§5 定积分在物理学中的应用 定积分在物理学中有极其广泛的应用。在物理问题中，经常遇到的物理量都有连续性和可加性，要求返回某个物理量，重要的是求出然后 例1 如图所示，pipe为管道。 解 以圆心为原点，建立如图所示的坐标系，此时圆的正方形（设水直径为m）的静压强为多少。 问水平面与直圆形闸门（半径为3）的交界处？ 由于水的静压强在同一深度时是相同的，其值等于水而总的静压强为各窄条上静压强之和，所以这个过程是比重与深度的乘积，所以在很小的时候，从深度x到x的窄条上所受的静压强为2。 引力 例2 一长度为l的均匀细条，建立如图所示的直角坐标系。 细杆位于x轴上，质点位于y轴上a点，取任意质点压力公式液体定积分，该质点的质量为m，试求细杆上的质点。在距细杆一定距离处，有一质量为m的质量杆，其垂直线为质量微分元，它对质点m的引力为。由于细杆上各点对质点m的引力方向不同，所以dF不能直接积分，因此将dF分解到x轴和y轴方向，垂直方向上总的合力为，负号表示合力与y轴方向相反。
例3 水池与水池之间的力。 例4 一个圆锥形水池，水池 三、功与功率的解 如图所示建立直角坐标系。所作的功？水池里盛满水。试计算在一个开口直径30米，深度10米的水池中，将一层薄薄的水从深度x抽到水池开口xx+Δx所做的功W。微分元为 因而得例5的解 显然，我们只需要计算一个周期内的平均功率即可。在这种情况下， *§6 定积分的近似计算 虽然可以用牛顿-莱布尼茨公式精确计算，但用近似计算方法可以算出数。这里我们介绍定积分的计算，但它只适用于被积函数的原函数。按照定积分的定义，用几何术语来说，这是用一系列小矩形来近似小曲边的方法。 矩形法精度较差，通常采用下面介绍的梯形面积的结果，所以这种近似计算方法叫做矩形法。1.梯形法把积分区间对应的被积函数值记为曲线上对应点为曲线上的每一段。这使得各小于，而整个弯曲梯形面积的近似值为即将弯曲梯形换成梯形，其面积为上面的近似公式叫做梯形法求定积分的公式。2.抛物线法用梯形法求定积分的近似值，当是凸曲线时它太大，当是凹曲线时它太小，抛物线法可以克服上面的缺点。
将区间分成几点： 所对应的被积函数值记为 曲线上对应点记为 现在把区间上的曲线代之以一条过三点的抛物线来近似，就得到了最后的结果，这就是抛物线公式，又称辛普森公式。 示例 计算的近似值。 解 将区间分成十等份，各点处被积函数的值列示如下： xi 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 yi 1 0. 0. 0. 0. 0. xi 0.6 0.7 0.8 0.9 1 yi 0. 0. 0. 0. 0.5 （1）利用矩形法公式 （2）利用梯形法 （3）利用抛物线法 与精确值相比，矩形法只精确到一位有效数字； 梯形法精确到一位有效数字。形状法有三位有效数字，精确；抛物线法有六位有效数字。复习题 定义1 设平面曲线C用下列参数方程表示： §3 平面曲线的弧长与曲率 本节定义光滑曲线的弧长，并给出利用定积分计算弧长的公式。 一、平面曲线的弧长 返回定义2 设平面曲线C用参数方程曲线表示，则可算出C，弧长为 定理10。
