高中奥林匹克物理竞赛解题方法4.等效法简介在某些物理问题中，一个过程的发展和一种状态的确定往往是由多个因素共同决定的。在这种确定中，如果某些因素所起的作用和其他因素所起的作用相同，那么前一个因素和后一个因素就是等效的，它们可以互相替代，而不影响过程发展或状态确定的最后结果。这种基于等效性用某些因素互相替代来研究问题的方法就是等效法。等效思维的本质就是把比较复杂的实际问题，在同样的效果下，转化为简单熟悉的问题，从而突出主要因素，抓住其本质，找出其中的规律。因此，在应用等效法时，常常用较简单的因素来代替较复杂的因素，这样就可以使问题简化，容易求解。例1：如图4-1所示，水平面上有两面垂直光滑壁面A、B，两壁面相距d。一小球以初速度v0从两壁之间O点向上抛出，与A、B发生弹性碰撞后，落回抛出点，求小球的投射角θ。 分析：弹性小球在两壁之间的反弹运动可以等效为完整的斜投射运动（见图）。所以解斜投射运动即可得解。由题意可得： 投射角可解 例二：质点从A到B作直线运动，A、B两点距离为L。已知质点在A点的速度为v0，加速度为a。若将L分成n等段，则质点每经过L/n的距离，质点的加速度就增加a/n。求质点到达B时的速度。
分析：从A到B的整个运动过程中，由于加速度是匀速增加的，所以此运动为非匀速加速直线运动。非匀速加速直线运动不能用匀速加速直线运动公式求解，但如果能用等效的匀速加速直线运动代替，则此运动可求解。由于加速度随行进距离的增加而匀速增加，所以由匀速加速运动的导出公式可求得此运动中的平均加速度。例3：一只老鼠沿直线从老鼠洞里爬出来。已知爬行速度的大小与离老鼠洞中心的距离s成反比。当老鼠到达离老鼠洞中心s1=1m的A点时，其速度的大小为。当老鼠到达离老鼠洞中心s2=2m的B点时，其速度的大小为。老鼠从A点到B点到达B点所花的时间为t=？分析：我们知道，汽车在恒功率行驶时，它的速度v和牵引力F成反比，即v=P/F。因此，老鼠的运动可以等效为一根弹簧在恒功率的外力牵引下的运动。由此分析可写出，代入上式求解，得老鼠到达B点时的速度。再根据外力所作的功，等于这个等效弹簧的弹性势能的增加量。代入有关量可得，这道题也可以用镜像法、类比法求解。例4如图4-2所示，铅丸内有一个半径为r的球形空腔，其表面与球面相切。铅弹的质量为M，在铅弹中心与空腔中心的连线上，距铅弹中心距离为L处有一质量为m的小球（可看作点质量），求铅弹对小球所受的引力。
分析：由于铅球内部有空腔，不能等效于球心的一个质点。我们设想在铅球的空腔内填入一个与铅球密度相同的小铅球△M，再在小球m对称的另一侧放置另一个一模一样的小铅球△M。这样，两个相加的小铅球对小球m的引力就可以抵消，空腔铅球就变成了实心铅球，其结果等效。有空腔的铅球对m的引力，等效于实心铅球和另一侧△M对m的引力之和。设空腔铅球对m的引力为F，实心铅球和△M对m的引力分别为F1和F2。则F=F1－F2①经计算可知：，故 ②③将②和③代入①，解得腔体铅球对小球的重力。 例5如图4-3所示，小球在长度为L的光滑斜面上方自由滑动，当它滑至下方时与挡板相撞，并向反方向反弹。设每次与挡板碰撞后的速度为碰撞前的速度，计算小球从开始滑行到最后停在斜面下方所经过的总距离。 分析 小球碰撞挡板后的速度小于碰撞前的速度，说明在碰撞过程中有能量损失，每次反弹的距离都小于上一次，小球一步步向挡板接近，最后停在挡板处。我们可以分别计算出每次碰撞的距离L1，L2，…，Ln，那么小球运动的总距离为，然后用等比级数求和公式求出结果，但这种解法很麻烦。我们假设小球在与挡板碰撞时不损失能量，原来损失的能量就看作是小球运动过程中克服阻力所做的功。最后的结果是一样的。由于阻力在整个运动过程中都是存在的，所以可以利用摩擦所做的功来计算距离。
