的网络中，我们只知道某些支路上的电流值及方向，某些元件参数及支路交叉口的电位值（相关数值及参数已在图A上标注出来）。请利用给出的相关数值及参数，计算出含有电阻R的支路上的电流值I及其方向。 xx 答案 第1页，共30页 参考答案 1. U = 20V 或0. V2 【解析】 【详细解释】 因为螺线管内有交流电，所以电路中产生的电动势也是交变的，但可以仅限于某一时刻感应电动势、电压、电流的瞬时值。这是因为在没有电感和电容的情况下，各量的有效值之间的关系和瞬时值之间的关系是一样的。 （1）当R等于R，取UU时，电路中电流如图所示，则 12ABI R + IR - c0 = 0, IR + I,R - c 0 = 0, 0 V01 120 R - IR + c 0 = 0, IR - I,R + c 0 = 0. 0 V02 220 重新排列后可得c0 = IR + I,R = I,R - IR。 20 V0 所以，U = I,R = 2IR + I,R = （2）当RR时，取U为U，I取反，其它保持不变，则c0 = I,R - IR = I,R + IR V0 所以，U = I,R = I,R - 2IR = 0（此时R = 0，即R段为超导体，R４0） 综上所述，U = 20V 或0V22。 （1）①EPz = 0 ②c = l0π1 (|( ))|ln x l2③EP - EQ = (|( ))|ln x l2(2)EP(x)= (|())|ln dx ，参考方向取与y轴相反方向 【解析】 【详细解释】（1）①设E 丰0，则在过P点、平行于xOy坐标平面的平面上，以x为半径，y轴Pz为中轴取圆，设环路方向如解图所示。由于系统轴对称，环路各点感应电场E的角分量与图中E方向一致且沿环路方向，且大小相同。由E进行环路积分得到的感应电动势Pz c 士0。另一方面，电流I的磁场B在环路所围表面上的磁通量始终为零，磁通量的变化也为零，根据法拉第电磁感应定律，c=0。二者是矛盾的，所以必定是E=0。Pz若E±0，由于体系的轴对称性，溶液图1圆柱面上每一位置的场强E的y方向分量的方向和大小与图中E Py的方向和大小相同。如果取一系列半径x不同的同轴圆柱面，则各圆柱面上的场强E的y方向分量的方向和大小都相同，但大小应随x的增大而减小。这样就使文图2中矩形回路中感生电动势c±0符合法拉第电磁感应定律，所以允许E±0Py。若E±0，由于轴对称性，溶液图1圆柱面上各位置的场强EE径向分量的方向与PxPx对应的E径向方向一致，二者的大小也相同。将溶液图1中圆柱面的顶部和底部封盖起来，形成一个顶部和底部有两个端面E的圆柱高斯面。
dS 通量积分之和为零，在 E 侧。dS 通量积分不为零，这与获得 jjs E 的麦克斯韦假设一致。 dS = 1c0 jjjVs pe dV = 0 矛盾，所以必定有 EPx = 0dt x12πx ②根据法拉第定律，参考文中图2，c = 一dj x+l2一B (x )l dx ，其中B(dt x12πx 所以，c = 一(|( l1 ln ))| = l0π1 (|( ))|ln ③根据麦克斯韦感应电场假设，结合（1.1）问题的答案，可知c = j E 。 dl = E (x)l 一E (x + l )l 121L结合①和②得到的结果，可知答案为 第3页，共30页 E (x )l1 - E (x + l2 )l1 = l0π1 (|( ))|ln E (x )- E (x + l2 )= (|( ))|ln 即 EP - EQ = E (x)- E (x + l2)= (|())|ln （2）从物理角度看，远场应为 E(x + l)) 02l2)w代入上式，可得 EP = E (x)= (|())|ln x l2 l2)w)w为书写方便，将EP改写为 EP) EP (x)= (|())|ln x l2 lz)w)wE (x)为发散，是由模型引起的，并非真实的发散。如图所示，E(x)是左边变化电流贡献的E(x)与右边变化电流贡献的E(x)的复合，参考方向取与y轴相反的方向。即 E(x)=E(x)-E(x) (x)=(|( ))|ln=(|( ))|ln (x)=(|( ))|ln=(|( ))|ln 所以 E(x)=EP(x)=(|( ))|ln d-xx答案第4页，共30页 UO13. I=0，f==π2πLC 【解析】【详细解释】设电感网络等效电感为L=aL，则它的阻抗Z=aOj（j为单位虚数根）ABL1又因AB与AB结构相同，阻抗形式相似，且Z=a。