1（光滑曲线弧长公式） 设曲线C用参数平方表示。若C为光滑曲线，则 证明 由第一章§1练习6可知， 即，所以当f在[a,b]上连续可微时，C也可看作 注1 若曲线C用直角坐标方程表示，则C也可看作 注2 若曲线C用极坐标方程表示，则 例1 a 例2 求线段的弧长。 例3 在光滑曲线上，圆弧段和的长度相差不大。 *二、平面曲线的曲率 曲率是描述曲线曲率大小的概念，如图所示，曲率的大小差别很大。 动点由Q移至R时，旋转角远大于切线。当切线移至Q时，旋转角反映的是动点沿曲线从P点移动时切线的倾斜角。设表示点处切线的倾斜角，表示动点沿曲线从P点移动到R时切线倾斜角的增量。若长度为，则称为圆弧段的平均曲率。若存在有限极限，则这个极限K称为曲线C在点P处的曲率。由于曲线是光滑的，总有，即若用表示曲线，则例1 求椭圆上由于极大点与极小点而产生的曲率解。 所以椭圆在每一点的曲率为 ，当 时，在 处曲率最大，由例1可知，若 ，则各点曲率相等，在 处曲率最小，显然直线上每一点的曲率都为0。
设曲线上某点P处的曲率为 ，若过P点画一个半径为 的圆，它与P点处的曲线有相同的切线，并和P附近曲线在切线的同一侧（见图），即P处的曲率圆。曲率圆的圆心叫曲率中心，半径叫曲率半径，我们把这个圆叫曲线。当列车轨道由直道（用虚线表示）进入半径为R的圆曲线时，使列车的向心加速度增大，为保证列车安全，必须经过缓冲轨道，以保证行车安全。例2 如图所示，由此曲线的曲率公式可得：缓冲曲线常采用曲率由0逐渐增大到接近于的三次曲线，从而起到缓冲曲线段的作用。 §4 旋转曲面面积定积分的所有应用问题，都可用“除以量的积分形式”来处理，但在实际应用中，常常要经过“截取、近似、求极限”三个步骤来求出所求的返回值。那么，当上式中的连续函数时，若第一种，微元法现在只需将问题反过来：若所求量在面积上分布或者是区间端点x的函数，即式中f为连续函数，当，当x=b时，它就是所求的最终值。
那么只要进行计算，就是在任意小区间上的问题，如果的小增量可以近似为的线性形式一般来说，严格检查上述方法通常称为微分方法。在使用微分方法时，应注意：解的结果。 (2)微分方法的关键是正确地给出高阶无穷小量的近似表达式并不是一件容易的事。 (1)所求的量必须相对于分布区间是可加的。 这段曲线绕x轴旋转，得到一个旋转曲面（如下图所示）。设平面光滑曲线C的方程为2。旋转曲面的面积在x轴上过点x分别作一个垂直于x轴的平面。其中，由于时，这条窄带的面积近似为截头圆锥的边面积，也就是表面压力公式液体定积分，它们在旋转曲面上截断出一条窄带。 当很小时，可以保证的连续性，于是我们得到如果光滑曲线由参数方程给出，那么将曲线C绕x轴旋转得到的旋转曲面的面积就是作为例1的求椭圆绕x轴旋转得到的椭球面的面积。解：将椭圆的上半部分写成参数方程。让例2求心形线绕极轴旋转得到的曲面的面积。当然，这也可以从上面得到的椭球面的面积得到。解：用参数方程表达曲线：所以请读者自己想办法做到这一点？ 返回下一页 上一页 返回下一页 上一页 返回下一页 上一页 返回下一页 上一页 返回下一页 上一页 返回下一页 上一页 返回下一页 上一页 返回下一页 上一页 §1 平面图形面积 本节介绍利用定积分计算各种表达形式的平面图形面积： 1.用直角坐标方程表示的平面图形面积 2.用参数方程表示的平面图形面积 3.用极坐标表示的平面图形面积。 返回平面图形面积 1.用直角坐标方程表示的平面图形面积 向上移动，由定积分的几何意义可知A的面积为 例1 解 所以 所以 例2 解 那么 显然，由于g1(y)和g2(y)不是分段定义的函数，所以比较容易计算。 2.用参数方程表示的平面图形面积 设曲线C用参数方程表示，则乘积