设小球在第一次碰撞前后的速度分别为和，碰撞后反弹的距离为L1，则碰撞中损失的动能为。根据等效性可得等效摩擦力。通过此结果可知，等效摩擦力与滑道长度无关，所以在以后的运动过程中，等效摩擦力都是相同的。以整个运动作为研究过程，求解小球所行进的总距离。本题也可以用递归的方法求解，读者可以试一试。例六如图4-4所示，一只小球被两根等长的轻质细导线悬挂着。设已知L和，当小球垂直于纸张时，它的周期为。分析本题为双线摆，我们知道单摆的周期，若双线摆的长度相当于单摆的长度，便可算出双线摆的周期。把双线摆的长度等效于单摆的长度，则这个双线摆的周期为 例8 如图4-5所示，由一根长度为L的刚性轻杆，杆端装有小球组成的单摆，做振幅很小的自由振动，若在杆的中点固定另一相同的小球，则该单摆就变成了异形复摆。求该复摆的振动周期。 解析复摆的物理模型属于大学普通物理的内容，由于中学阶段知识水平所限，不能直接求解，如果能进行等效操作，将其转化为中学生熟悉的单摆模型，那么求解周期就会变得简便易行。设想有一个长度为L0的辅助单摆，它的周期和原复摆相同。两摆以摆角从静止开始摆动，当它们摆到与垂直方向成一定角度时贝语网校，它们有相同的角速度，对两摆应用机械能守恒定律，于是得到 对于单摆，我们把两个方程的解结合起来，便得到原复摆的周期。举例来说，9 一根厚度均匀的U形管，内盛某种液体，开始静止在水平面上，如图4-6所示。已知：L=10cm。当此U形管以4m/s2的加速度向右水平运动时，求两垂直管内液面的高度差。
（g=10m/s2） 分析：当U型管加速向右运动时，可以把液体看作放在一个等效重力场中， 的方向为等效重力场的垂直方向，此时两边的液面应该与等效重力场的水平方向平行，也就是垂直于 的方向。设 的方向与g方向的夹角为 ，那么从图4-6可以看出，液面与水平方向的夹角为 ，所以， 例10：垂直放置一光滑绝缘的圆形轨道，半径为R，在其最低点A处放置一个质量为m的带电小球。整个空间中有均匀电场，使小球受到大小为 、方向水平向右的电场力。现给小球一个水平向右的初速度，使小球沿轨道向上运动。若小球刚好能做完整的圆周运动，求。分析：小球同时受到重力和电场力的作用，此时也可以认为小球处在一个等效重力场中。小球所受的等效重力是等效重力加速度与垂直方向的夹角，如图4-7A所示。所以B点是等效重力场中轨道的最高点，如图4-7所示。根据题意，小球刚好能做完整的圆周运动。利用等效重力场中机械能守恒定律，将小球运动到B点时的速度代入上式，可得解为小球的初速度。例如，11空间中某一体积为V区域内的平均电场强度（E）定义如图4-8所示。现在有一个半径为a的金属小球，原来不带电，现在把它放在一个带电荷为q的点电荷的电场中。点电荷位于金属球外侧，距球心距离为R，试计算此球内金属球表面感应电荷产生的电场的平均电场强度。
分析金属球表面感应电荷在金属球内部产生的电场。由静电平衡知识知道，金属球内部一个电荷为q的点电荷产生的电场大小相等，方向相反。因此，求金属球表面感应电荷产生的电场相当于求金属球内部点电荷q产生的电场。根据平均电场强度公式，设金属球带电荷q，密度为，则带电球在q点产生的场强为，故方向从O至q。例11 一个质量为m的小球，带电量为Q，在场强为E的水平均匀电场中，获得垂直向上的初速度为。若忽略空气阻力和重力加速度g随高度的变化，求小球运动过程中的最小速度。分析：若将电场力Eq与重力mg合为一个力，则小球相当于只受到一个力的作用。由于小球的初速度与所受的合外力成钝角，因此小球的运动可以看作在等效重力（即合外力）作用下的斜抛运动。做斜抛运动的物体，当其速度方向垂直于垂直方向时，其速度最小，这是斜抛运动的最高点。可见，用这种等效方法可以快速得到结果。电场力与重力的合力方向如图4-9所示。从图中几何关系可以看出，小球从O点抛出后，沿y方向做匀速减速直线运动，沿x轴方向做匀速直线运动。当y轴方向的速度为零时，小球只在x轴方向有速度，此时小球的速度最小。因此，这道题也可以用向量三角形求极值的方法来解决，读者可自行解答。
