物理通报2018年中学物理教学年度刊9 椭圆轨道行星周期和能量的证明 张海丽侯树()东北师范大学物理学院吉林长春(:)收稿日期2018年05月30日:,,摘要多高中生对行星很感兴趣，对证明椭圆轨道运动的周期和能量很感兴趣，想了解其中的来龙去脉，但高中课本上没有证明过程。 虽然大学教材里有完整的证明过程，但用的是微积分。 本文的目的不是使用微积分。 在大学微积分和微积分的前提下，利用高中物理知识，完全证明了行星椭圆轨道运动的周期和能量。 ：关键词：高中物理椭圆轨道周期能量，是行星角动量的大小，是垂直于径向方向的速度Lvτ 1.问题引出[] 2.度是行星与行星之间的距离r太阳。 德国天文学家开普勒于1609年发现了开普勒2号。 公式推导：第一定律和第二定律 开普勒第一定律涵盖了所有行星。 ，围绕太阳的轨道都是椭圆形的，太阳在其中一个椭圆形中，行星在太阳引力的作用下沿着椭圆轨道运动；：开普勒第二定律在焦点处的内容是连接行星的连线和太阳，如图所示，连接行星和太阳的线以相等的时间间隔扫过相等的面积。 10.
开普勒第三定律发现于1619年：内容是所有行星轨道的半长轴的三次方与其公有的3a的比值与自转周期的平方的比值相等，即比值= kkT2。 高中物理中不存在对所有行星都相同的常数的倒数。 ，普勒第三定律还没有完整的证明，也没有行星能量的证明。 图 1：行星角动量沿椭圆轨道的运动量。 许多高中生都在椭圆轨道上移动地球。 ，假设行星的质量为m，行星到太阳的距离为m，我对周期和能量的证明很感兴趣。这篇微积分文章的目的是111···dS dθ rr dt ωrr dt vr===τ，就是用高中物理知识222计算出行星椭圆轨道运动的周期和能量，而不用大学微积分。 完整单位时间内扫过的面积为 [] 证明1. dS 1mvr Lτ 常数()= vr== =1dt 2 τ 2m 2m。 本文的推导中，需要引入角动量的知识。 角运动公式是行星角动量的大小L。 ，该量是描述物体旋转状态的物理量。 角动量为参考点，如图所示，分别是行星的远日点和2A B附近。 粒子的位置向量与粒子动量的叉积就是向量角运动。
,,太阳点和太阳点分别代表远日点和近日点速度下vv量的方向，它必须垂直于粒子的位置向量和动量。 1.2 证明行星椭圆轨道运动的周期和能量。 ,,, 的平面表达式为 L r mv 大小为 L mvr 其中 = ×= τ: (), , 作者简介 张海丽 1989 男硕士研究生，研究方向物理教学。 : (),,,,,, 导师侯树 1965 女 博士副教授 硕士生导师 研究方向 中学物理教学。 —《物理通报》中学物理教学53年期2018 93a GMk= =2 2T 4π，则行星椭圆轨道运动的周期和能量为2 3Mm4πaE=-GT= 图2 远日点和近日点及其速度2aGM，，其中 是太阳的质量， 是万有引力常数， 是半长轴。 从图中的几何关系，我们可以知道MGa。 2r acrac行星椭圆轨道运动周期和能量的公式对于解决1= +2= - 的问题非常有用，其中rr 2a。 下面的典型问题就是公式 + =1 2· 2 2 2() 的实际应用。 rrac b2= - =1 2行星运动的总机械能等于其动能和势能之和，E3解题应用，设行星与太阳的距离为角动量，大小为角动量为rL。 近日点和远日点的机械能和角动量可表示为3。
1 典型问题 1、需要发射一颗人造地球卫星，使其在半径为 rMm 1 的预定轨道上绕地球匀速圆周运动 22()E=-G+ mv3r 2、首先发射卫星 ()L mvr4= 将式 43 代入式 43，则卫星以恒定速度 r1()() 在半径为 的近地临时轨道上绕地球运行，卫星实际上作圆周运动，如图所示图中。 加上3AMm 1 æ Lö 2,,ç ÷()，使卫星进入椭圆转移轨道。 当卫星E=-G+ m5mrr 2 èø,, 到达转移轨道远地点时，卫星速度再次改变，使B()对变形： 5.进入预定轨道。 试求椭圆轨道上A点的速度 B2L2()Er +- = 以及卫星从A点到达所需的时间。设AB2m为万有引力常数，地球的质量为()。 () 总经理。 和是方程解的组合表达式，由 Veda 确定。 r r621 2[] 由此可见 3Mm()r rG2a7+ =-=1 2EL2 2·()rr=-=b81 22mE() 由公式推导出 7Mm()E= -G92a 典型问题 图 31() 推导自式8： 解析： v vAA B( )L b 2mE10= - ，卫星在椭圆轨道上的速度分别用 和 表示。 力学 BA B() 从公式可以推导出，行星运动的周期为1，能量等于动能和势能之和。 根据导出的行星能量·πab πab πab 2m( )，T== =11，公式为dS LLdt 2mMm1 2Mm点A Gmv G-=-Ar r 2r1+ 21 其中πab为椭圆面积。
Mm1 2Mm() ( )( ) 点并代入方程： 和等式。 代入方程。 得到B Gmv G-=- r 2r1+ 22··πab 2m πab 2mT=== 2mE。 求解得 v =2-A()rr r1 1+ 22 3 ·πab 2m4πa( )= =æ MmöB()ç÷rr rb 2m -G2 1+ 2-è 2aø 卫星椭圆轨道运动的周期由公式可得 ( ) 《物理通报》中学物理教学12-54期2018年92期 3、rr的几何性质表明，椭圆的两个焦点到椭圆上任意点的距离为4πa1+2T =a=GM2，距离之和为 需要时间AB。 只要长轴上的另一个焦点到 RC 的距离 () 最小，则椭圆的半长轴也最小。 显然，当另一个πr rr r11+ 2 1+ 2t T= =222GM 时，当焦点位于垂直线的垂直脚时，焦点的C ABC 为3。 2 典型问题2物理资源网，，距离必须最小，所以这是另一个焦点，如图P5所示。 ，从赤道上一点发射洲际导弹精确命中C。从北极发射所需的能量至少是假设地球为-N。
质量分布均匀、半径为 RR 的球体。 =,? 不考虑地球自转，最小发射速度是多少？ 图5 几何关系分析 从几何关系可以看出 22a RR= +2 图典型问题图， 42 假设导弹发射时的速度为v:,, 分析导弹发射后，会沿着椭圆Mm 1 2MmE Gmv G=-=-2a 2R,，受地球引力影响的圆形轨道。 如果导弹能击中该点，则椭圆一定是 NMm。 它位于北极和赤道经过地心的地方。 发射点构成 ONCG 2 = mgR, () 的平面。 因此，导弹的发射速度和初速度也必须为v。由上式可得 ( )3v 2R 2 1= g-,行星绕太阳运动角动量守恒的解释，在这个平面上，地球的中心是椭圆的一个焦点。 根据对称性 将O代入数据，可得 /v 7.2km s= ,, 注意椭圆上两点到焦点的距离与CNO参考等相同行星绕太阳运动角动量守恒的解释，因此椭圆的长轴所考察的是垂直于点OCN()的直线：，赵开华力学第二版北京高等教育出版社1。 2004. 56，即图上直椭圆的另一个焦点一定在5ABAB()上：，张涵庄力学第二版北京高等教育出版社2。 2012. 153Mm，由行星能量表达式EG可知，所需排放量=-( )：