j，所以总的1CCL LCOC阻抗Z = ZL + ZC + ZR = R + (|(aLOj一a O1C j))| = R +a (|(OL一O1C ))|j且峰值I0 =高中物理第20题，所以I0 = U0。R2 +a 2 (|(aL一O1C ))|2 一111所以，当OL 一= 0，即O =时，I最大。此时I = 0，且f ==Q +Q +Q +Q4。 （1）证明见分析 （2）证明见分析 （3）Q = 【解析】【详细解释】（1）设点i在点j上产生的电势为aq。同理，易知点j在点i上产生的电势为aq。对于这个二点系 ij iji j，有 U q = U q，即 a= aq qij jji iij i jji ji。因此，a = a。易知a是一个只依赖于位置的参数。又 U = aq + aq + aq + + aq = xn aq（设a = 0）jiij=1 则 U, = aq, + aq, + aq, + + aq, = xn aq,（a只依赖于位置）jijj=1 所以，qiUi, = qi (|(aij qj,))| = aij qi qj, = qi, (|(aij qj))| =qi,Ui答案第5页，共30页所以原公式（格林互易定理）成立 (2)设两导体前后的静电分别为Q、Q，它们对应的电容分别为C、C 1212。由（1）可知，xnqU,=QU-QU=Q（UU）（式中U、U分别为有Q时两导体的静电势=1）同理，xnq,U=QU一QU=Q（U一U）（式中U、U分别为有Q时两导体的电势）=1由（1）可知，二者相等，则Q（U一U）=Q（U一U）所以，C=Q1=Q2=C1U一UU一U2，这与导体上带电荷量的多少无关。 （3）根据题目要求，设四个面及中心O的电荷分别为q1、q2、q3、q4、0。同时高中物理第20题，四个面及中心的电位分别为Q 1、Q 2、Q 3、Q 4、QO。现将四个外表面接地，在中心放置一个Q的点电荷，中心电位为U，四个表面产生的感应电荷相等，为1。此时四个表面及中心O的电荷与电位分别为4-、1-、1-、1-、1-、1-、Q；0、0、0、0、U 4444。由格林互易定理可得Q1。
(|(一))| +Q2. (|(一))| +Q3. (|(一))| +Q4. (|(一))| +QO. U = 0Q +Q +Q +Q，则可得 Q = S32c U 2 S13c U 2 S5. (1) C = S32c U 2 S13c U 2 2F = 16c U2 S0，方向向上； F = 81c U2 S0，方向向上6722d 2【解析】【详细讲解】（1）由两个极板4、6组成的电容器结构，可以等效为如图所示的电容器网络，其中答案为第6页，共30页 = Q = 则 C = Q = 则 C = 3446.图1 SC = SC = C = C = C = C = 0=从图中可以看出，每个电容器所携带的电荷满足下列关系的各支路电压：C，C = 0=。 = Q ． 2312Q = Q + Q ， = Q ． + 67 = UC 2C，34 + 56 = U ， CC． 23 34 + 56 = U ， CC． CCCC由以上各式可得 1CU ，19+ 1CU ，19+ Q45 = U=CU ， Q =CU ， Q =CU ， Q =CU ，19Q=0 19d 求端子 4、6 的电容，也可以先求出左图所示电阻网络的阻值，然后再求电容。将图中 O ABC 的 Y 型接法改为 △ 型接法，得到图 2 右图所示电路，其阻值如图所示，则易得 19R = R ． 4616U 直流电路的电阻、电压、电流分别为 I = ． R 电容器组成的电路的电容、电压、电荷分别为 Q = CU ． 1 类似地，C ~ ． R与上述电阻电路匹配电容电路，故答案为第7页，共30页33 3(33 3( 2c2c) ~，即C =C = .46(2)由于每块极板上所受的力均为系统中其他极板上的电荷产生的电场作用于本极板上电荷的作用力，因此通过高斯定理很容易计算出每块极板上的场强，进而得到每块极板上所受的力为Qc U 2 S11 2F = E Q11 20( E计算方法：1极板侧面不带电，下侧带电Q，为正电，即Q = Q = c US0，根据电荷守恒定律，2 ~ 7块极板总电荷为Q1，为负电，将2 ~ 7作为一个整体考虑，容易得到E1 = 2c1 )0下面的符号Q代表极板所带的总电荷第 i 个板块。iF = EQ = 0。（显然，该板块的 Q = 0）22 22F = EQ = | 12 - 4567 |。
Q = F = EQ = | 12 - 4567 |。Q = 0，方向向下。00式中，Q = -Q + Q = -10c US0+ c US0 = -9c US0，= Q + Q = 16c US0，= -Q + Q = 3c US0，= -Q -Q = -16c US0，= -Q = -7c US0。同理可得：F = 32c U2 S0，方向向上；4361d 2F = 13c U2 S0，方向向下；5722d 2F = 16c U2 S0，方向向上；6722d 2F = 81c U2 S0，方向向上。