例十二如图4-10所示，R1、R2、R3为固定电阻，但阻值未知，Rx为电阻箱，当Rx为时，通过它的电流为，当为时，求电阻值。电源电动势、内阻r以及电阻R1、R2、R3均为未知量。根据题目给出的电路模型，方程个数显然少于未知量个数，因此可以采用改变电路结构的方法。将图4-10所示虚线框内的电路看作一个新的电源，其等效电路如图4-10 A所示。该电源电动势为，内阻为。根据电工知识，新电路不改变Rx与Ix的对应关系，且有 ① ②③ 由①和②可得，代入③可得 例13 图4-11所示的两个电阻电路A、B具有这样的特点：对任意电阻RAB、RBC和RCA，均可确定相应的电阻Ra、Rb和Rc。因此在对应点A与a，B与b，C与c处的电位相同，流过相应点（如A与a）的电流也相同。利用这些条件，证明：，并证明对于Rb和Rc也得到类似的结果。 利用以上结果求图4-11中P、Q点间的电阻值 A. 分析：图4-11中A、B两个电路的连接方式分别称为三角形连接和星形连接。只有当两电路任意两对应点间的总电阻相等时，两电路才能等效，对应点A、a、B、b与C、c才有等电位。由Rab=RAB，Rac=RAC，Rbc=RBC可知，对于ab有①。同理，对于ac和bc有②③。将①+②－③相加可得：再经①－②＋③和③+②－①，整理可得Rb与RC的表达式。
接下来我们利用上面的结果计算图 4-12B 中 P 点、Q 点之间的电阻。用星型连接法代替三角形连接法，可以得到如图 4-12B 所示的电路。PRQS 回路为平衡的惠斯通电桥，因此 RS 之间没有电流，因此等效于图 4-12C 所示的电路。因此将这三个并联电阻相加即可得到 PQ 之间的总电阻 RPQ。例 14如图 4-13 所示，将一个矩形金属线框 abcd 放置在磁感应强度为 B=0.6T 的均匀磁场中。框架平面垂直于磁感应强度方向，其中 ab 和 bc 各为一段均匀电阻导线 Rab=5Ω，Rbc=3Ω，线框其余部分的电阻可忽略不计。现设导体EF放在ab与cd边上，其有效长度L=0.5m，且垂直于ab，其电阻为REF=1Ω，让它从金属框端部ad以匀速V=10m/s向右滑动。当EF滑过ab长度的4/5时，从aE端部流过的电流为多少？分析当EF向右移动时，就会产生感应电动势。当EF滑过ab长度时，电路图可等效为图4-13a所示的电路。根据题目，可计算出EF产生的感应电动势。此时电源内阻为导体EF的电阻，所以电路中总电阻为 电路中总电流为 ∴通过aE的电流为15 例如有一块薄平凹透镜，其凹面半径为0.5m，玻璃折射率为1.5，平面上镀有反射层，如图4-14所示，在此系统的左主轴上放置一物体S，S距系统为1。
5m，S的像在哪里？ 分析：这道题可以等效为物点S先经薄平凹透镜成像，它的像就是平面镜的物体，经平面镜成像的像就是薄平凹透镜成像的物体，根据成像定律，可以逐一计算出最后像的位置。 根据以上分析，先考虑物体S经平凹透镜成像，根据公式，在左边成像，为虚像，该虚像经平凹透镜成像后，它的像距就是在右边成像，为虚像。 再经平凹透镜成像，在系统右边0.375m处成像。 这道题也可以用假设法求解。 针对性训练 1、一个半径为R的金属球与地面相连。如图 4-15 所示，在距球心 L 处有一点电荷，其电荷为+q。求（1）球上感应电荷的总电荷量；（2）q 上所受的库仑力。 2. 如图 4-16 所示，设 ，求 AB 间的电阻。 3. 电路如图 4-17 所示，当 时，求 AB 间的等效电阻。 4. 有 9 个电阻器连接在一起形成图 4-18 所示的电路，图中数字的单位为 ，求 PQ 点间的等效电阻。 5. 对于图 4-19 所示的电路，求 AB 点间的等效电阻。 6. 对于图 4-20 所示由 5 个电阻器组成的网络，求 AB 点间的等效电阻。 7. 由 7 个阻值均等于 r 的电阻器组成的网络元件如图 4-21a 所示。将这些网元连接起来所构成的无限大梯形网络如图 4-21b 所示。求 P 点、Q 点间的等效电阻。 8.图 4-22 给出了一束交流电随时间变化的图像，此交流电的有效值为（ ）ABCD 9.磁流体动力发电机的原理图如图 4-23 所示。横截面积为正方形的管道，长度为 L高中物理等效半径，宽度为 a，高度为 b，上下两边为绝缘体，距离为 a 的两边为电阻可忽略的导体，这两根导体边接负载电阻 RL。
将整个管道置于均匀磁场中，磁感应强度的大小为B，方向垂直于上下且向上。已有的电离气体（带正负电的粒子）连续稳定地流过管道。为简化问题，假定截面上各点的流速相同。已知流速与电离气体上的压强成正比；而不管有无磁场，管道两端电离气体的压强差都维持在p。设无磁场时电离气体的流速为。求有磁场时流体发生器的电动势的大小。已知电离气体的平均电阻率为。10.一个均匀的细导线环，总电阻为R，半径为a，内充满垂直于环面的均匀磁场。磁场随时间以速率K均匀增大，环上A、D、C点位置对称。电流表G连接A、C点，如图4-24所示。设电流表内阻为RG，求通过电流表的电流大小。 11、一个方线框abcd固定在均匀磁场中，每条边为L1。其中，ab为一端电阻为R的均匀电阻丝，另三边为电阻可忽略的铜丝。磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面且向内。现有一根与ab段材质、厚度、长度相同的电阻丝PQ，装在线框上，如图4-25所示。它以恒定的速度从ad滑向bc，当PQ滑过1/3L的距离时，通过aP段电阻丝的电流为多少？方向是什么? 12、如图4-26所示，沿x轴放置一块细长的导体板，板面处于水平位置，板的宽度为L，电阻可忽略不计，它是一根圆弧形均匀导线，它的电阻为3R，圆弧所在平面垂直于x轴，圆弧的两端a、d分别与导体板的两个侧面相连并能在导体板的上面滑动。
圆弧ae=eb=cf=fd=（1/8）圆周长，圆弧bc=（1/4）圆周长，一只内阻为Rg=nR的很小的电压表位于圆弧的中心O处，电压表两端用电阻可忽略的直导线分别与b、c点相连。整个装置处于磁感应强度为B、方向垂直向上的均匀磁场中。当导体板静止，圆弧导线和电压表沿x轴以恒定速度v运动时，（1）计算电压表的读数；（2）计算e、f点间的电位差（Ue-Rf）。 13、如图4-27所示高中物理等效半径，一根长度为2πa，电阻为r的均匀细导线首尾相连，组成一个半径为a的圆。现把电阻为R的电压表和电阻可忽略的导线分别接在如图a、b所示的圆上的两点上，这两点间的圆弧与圆心的夹角为θ。设有一个沿垂直于圆平面的方向均匀变化的均匀磁场，已知磁感应强度的变化率为k，则a、b两种情况下电压表的读数是多少？ 14、平凸透镜的焦距为f，其平面镀有银。现把一个高度为H的物体垂直于主轴放置在距透镜凸面2f处，其下端位于透镜主轴上，如图4-